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借鑒字母意義的歷史演進(jìn)設計教學(xué)
1研究背景與問(wèn)題提出
“用字母表示數”是由自然的“算術(shù)語(yǔ)言”向抽象的“代數語(yǔ)言”過(guò)渡的起始,是學(xué)生代數學(xué)習的入門(mén)知識,是學(xué)習方程、不等式等的重要基礎.大量研究發(fā)現學(xué)生對“用字母表示數”存在認知困難,如薛文敘[1]、虞琳娜[2]、ClementJ[3]、BardiniC[4]等等,從各個(gè)不同的側面進(jìn)行研究,發(fā)現學(xué)生對“用字母表示數”的理解存在很多問(wèn)題.HartKM等人研究11~16歲兒童對字母的理解,發(fā)現兒童對字母的理解大體分為6類(lèi):給字母賦值、忽略字母意義、當成物體、特定未知量、廣義的數、變量[5].HarperE在上世紀80年代前后曾對英國兩所文法學(xué)校1~6年級的學(xué)生,使用丟番圖《算術(shù)》中的名題:“已知兩數的和與差,證明這兩個(gè)數總能求出.”進(jìn)行測試,獲得研究結論:學(xué)生對符號代數的認知發(fā)展過(guò)程與符號代數的歷史發(fā)展過(guò)程具有相似性[6].Radford[7]、汪曉勤[8]等人的研究證實(shí):學(xué)生對某些數學(xué)概念的認知與概念的歷史發(fā)展之間具有相似性.據此,若能以恰當方式將數學(xué)概念的歷史發(fā)展與學(xué)校教學(xué)融合起來(lái),必將促進(jìn)學(xué)生對概念的理解與認知發(fā)展.那么,現在的學(xué)生對“用字母表示數”的理解情況是怎樣的?對此,確定如下兩個(gè)研究問(wèn)題:(1)學(xué)生怎樣理解、運用字母?(2)學(xué)生對“字母表示數”的認知發(fā)展過(guò)程和該知識的歷史發(fā)展過(guò)程是否印證已發(fā)現的相似性?
2“用字母表示數”的歷史概述
追溯“用字母表示數”的歷史發(fā)展進(jìn)程,可以沿宏觀(guān)與微觀(guān)兩條路徑進(jìn)行.宏觀(guān)上考察符號代數的歷史發(fā)展階段;微觀(guān)上查閱史料,理清字母意義的歷史演進(jìn)過(guò)程.
2.1符號代數的歷史發(fā)展階段在中國,“代數”一詞源自清代數學(xué)家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力(AWylie)于1859年合譯的第一部符號代數教材《代數術(shù)》.李善蘭所創(chuàng )“代數”一詞,正是取“用字母代替數”之義.通常數學(xué)史家認為代數學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了大致3個(gè)主要階段:修辭?縮略?符號.如NezzelmannGH在其著(zhù)作《希臘代數》(1842)中就是這樣劃分的.人們往往將丟番圖以前時(shí)期的代數稱(chēng)作“修辭代數”.在那時(shí),人們沒(méi)有使用符號表示未知數,所有問(wèn)題的討論解決都是用長(cháng)篇文字說(shuō)明.“縮略代數”階段以引入字母表示未知量為典型特征.丟番圖是這一時(shí)期的典型代表人物.他用一個(gè)特殊的記號“?”表示未知量,用專(zhuān)門(mén)的符號表達乘冪、減號等.后來(lái),使用不同字母表示不同數,但是可以看到字母總是表示未知量.隨后的代數學(xué)家,如阿里耶波多(AryabhataⅠ)、花拉子米等雖朝向符號代數有所接近,但只在字母表示數的類(lèi)型與方程解的一般性上做出了貢獻,而不是嘗試表達“一般量”或說(shuō)“一類(lèi)量”.“符號代數”應歸功于16~17世紀法國杰出的數學(xué)家韋達(FrancoisViète)與笛卡爾(RenéDescartes).韋達在其著(zhù)作《分析引論》中第一次有意識地使用系統的代數字母與符號,以輔音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符號代數稱(chēng)作“類(lèi)的算術(shù)”,同時(shí)規定了算術(shù)與代數的分界,認為代數運算施行于事物的類(lèi)或形式,算術(shù)運算施行于具體的數.這就使代數成為研究一般類(lèi)型的形式和方程的學(xué)問(wèn).笛卡爾則主要對韋達的符號系統進(jìn)行了改進(jìn).
