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數學(xué)學(xué)習與數學(xué)課程改革
本身具有的應用價(jià)值、價(jià)值和智力價(jià)值，確立了它在學(xué)校課程中總是占據重要地位。數學(xué)學(xué)習已成為中小學(xué)學(xué)生人人面對的一項重要活動(dòng)。因此，認識數學(xué)學(xué)習、數學(xué)課程的內涵及彼此的關(guān)系，顯得極為重要。
一、數學(xué)學(xué)習
人類(lèi)的數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，從最初的結繩記數等自然經(jīng)驗的積累，演變成以班級授課形式為主的學(xué)校數學(xué)，已有數千年。然而，關(guān)于數學(xué)學(xué)習的基本理論的研究，諸如數學(xué)學(xué)習的實(shí)質(zhì)是什么？數學(xué)學(xué)習有何特點(diǎn)？學(xué)生在其學(xué)習過(guò)程中表現出哪些規律？影響學(xué)生數學(xué)學(xué)習的因素分析等等，并沒(méi)有形成一種共識，亟待更深入地研究和探索。
（一）數學(xué)學(xué)習的實(shí)質(zhì)
數學(xué)學(xué)習的實(shí)質(zhì)，牽涉到兩個(gè)更為重要的問(wèn)題：一是數學(xué)學(xué)習的對象——數學(xué)的本質(zhì)是什么？二是數學(xué)學(xué)習作為一類(lèi)學(xué)習活動(dòng)——學(xué)習的實(shí)質(zhì)是什么？前一個(gè)問(wèn)題，是數學(xué)的元問(wèn)題，有著(zhù)許多不同觀(guān)點(diǎn)。如“純數學(xué)的對象是現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系”①，“數學(xué)研究現實(shí)世界和人類(lèi)經(jīng)驗各方面的各種形式模型的構造”②，“數學(xué)是研究廣義的量（即模式結構形式）的學(xué)科”③等等。對數學(xué)本質(zhì)的不同認識，形成了各種數學(xué)哲學(xué)流派，由于所持哲學(xué)立場(chǎng)各異，各派沒(méi)有形成共識的跡象。隨著(zhù)認識的不斷深化，人們看到盡管數學(xué)強調嚴密，但只是一種相對真理，大部分內容僅僅滿(mǎn)足了合理性，與現實(shí)真理性有很大距離。
學(xué)習的本質(zhì)問(wèn)題，則是各種學(xué)習理論分野的焦點(diǎn)，這方面，具有代表性的是以桑代克、華生、斯金納等為代表的行為主義（或聯(lián)想主義）學(xué)習理論和以格式塔、托爾曼、布魯納等為代表的認知學(xué)習理論。在行為派看來(lái)，學(xué)習的實(shí)質(zhì)就是學(xué)習者通過(guò)經(jīng)典性條件反射或者操作性條件反射的形成而獲得經(jīng)驗的過(guò)程，即刺激與反應之間的聯(lián)結。在認知派看來(lái)，學(xué)習過(guò)程不是簡(jiǎn)單地在強化條件下形成刺激與反應的聯(lián)結，而是學(xué)習者積極主動(dòng)地形成新的完形或認知結構的過(guò)程，即學(xué)習是一種積極主動(dòng)的內部加工過(guò)程。隨著(zhù)兩大學(xué)派的爭論和研究的深入，任何一派都無(wú)法涵蓋對方，都無(wú)法解釋一切學(xué)習。因此，西方心界又出現了折中主義的學(xué)習理論，將學(xué)習分為包括簡(jiǎn)單的聯(lián)結學(xué)習與復雜的認知學(xué)習的若干層級，調和兩大學(xué)派，試圖說(shuō)明學(xué)習的全部涵義。如加涅最初將學(xué)習分為三類(lèi)聯(lián)結學(xué)習（信號學(xué)習、刺激——反應學(xué)習、連鎖學(xué)習）和五類(lèi)認知學(xué)習（言語(yǔ)聯(lián)想、辨別學(xué)習、概念學(xué)習、規則學(xué)習、問(wèn)題解決）。后來(lái)他又修改為一類(lèi)聯(lián)結學(xué)習（連鎖學(xué)習）和五類(lèi)認知學(xué)習（辨別學(xué)習、具體概念學(xué)習、抽象概念學(xué)習、規則學(xué)習、高級規則學(xué)習）。折中主義學(xué)習理論吸收了兩大學(xué)派的合理成分，但在學(xué)習本質(zhì)的研究上，并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。
對數學(xué)本質(zhì)的不同理解和學(xué)習實(shí)質(zhì)的不同看法，給我們認識數學(xué)學(xué)習的實(shí)質(zhì)增加了難度就中小學(xué)學(xué)生而言，他（她）們所面對的數學(xué)學(xué)習內容，主要是反映現實(shí)世界的數量關(guān)系和空間形式，數學(xué)學(xué)習活動(dòng)是受數學(xué)課程規范的、在學(xué)校情境中進(jìn)行的，它不同于人類(lèi)一般的數學(xué)學(xué)習。因此，從心理學(xué)的角度，中小學(xué)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習，是按教育目標在數學(xué)課程規定的范圍內，由獲得數學(xué)知識經(jīng)驗而引起的比較持久的行為或傾向的變化過(guò)程。這里的行為或傾向，包括學(xué)生外在的行為以及內在的數學(xué)認知、情感、興趣、態(tài)度、動(dòng)機等等。
