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函數概念的“源”與“流
函數概念的“源”與“流
1.1函數概念的“源”
馬克思曾經(jīng)認為，函數概念來(lái)源于代數學(xué)中的不定方程的研究，由于羅馬時(shí)代丟番圖對不定方程已有相當的研究，所以函數概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽。
自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動(dòng)就成了文藝復興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問(wèn)題，人們在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自轉和公轉，那么下降物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上？行星運行的軌道是橢圓，原理是什么？還有，研究在地球表面上拋射物體和路線(xiàn)、射程的影響問(wèn)題，既是科學(xué)家力圖解決的問(wèn)題，也是軍事家要求解決的問(wèn)題。函數概念就是從這些運動(dòng)研究中引申出來(lái)的一個(gè)數學(xué)概念。在伽利略的力學(xué)著(zhù)作《兩門(mén)新科學(xué)》中用文字語(yǔ)言敘述了一些函數關(guān)系。如：“從靜止開(kāi)始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過(guò)的距離與所用時(shí)間的平方成正比”。“沿著(zhù)同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑時(shí)間與平板的長(cháng)度成正比”。[5]等等這些敘述只需引進(jìn)適當的數學(xué)符號就可表示為簡(jiǎn)潔、明確的數學(xué)關(guān)系，這些文字語(yǔ)言是早期函數概念的雛形。
17世紀上半葉，笛卡爾把變量引入數學(xué)，他指出了平面上的點(diǎn)與其數對 之間的對應關(guān)系。當動(dòng)點(diǎn)作曲線(xiàn)運動(dòng)時(shí)，它的 坐標和 坐標相互依賴(lài)并同時(shí)發(fā)生變化，其關(guān)系可由包含 的方程式給出。相應的方程式就揭示了變量 和y之間的關(guān)系，但由于當時(shí)尚未意識到需要提煉一般函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數學(xué)家還沒(méi)有明確函數的一般意義。
從現存文獻中可知，最早提出函數概念的，是17世紀德國數學(xué)家萊布尼茲。于1673年他用“函數”一詞表示冪，如 都叫函數。隨后在他的一部手稿里，他又用“函數”一詞來(lái)表示任何一個(gè)隨著(zhù)曲線(xiàn)上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量——例如：切線(xiàn)、法線(xiàn)、次切線(xiàn)等的長(cháng)度以及縱坐標等。[6] 萊布尼茲的函數概念使用范圍狹窄，后續的數學(xué)家在此基礎上做了許多擴展工作。
1698年，萊布尼茲的學(xué)生，瑞士數學(xué)家約翰、伯努力提出新的函數概念：“由變量x和常數所構成的式子叫做x的函數。”[7]1718年他又進(jìn)一步規范了這一定義：“一個(gè)變量的函數指由這個(gè)變量和常數任意一種方式構成的一個(gè)量。”[8]伯努力所強調的是函數要用公式表示。后來(lái)數學(xué)家覺(jué)得不應該把函數概念局限在只能用公式表達上，只要一些變量變化就可以，至于這兩個(gè)變量的關(guān)系是否要用公式表示就不作為判別函數的標準。
1734年，瑞士另一數學(xué)家歐拉，首次使用了符號 表示變量數，他的例子是 ，后人據此發(fā)明了 表示變量x的函數值。[9]1755年，歐拉在其論著(zhù)中把函數定義為：“如果某些變量以某種方式依賴(lài)于另一些變量，即當后者變化時(shí)，前者本身也發(fā)生變化，則稱(chēng)前一些變量是后一些量的函數。”在此定義中，就不強調要用公式表示了，由于函數不一定要用公式表示，歐拉曾把畫(huà)在坐標系里的曲線(xiàn)叫函數，他認為：“函數是隨意畫(huà)出的一條曲線(xiàn)。”