2.2字母意義水平的歷史演進(jìn)過(guò)程對應符號代數的歷史發(fā)展過(guò)程,用來(lái)表示數的字母在具體意義上的歷史演進(jìn)過(guò)程為:記數?未知?一類(lèi).伴隨著(zhù)人們對字母表示數意義的認識水平的提高,字母表示數的功能逐步得到發(fā)展與完善,而這是一個(gè)漫長(cháng)的歷史演進(jìn)過(guò)程.從公元前3世紀算起,從最初用字母只表示“記數符號”的代數思想萌芽開(kāi)始,經(jīng)過(guò)若干人的摸索與不斷推進(jìn),直到16~17世紀,用“字母”表示“一類(lèi)量”思想的形成,跨越了2000多年的時(shí)間.歷史史實(shí)等呈現如表1所示.
3研究方法
采用實(shí)證研究方法,通過(guò)測試與個(gè)別訪(fǎng)談,對學(xué)生“用字母表示數”問(wèn)題的解答進(jìn)行定量與定性分析.
3.1樣本為摸清學(xué)生對“用字母表示數”內容的認知情況,2010年9月對上海市某中學(xué)的一個(gè)初中預備班學(xué)生共52人進(jìn)行測試,收回有效卷52份.該校是上海一所普通中學(xué),每個(gè)年級所有班均為平行班,所選樣本基本能夠反映上海市初中學(xué)生的一般情況.
3.2工具測試題的設定:結合《全日制義務(wù)教育課程標準》[13]中對“用字母表示數”的基本要求,從字母表示數的具體意義:“記數符號”“未知量”“一類(lèi)量”不同層面入手,共設置4題,測試卷編制如下:試題1:如圖1,游樂(lè )場(chǎng)的大轉盤(pán)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)分別距離地面110米、10米,那么這個(gè)大轉盤(pán)的半徑是多少?試題2:已知圓的周長(cháng)為r,那么圓的面積是多少?試題3:學(xué)校買(mǎi)了x只足球,每只24元;又買(mǎi)了5只籃球,每只y元,式子24x+5y的意義是什么?試題4:已知兩個(gè)數的和與這兩個(gè)數的差,怎樣求這兩個(gè)數?請你設計一種情形,并給出解決辦法.測試的主要目的是為了解學(xué)生對“用字母表示數”的理解與運用情況,并由此分析學(xué)生對字母意義的認知過(guò)程是否與概念歷史發(fā)展過(guò)程具有歷史相似性.
4結果與分析
從整體情況來(lái)看,測試結果反應了學(xué)生“用字母表示數”的認知與運用水平.以下是對測試結果的逐題分析.
4.11~3題測試結果及分析(1)測試題1.測試結果:只有7名學(xué)生使用字母,而7位同學(xué)中只有兩位用字母表示未知量,另外5位只用字母r表示一個(gè)表示半徑的字母符號.具體情況如表2所示.對結果的分析:可以看出對于這類(lèi)用算術(shù)方法與代數方法都能解決的問(wèn)題,絕大多數(84.6%)的學(xué)生選擇使用算術(shù)方法(不使用字母),屬于符號代數的初始階段——“修辭代數”階段;少部分學(xué)生進(jìn)入了“縮略代數”階段.從使用字母的水平來(lái)看,大體也還停留在較低層次的“記數符號”的水平上,少部分學(xué)生達到了用字母表示“未知量”的水平.可以看到,雖然學(xué)生經(jīng)過(guò)初步學(xué)習已接觸過(guò)“符號代數”的思想,在教學(xué)要求上進(jìn)入了“縮略代數”的階段,但他們更喜歡用“修辭代數”解決問(wèn)題.無(wú)獨有偶,歷史上,已跨越到“縮略代數”年代以后的花拉子米(al-Khwārizmi)在撰寫(xiě)其著(zhù)作《還原與對消計算概要》時(shí)就是純粹采取了修辭代數的形式,斐波那契(Fibonacci)在《計算之書(shū)》中解決問(wèn)題時(shí)也曾出現過(guò)類(lèi)似的情形.而當今的學(xué)生在已學(xué)習“縮略代數”并已初步接觸“符號代數”的思想后,仍喜歡采用這種純粹文字,有時(shí)顯得冗長(cháng)、繁瑣的形式(在后面方程題目的解答中有所體現)呢?只有一個(gè)可能的原因就是這種形式和水平的思維方式更接近人們(無(wú)論古人還是當今的學(xué)生)的認知本源.此處體現出較強的歷史相似性.對教學(xué)的啟示:教學(xué)中重視學(xué)生的認知起點(diǎn),為實(shí)現由修辭代數到縮略代數的過(guò)渡,教師應有意識地設計此類(lèi)教學(xué)素材,為他們的思維發(fā)展設置螺旋前進(jìn)的階梯.如,在這部分內容的教學(xué)中增加諸如:“寫(xiě)出下列語(yǔ)句對應的表達式”或逆向的問(wèn)題“寫(xiě)出下列各式的意義”等題目,為順利實(shí)現由修辭代數向符號代數的過(guò)渡做好教學(xué)準備.(2)測試題2.
