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彎曲與分叉渠道潰壩波運動(dòng)特性的數值預報
摘 要 基于TVD格式的有限差分算法思想，考慮節點(diǎn)與單元的對應關(guān)系，對任意四邊形單元各邊的通量采用優(yōu)選限量函數的組合型TVD格式進(jìn)行插值，在時(shí)間上采用兩步Runge-Kutta法離散，建立了守恒型淺水方程有限體積的高分辨率計算模型。首次針對180°強彎曲河道、90°雙支以及45°三支分叉渠道，數值預報了潰壩波的演進(jìn)過(guò)程，揭示了潰壩波在彎曲河道中內外兩岸速度與水位變化，在分叉河道中自動(dòng)進(jìn)行流量與動(dòng)量再分配，在叉點(diǎn)角區形成旋渦、壅高等復雜運動(dòng)特征，同時(shí)反映了濕底與干底的影響。
關(guān)鍵詞 淺水方程，有限體積，TVD格式，彎曲渠道，分叉渠道，潰壩波
1．前言
許多水利和環(huán)境工程問(wèn)題，都需要進(jìn)行淺水流動(dòng)分析，數值計算逐漸成為分析的重要手段。雖然二維淺水流動(dòng)一般問(wèn)題的計算比較成熟，但對于有間斷、帶自由面、含復雜邊界等復雜淺水問(wèn)題的研究，由于對數值計算方法要求較高仍處于發(fā)展之中。對潰壩問(wèn)題的研究，一直是引人關(guān)注的重要課題，具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和工程應用背景。
過(guò)去對潰壩問(wèn)題的研究，以差分方法為主，所用的格式有特征線(xiàn)法、顯式和隱式差分法以及最近占據重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式[1]在該類(lèi)問(wèn)題研究中也逐漸發(fā)揮其獨特的作用, 如用來(lái)計算一維潰壩波的傳播、反射[2~5]和二維潰壩波的傳播、反射與繞射[6~9]。對于復雜邊界，通常采用坐標變換，將不規則計算域轉換到規則計算域，但同時(shí)方程也復雜化。近年來(lái)，在有限體積離散基礎上的近似黎曼解法，用于計算淺水流動(dòng)（包括潰壩波）問(wèn)題，取得了良好效果[10~13]。但另一類(lèi)高分辨率格式—TVD格式用在有限體積方法中尚不多見(jiàn)。
傳統TVD格式形式多樣，數值性能也有一定差異，有的耗散性偏大，有的壓制性過(guò)強，主要在于所選用的限量函數的不同。作者在潰壩波計算的比較研究中，發(fā)現有的限量函數在計算干底情況下的潰壩波時(shí)會(huì )出現壩址處的非物理扭曲現象，通過(guò)深入研究，得到了優(yōu)選的限量函數，并建立了求解淺水方程帶最優(yōu)限量函數的組合型TVD格式[9]。與實(shí)驗結果進(jìn)行比較，進(jìn)一步表明采用淺水方程和組合型TVD格式能有效地描述潰壩波的運動(dòng)特征[6]。在文獻[8]中提出了衛星單元概念和主單元及其衛星單元間的拓撲關(guān)系，把節點(diǎn)和單元對應起來(lái)，建立了淺水方程在任意四邊形單元上的有限體積TVD格式，可以直接在任意控制單元上進(jìn)行求解。本文擬進(jìn)一步用于解決具有復雜邊界，例如彎曲與分叉渠道潰壩波傳播的計算問(wèn)題。關(guān)于彎曲河道，國外有一些實(shí)驗結果[14]，而分叉河道中潰壩波的預報，國內外至今未見(jiàn)報道。本文算法的成功實(shí)現，可以較好地解決天然河道潰壩波的計算問(wèn)題，這將有助于對實(shí)際河道潰壩波運動(dòng)特征的進(jìn)一步認識和為防災減災決策提供可靠依據。
2 控制方程
描述潰壩流動(dòng)的控制方程一般是通過(guò)作靜水壓力、小底坡和長(cháng)波假定，對Navier-Stokes方程進(jìn)行深度平均而得到的淺水方程，將其寫(xiě)成守恒形式為
其中
(1b)
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