1797，法國數學(xué)家拉格朗日，從分析學(xué)的角度對函數概念做了擴展：“所謂一個(gè)或幾個(gè)變量的函數是任意一個(gè)適合于計算的表達式，這些量以任意方式出現于表達式中。”無(wú)獨有偶，1822年法國另一個(gè)數學(xué)家傅里葉，在他的名著(zhù)《熱的解析理論》中定義為：“通常函數表示相接的一組值或縱坐標，它們中的毎一個(gè)都是任意的……我們不假定這些縱坐標服從一個(gè)共同的規律；他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè)。”在該書(shū)里，他用一個(gè)三角級數和的形式表達了一個(gè)由不連續的“線(xiàn)”所給出的函數。[10]證明在解析式和曲線(xiàn)之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線(xiàn)溝通了。
19世紀是數學(xué)大發(fā)展的時(shí)代，除了創(chuàng )立大批新的數學(xué)分支和分析基礎嚴密是其顯著(zhù)特色。數學(xué)家他們在考慮鞏固數學(xué)基礎的同時(shí)，對函數概念“發(fā)散”狀況也做了種種規范，主要是突出了變量與對應關(guān)系。
1823年，法國另一數學(xué)家柯西給出了類(lèi)似現在中學(xué)課本的函數定義：“在某些變量間存在一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變量的值，其它變量的值可隨著(zhù)而確定時(shí)，則將最初的變量叫自變量，其它各變量叫做函數，在柯西的定義中，首次出現了自變量一詞。
1834俄國數學(xué)家羅巴切夫斯基進(jìn)一步提出函數的定義：“x的函數是這樣一個(gè)數，它對于毎一個(gè)x都有確定的值。并且隨著(zhù)x一起變化，函數值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對應值的方法，函數的這種依賴(lài)關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。”這個(gè)定義指出了對應關(guān)系，可以求出毎一個(gè)x的對應值。
1837年德國數學(xué)家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的任何一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的y值與之對應，則y是x的函數。”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱(chēng)為x的函數，只需一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數取值范圍中的任何一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對應就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖像或表格或其它形式。這個(gè)定義比前面的定義更具有普遍性，為理論研究和實(shí)際應用提供了方便，因此這個(gè)定義曾被長(cháng)期使用。
19世紀中葉以后，數學(xué)家從函數的適用范圍對這一概念做了不同程度的擴展。例如德國的黎曼1851將變量推廣到復數；英國的布爾和德國的佛雷格又將變量擴展到邏輯符號；德國的戴德金則直接使用“元素”和“映射”表示變量，使函數概念由具體描述上升到抽象概括。
1.2函數概念的“流”
隨著(zhù)近代數學(xué)的發(fā)展，人們對函數的認識越來(lái)越深刻。到了19世紀70年代，德國數學(xué)家康托集合論的產(chǎn)生后，建立了函數的結合對應定義，也就是用“集合”與“對應”來(lái)敘述：“給定兩個(gè)集合A和B，如果按照某種確定的對應關(guān)系，對A的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對應，則這種對應關(guān)系稱(chēng)為從A集合到集合B的函數。類(lèi)似于現在高中數學(xué)課本中的函數定義。
20世紀初，生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗的進(jìn)一步發(fā)展，又引起函數概念新的尖銳的矛盾。20世紀20年代，人類(lèi)開(kāi)始研究微觀(guān)物理現象，1930年量子力學(xué)面世，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數—— -函數，即 。[17]
- 函數的出現，引起了人們激烈爭論，按照函數原理定義，只允許數與數之間建立對應關(guān)系，而沒(méi)有把“ ”作為數，另外對于自變量只有一個(gè)點(diǎn)不為零的函數，其積分值卻不等于零的函數，這也是不可想象的。然而， -函數確實(shí)是實(shí)際模型的抽象。例如，當汽車(chē)、火車(chē)通過(guò)橋梁時(shí)，自然對橋梁產(chǎn)生壓力，從理論上講，車(chē)輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個(gè)，設車(chē)輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時(shí)在接觸點(diǎn) 處壓強是 ，其余點(diǎn) 處，因為無(wú)壓力，故無(wú)壓強，即 ，另外，我們知道壓強函數的積分等于壓力，即 。