測試結果:分為3類(lèi).第一類(lèi),將r當作圓的半徑并將其視作已知量求得圓面積.具體表現:有28位同學(xué)自行將題目中的“周長(cháng)”二字改為“半徑”,另有兩人雖沒(méi)有改寫(xiě)題目,但從所填結果看,明顯是將r當作圓的半徑.這樣,將r當作半徑的學(xué)生總數就有30人(占總人數的57.7%).第二類(lèi),利用“周長(cháng)r”能夠求出正確結果;第三類(lèi),沒(méi)有或不能解決問(wèn)題6人(占11.5%).對結果的分析:可以看到,超過(guò)半數(57.7%)的學(xué)生對字母意義的理解與使用還停留在“縮略代數”的較低水平上,認為一個(gè)字母只能表示某一個(gè)確定的量(雖然看到前面的限定詞:周長(cháng),但仍認為字母r只能代表圓的半徑.),對字母r可以表示任意未知量沒(méi)有足夠的認識,沒(méi)有達到字母可以表示“一類(lèi)量”的認知水平;而能將r當作特定未知量并將其運用于計算過(guò)程的這一較高認知水平的人數只占到全班人數的不足三分之一(32.7%).尤其將字母r當作圓的半徑的情況,突出反映了在學(xué)生心目中“r”這個(gè)字母的符號意義,這與歷史上古人只用某個(gè)字母代表某個(gè)具體量的做法具有相似性.當然,客觀(guān)來(lái)講,此題也與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習過(guò)圓中半徑的字母表示有很大關(guān)系.排除教學(xué)造成的影響和學(xué)生粗心等因素,可以看到:認為一個(gè)字母只固定表示某一個(gè)量對其理解字母意義造成了很大的負面影響(2011年暑假期間對初中及小學(xué)的兩位數學(xué)教師的訪(fǎng)談,再次驗證了這一點(diǎn)).另外,也有6人沒(méi)有解答此題.(3)測試題3.測試結果:有8人認為24x?5y不能代表什么,或者認為這不是一個(gè)問(wèn)題的結果,無(wú)法解釋,也即認為式子中的x,y都是未知量,無(wú)法知道“具體值”;只有少數幾人能夠準確表達式子意義;很多學(xué)生將x,y當作相同意義的量:要么都表示球的只數,要么都表示球的價(jià)錢(qián),也即他們在對字母表示的量缺乏足夠清晰的認識.
對結果的分析:從結果可以看到,學(xué)生對字母意義,無(wú)論從認知水平,還是運用情況,都表現出很多的不足:一是很難將字母x,y看作一類(lèi)量中的已知量;二是對字母參與運算的結果不能準確進(jìn)行意義建構.這與學(xué)生對字母表示“一類(lèi)量”的認知不夠清晰,對字母參與運算存在極大的認知障礙有著(zhù)直接的關(guān)系.歷史上數學(xué)家對一類(lèi)量的認識以及用含有字母的式子表示一個(gè)結果亦是經(jīng)歷了漫長(cháng)的歷史過(guò)程.從認知過(guò)程看,學(xué)生和歷史上數學(xué)家對字母意義的理解具有相似性.測試題2、3的測試結果對教學(xué)的啟示:上述測試結果顯示了一定的歷史相似性,同時(shí)我們也注意到,學(xué)生在向“一類(lèi)量”的字母意義的跨越方面存在很大的認知障礙,這值得引起教學(xué)研究人員及教師的重視.另外針對測試結果出現的情況,教學(xué)中應做到周密設計,如,強調圓的半徑一般用r表示,但同時(shí)也應強調字母r并不總是用來(lái)表示半徑;未知量也可參與運算,其身份是作為待確定的“已知量”等等.綜合3道題的測試結果,可以看到,學(xué)生對“用字母表示數”的意義認知,對應了歷史上“用字母表示數”的字母意義層面的認識演進(jìn)過(guò)程中的發(fā)展水平,3種類(lèi)型各占一定的比例,具有歷史相似性.而學(xué)生對于字母意義上“一類(lèi)量”的符號代數思想缺乏足夠的認識,認知水平停留在“記數符號”、“未知量”等的認知水平上.學(xué)生在朝向符號代數的認知過(guò)程中易出現反復及循環(huán),如測試題1的結果.這為研究者從字母意義的歷史演進(jìn)過(guò)程出發(fā)設計教學(xué)提供了可靠的基礎和較充分的證據.另外在教學(xué)心理的準備上,教師應能充分理解學(xué)生在“一類(lèi)量”等的認知過(guò)程中的“緩慢”發(fā)展,因為在歷史上符號代數的演進(jìn)過(guò)程是如此的漫長(cháng),整整跨越了2000年左右的時(shí)間!
4.2方程求解問(wèn)題的結果與分析試題4取自丟番圖所解方程問(wèn)題的原題,該題及其解法是反映歷史上符號代數發(fā)展歷程及人們對字母意義認知演進(jìn)過(guò)程的極好素材.
4.2.1該問(wèn)題的歷史解法①修辭代數解法:文字表達.②縮略代數的解法,以丟番圖的解法為代表:設和為100,差為40,較小數為x,則較大數為x+40.這樣就有2x+40=100,從而得x=30.因此兩數分別為30、70.③符號代數的解法,以韋達的解法為代表:設和為a,差為b.又設較小數為x,則較大數為x+b,于是2x+b=a,故得x=(a–b)/2.因此兩數分別為(a–b)/2、(a+b)/2.
4.2.2學(xué)生解法與歷史解法對照①與“修辭代數解法”對應的學(xué)生解法:使用“修辭代數”方法解決此題的有11人,占總數的21.2%.考慮到學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)“縮略代數”的思想——用字母表示未知量,研究者認為這一數字所占比重并不算小.②與“丟番圖解法”對應的學(xué)生解法:將這類(lèi)解法歸為“丟番圖解法”.雖然學(xué)生此類(lèi)解法較之于“丟番圖解法”有某種程度的進(jìn)步,這是因為學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)解方程的相關(guān)知識,但在字母使用水平上,他們用x,y表示未知量,建立方程求解問(wèn)題,屬于“縮略代數”的解決方案.③與“韋達解法”對應的學(xué)生解法:使用“一類(lèi)量”思想,用符號代數的思想解決問(wèn)題的人數為6人,占總人數的13.5%.但考慮到學(xué)生還沒(méi)有系統學(xué)習符號代數的做法與思想,能使用這種做法解決問(wèn)題,這部分學(xué)生已經(jīng)相較班內其他學(xué)生的認知水平有了較大的前進(jìn)與提升.這也給教師以信心:經(jīng)過(guò)精心設計的、系統的教學(xué)與訓練,學(xué)生是能夠理解符號代數思想的.
4.2.3各種方法使用情況統計從以上學(xué)生對該方程的解法與歷史上各個(gè)階段典型解法的對比,可以看到學(xué)生對字母表示數的認知發(fā)展水平,與該知識的歷史發(fā)展階段呈現較為明顯的相似性.測試結果可使教師在設計教學(xué)時(shí)對學(xué)生可能出現的情況做到事先“心中有數”,并能針對各種不同的做法給出合理的解釋與引導.同時(shí),為使學(xué)生更快、更好地理解、運用符號代數的思想解決問(wèn)題,借鑒符號代數的歷史發(fā)展進(jìn)程設計教學(xué)應是一條可行的、有效的途徑.
5結論與啟示
5.1基本結論通過(guò)上面對學(xué)生測試結果的分析,可得出以下結論:(1)為數不少的學(xué)生對“用字母表示數”仍停留在“修辭代數”和“縮略代數”階段;對字母意義的認知水平多數停留在“記數符號”及“未知量”的層次,只有少部分學(xué)生理解并能用“一類(lèi)量”思想解決問(wèn)題;(2)學(xué)生對于符號代數的“一類(lèi)量”思想存在認知困難;(3)學(xué)生對“用字母表示數”的認知發(fā)展過(guò)程和“字母表示數”意義演進(jìn)的歷史發(fā)展過(guò)程之間存在一定的相似性.因此,借鑒字母意義的歷史演進(jìn)過(guò)程設計教學(xué),將史料及其蘊含的思想、方法等重構后應用于課堂教學(xué),將能夠有效解決學(xué)生學(xué)習過(guò)程中存在的問(wèn)題與障礙.