函數概念在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展，20世紀60年代以后，數學(xué)家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念——“關(guān)系”。 設集合X、Y，我們定義X與Y的積集 （笛卡爾積）為 ，積集中的子集R稱(chēng)為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若 ，則稱(chēng)x與y有關(guān)系R，記為 ，若 ，則稱(chēng)x與y無(wú)關(guān)系。則從集合X到集合Y的函數 有如下定義：1） 是X與Y的關(guān)系，即 ，2)如果 ，必有 ，那么 為X到Y的函數。[11]在此定義中已在形式上回避了“對應”的術(shù)語(yǔ)，全部便用了集合論的語(yǔ)言了。
目前，推廣的函數概念的定義中把諸如“算子”和“泛函”（函數的函數，包括某些廣義函數）等名詞都包含進(jìn)去了，以適應日新月異發(fā)展的數學(xué)。我們可以預計到，關(guān)于函數的爭論、研究、發(fā)展、拓廣將不會(huì )完結，也正是這些影響著(zhù)數學(xué)及相鄰學(xué)科的發(fā)展。
回顧函數概念的“源”與“流”，我們看到，函數概念逐漸從直觀(guān)到抽象，從含糊到精確；大致經(jīng)歷了三個(gè)階段：從羅馬時(shí)代到17世紀中葉：樸素直觀(guān)、通俗易懂但不嚴格的描述階段；17世紀末到19世紀60年代：大致為常量與變量的表述階段；19世紀70年代到當今：發(fā)展到集合與對應，映射與關(guān)系抽象定義階段。這個(gè)發(fā)展流程與學(xué)生認知函數的過(guò)程基本一致。因此歷史上許多定義都對我們今天的教學(xué)有啟示作用。例如，早期的函數定義談到的“解析表達式”、“由曲線(xiàn)確定關(guān)系”、“依賴(lài)變化”等，盡管其范圍狹窄、表述不明確，但生動(dòng)直觀(guān)，學(xué)生容易理解，所以可以作為正式定義前的鋪墊材料；中期的定義除了“變量”、“對應”這兩個(gè)概念未明確外，總的來(lái)說(shuō)比較嚴謹，學(xué)生也可以接受，所以略加修改就可以作為函數的正式定義。后期的定義只用到集合概念，嚴謹抽象，中學(xué)生不易接受，但對函數的進(jìn)一步學(xué)習與研究以及加深對函數概念的理解大有用處。
當然，在進(jìn)行數學(xué)教育時(shí)，根據教育對象理解程度不同而采取不同的函數定義是必要的，有時(shí)候還常常借助于幾何直觀(guān)（函數圖像）來(lái)理解函數概念。人們認識由淺入深，由片面到全面，函數概念也隨著(zhù)學(xué)習數學(xué)的進(jìn)步而不斷更新完善的。以上我們分析了函數概念的整個(gè)發(fā)展歷程，下面我們來(lái)看看數學(xué)中真正使用了哪些定義。
1.3函數概念的不同表述
初中教材中函數概念的表述：“一般地設在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)自變量 與 ，如果對于 的毎一個(gè)值， 都有唯一的值與它對應，那么就說(shuō) 是自變量， 是 的函數。”[12] 該表述與狄利克雷的函數定義類(lèi)似。此表述的特點(diǎn)很直觀(guān)，并且明確指出自變量 在某一給定范圍可以取任意值,因變量 按一定規律也相應每次取唯一確定值。而此表述相對于初中要掌握的常量、變量、函數（一次函數、二次函數、及其圖像、反比例函數和性質(zhì)）完全夠用。而且這個(gè)表述對初中生來(lái)說(shuō)，也是容易理解的。
工具書(shū)上的定義：《中國大百科全書(shū)、數學(xué)》為函數單列一條，在講明“函數是一類(lèi)依賴(lài)關(guān)系的一種數學(xué)概括” 后定義：“設D是一非空的實(shí)數集， 是某一法則。如果對于毎一個(gè)數 ， 唯一地確定出一個(gè)相對應的實(shí)數 ，則稱(chēng) 為定義于D上的一個(gè)函數。”[13]
《數學(xué)百科辭典》指出：“目前在數學(xué)中，函數一詞一般是在和映射完全相同的意義下使用的。”在集合A、B之間，當給出使A的各元素對應B的某幾個(gè)元素的規則，稱(chēng)確定了由A到B的映射。映射也稱(chēng)為函數或者變換。函數在這里已不稱(chēng)其為函數了，成了映射或變換的代名詞。[14]
高中教材中的定義1：如果A、B都是非空的數集，那么A到B的映射 ： 就叫做A到B的函數，記作： ，其中 ，原象的集合A叫做函數 的定義域，象的集合 叫做函數 的值域，函數符號 表示“ 是 的函數”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數 。[15]