5.2教學(xué)啟示以相似性分析為基礎,借鑒歷史對于教學(xué)而言至少有兩方面作用.首先,可有效預測學(xué)生學(xué)習中可能會(huì )出現的問(wèn)題、障礙與疑惑;其次,依據知識形成過(guò)程設計教學(xué)符合學(xué)生的認知發(fā)展規律.波利亞(GPolya)認為,“在教一門(mén)科學(xué)分支(理論、概念)時(shí),我們應該讓兒童重演人類(lèi)心理演進(jìn)的重大步驟.”[14]弗賴(lài)登塔爾(HFreudenthal)則說(shuō):“從某種意義上說(shuō),兒童應該重蹈歷史,盡管不是實(shí)際發(fā)生的歷史,而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西,將會(huì )發(fā)生的歷史.”[15]以上教育家和數學(xué)家所言進(jìn)一步證實(shí)歷史于教學(xué)之重大意義.無(wú)疑,這對教材編寫(xiě)和課堂教學(xué)都有一定的啟示.
5.2.1對教學(xué)內容的啟示如何借鑒歷史?對教學(xué)內容來(lái)講,包括素材與思想,在使用上分別對應顯性與隱性?xún)煞N方式[16].顯性方式是在教材編寫(xiě)及教學(xué)實(shí)施過(guò)程中,直接展示概念的歷史發(fā)展過(guò)程及其典型問(wèn)題等,如丟番圖方程問(wèn)題等設計教學(xué).隱性方式則提供了教學(xué)的設計思想.通過(guò)歷史相似性分析,研究者發(fā)現學(xué)生的認知發(fā)展如同知識的歷史形成一樣,并非直線(xiàn)推進(jìn),其間可能要經(jīng)歷在水平上的“前進(jìn)與倒退交織,總體向前推進(jìn)”的過(guò)程.這為螺旋設置教學(xué)內容,關(guān)注學(xué)生認知發(fā)展過(guò)程的螺旋上升提供了借鑒.如,在“用字母表示數”的教學(xué)內容中增加“修辭代數”、“縮略代數”與“符號代數”3個(gè)階段中兩個(gè)連續環(huán)節之間的銜接過(guò)渡,增加在字母意義水平上前后銜接的內容,以利于學(xué)生對新知的接納與銜接理解.
5.2.2對教學(xué)順序的啟示借鑒歷史順序.相似性分析可以指明借鑒歷史順序的路徑,包括兩個(gè)方面:歷史順序指導教學(xué)順序;從當前的概念組成中看歷史演變.斯賓塞(HerbertSpencer)認為“對孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類(lèi)的教育,換言之,個(gè)體知識的發(fā)生必遵循人類(lèi)知識的發(fā)生過(guò)程.”[17]德摩根(ADeMorgan)強調數學(xué)教學(xué)中的歷史次序,認為教師在教代數時(shí),不應該一下子把新符號都解釋給學(xué)生,而應該讓學(xué)生按歷史順序去學(xué)習符號.可以看到,符號代數的發(fā)展經(jīng)歷3個(gè)重要階段,與此同時(shí)字母意義也從低到高逐步發(fā)展形成.從現今教材來(lái)看,對“字母表示數”內容的呈現,基本上遵從了該內容的歷史形成過(guò)程,以歷史順序呈現.但從微觀(guān)來(lái)看,對字母意義演進(jìn)的水平層次設計不夠,這是使得學(xué)生對字母意義認知不夠明確、深入、到位的主要原因.
5.2.3對教學(xué)要求的啟示從古到今,人們對新事物的理解、接受都需要一個(gè)過(guò)程,過(guò)程的長(cháng)短則主要取決于事物的復雜程度以及人們的認知水平.從學(xué)生認知過(guò)程與歷史發(fā)展過(guò)程相似性的結果可以得出:符號代數中“用字母表示數”經(jīng)歷了2000年左右的漫長(cháng)歷史過(guò)程,經(jīng)過(guò)一代代數學(xué)家艱苦卓絕的探索、完善,適得以今天的面貌呈現于世人面前,學(xué)生只靠課堂上短短的幾節課又如何能夠輕松跨越如此遼遠的歷史長(cháng)河?因此,學(xué)生短時(shí)間內容不能很好地理解、掌握是正常的的教學(xué)行為與結果!誠如M?克萊因對美國的“新數運動(dòng)”的批判:從古代埃及人和巴比倫人開(kāi)始直到韋達和笛卡兒以前,沒(méi)有一個(gè)數學(xué)家能意識到字母可用來(lái)代表一類(lèi)數,但現在卻通過(guò)簡(jiǎn)單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個(gè)概念[18].因此,教育工作者除了在教學(xué)內容、設計思想等方面做好精心準備外,對待學(xué)生對知識掌握的時(shí)間問(wèn)題要做到有耐心地“靜待花開(kāi)”。
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