高中數學(xué)教材中定義2:設A,B是非空的數集,如果按某個(gè)確定的對應關(guān)系,使對于集合A中的任意一個(gè)數 ,在集合B中都有唯一確定的數 和它對應,那么就稱(chēng) :A B為從集合A到集合B的函數,記作: 其中 叫做自變量, 的取值范圍A叫做函數的定義域,與 值相對應的 的值叫做函數值,函數值的集合叫做函數的值域.[16] 高中教材中的定義與康托爾集合論出現后所給出的函數定義類(lèi)似。是在集合基礎上用對應的方式給出的（先定義映射也是用對應的方式給出的），這兩個(gè)定義更簡(jiǎn)明、嚴謹。定義2避開(kāi)了映射這個(gè)定義也避開(kāi)了映射學(xué)習對后繼學(xué)習的影響。高中要學(xué)的所有函數（冪函數、指數函數、對數函數、函數的單調性奇偶性、反函數、三角函數、反三角函數）等均可用這兩個(gè)定義表示，而且這兩個(gè)定義相對于高中生的認知水平，也是可以接受的。
數學(xué)分析中的定義:給定兩個(gè)實(shí)數集 和 ,若一個(gè)對應法則 ,使 內每一個(gè)數 ,都有唯一的一個(gè)數 與它對應,則稱(chēng) 是定義在數集 上的函數,記作 ： （ ）。數集 稱(chēng)為函數的定義域。對于 中的每一個(gè) 根據法則 所對應的 中的數 ,稱(chēng) 為在點(diǎn) 的函數值,常記為 。全體函數值的集合 稱(chēng)為函數的值域。[17]
高等數學(xué)中的定義：設在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 和 ，若對于 的取值范圍內的每一個(gè)值，按照某一個(gè)確定的對應法則， 有唯一確定的值與之對應，則稱(chēng) 是 函數，記作 ，變量 稱(chēng)為自變量，變量 稱(chēng)為因變量。自變量 的取值范圍稱(chēng)為函數的定義域。當自變量在定義域內取定某個(gè)值 時(shí)，按照確定的對應法則所得到的因變量的相應值 稱(chēng)為函數 在 處的函數值，記作 ，并稱(chēng)函數 在 處有定義。當自變量 在定義域上取值時(shí)，相應的函數值全體稱(chēng)為函數 的值域。[18] 由以上的兩個(gè)定義可以看出，大學(xué)教材中的定義是在中學(xué)教材中的定義的基礎上做了適當修改。
1.4引入函數概念的意義
從人類(lèi)數學(xué)發(fā)展的整個(gè)歷程來(lái)看，一個(gè)根本的轉折點(diǎn)是17世紀中葉，笛卡爾引入變量。恩格斯給予了高度評價(jià)“數學(xué)中的轉折點(diǎn)是笛卡爾的變數，有了變數，運動(dòng)進(jìn)入了數學(xué)，有了變數，辯證法進(jìn)入了數學(xué)，有了變數，微分和積分也就立刻成了必要，而它們也就立刻產(chǎn)生。”[19]也正是由于人們對變量、函數概念的認識，數學(xué)科學(xué)由初等數學(xué)時(shí)期（或稱(chēng)常量數學(xué)時(shí)期）進(jìn)入了高等數學(xué)時(shí)期（或稱(chēng)變量時(shí)期）。函數概念不僅使得人類(lèi)數學(xué)思維發(fā)生了質(zhì)的飛躍，而且導致了數學(xué)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，數學(xué)中的許多概念或由函數派生，或由函數統率,或可歸之為函數觀(guān)點(diǎn)研究。因此，可以毫不夸張地說(shuō)，函數是近、現代數學(xué)的基石。
函數在數學(xué)教育中的重要性體現在：函數是中學(xué)數學(xué)教育內容中重要的基礎概念之一。進(jìn)一步學(xué)習的數學(xué)分析，包括極限理論，微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程乃至泛函分析等高等學(xué)校開(kāi)設的數學(xué)基礎課程，無(wú)一不是以函數作為基本的概念和研究對象的。其他學(xué)科如物理學(xué)等學(xué)科也是以函數的基礎知識作為研究問(wèn)題和解決問(wèn)題的工具。此外函數的教學(xué)內容還蘊涵著(zhù)極其豐富的辯證思想，是對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育和愛(ài)國主義教育的好素材。函數的思想方法廣泛地滲透到了中學(xué)數學(xué)的全過(guò)程和其它學(xué)科中。通過(guò)對函數概念的學(xué)習，對學(xué)生的思維發(fā)展具有重大作用，它將使學(xué)生通過(guò)這一概念的形成引發(fā)對思維水平質(zhì)的飛躍，并引導其由形式邏輯思維范疇進(jìn)入辯證思維范疇。
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