（二）數學(xué)學(xué)習的特點(diǎn)
數學(xué)自身的特點(diǎn)，決定了數學(xué)學(xué)習是人類(lèi)學(xué)習活動(dòng)中的一種特殊活動(dòng)。數學(xué)學(xué)習需要學(xué)生有較強的邏輯思維能力、形象思維能力和直覺(jué)思維能力，用來(lái)處理多級抽象概括的數學(xué)知識經(jīng)驗，進(jìn)行形式符號的運算推理。學(xué)生數學(xué)學(xué)習的思維方式，往往是“理論—實(shí)踐—理論”④的模式，與數學(xué)家的思維模式相比，必須經(jīng)歷逆轉的心理過(guò)程。中小學(xué)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習，是按課程方案在教師下進(jìn)行的數學(xué)學(xué)科的學(xué)習，數學(xué)課程的特點(diǎn)使學(xué)生的數學(xué)學(xué)習更具有自己的風(fēng)格和特色。
（三）數學(xué)學(xué)習的類(lèi)型
中小學(xué)學(xué)生究竟進(jìn)行什么樣式的數學(xué)學(xué)習？回答這一問(wèn)題，對揭示學(xué)生學(xué)習的心理規律、教師組織教學(xué)、數學(xué)課程建設等等都很有意義。分類(lèi)標準不同，看法各異。如按數學(xué)學(xué)習的內容，將其分為：１．數學(xué)知識的學(xué)習；２．數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的學(xué)習；３．創(chuàng )造性數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗的學(xué)習。⑤按學(xué)生認知活動(dòng)水平的層次，數學(xué)學(xué)習包括：１．數學(xué)符號學(xué)習；２．數學(xué)概念學(xué)習；３．數學(xué)原理學(xué)習；４．數學(xué)運用學(xué)習；５．數學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習。⑥如果從學(xué)習的性質(zhì)來(lái)看，中小學(xué)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習包括：１．獲得數學(xué)知識經(jīng)驗的學(xué)習；２．獲得數學(xué)學(xué)習機制的學(xué)習，即元學(xué)習。前者為一般的學(xué)習，后者則是有關(guān)數學(xué)的外部活動(dòng)不斷內化的過(guò)程，是學(xué)生個(gè)體心理機能的獲得過(guò)程。
上述認識表明，中小學(xué)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習是一項復雜的心理活動(dòng)，它受學(xué)生個(gè)體發(fā)展水平、學(xué)校教育、數學(xué)課程等多種因素的制約。其中，數學(xué)課程不但影響著(zhù)人們對數學(xué)學(xué)習實(shí)質(zhì)、特點(diǎn)的理解，而且直接影響學(xué)生數學(xué)學(xué)習的內容、方法以及學(xué)習的成果。
二、數學(xué)課程
我認為，數學(xué)課程是對學(xué)校數學(xué)教育內容、標準和進(jìn)度的總體安排和設計。它是聯(lián)結教師、學(xué)生的橋梁。教師按課程的規定，為學(xué)生獲得數學(xué)知識經(jīng)驗、個(gè)性發(fā)展提供最有效的途徑與方法，學(xué)生則根據課程規定的數學(xué)內容、標準、進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習。因此，數學(xué)課程反映著(zhù)學(xué)生在教師指導下進(jìn)行的一切數學(xué)學(xué)習活動(dòng)。
美國課程論專(zhuān)家泰勒認為，教育的本來(lái)課題，不是教授者完成某種活動(dòng)，而是要在學(xué)生的行為中引起某種重要的變化。⑦數學(xué)課程建設為教師達到這一目標提供基本方案和依據，因而它對學(xué)生數學(xué)學(xué)習的質(zhì)量、水平有著(zhù)決定性意義。
制約數學(xué)課程建設的因素是多方面的，大致有因素、數學(xué)因素、學(xué)生因素、教師因素、因素、課程的發(fā)展史因素。⑧如果從中小學(xué)數學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)與歸宿來(lái)看，數學(xué)課程建設是為了學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，這種發(fā)展不是絕對自由的，而是在滿(mǎn)足社會(huì )需要前提下實(shí)現的。學(xué)生的個(gè)性發(fā)展源于成熟與學(xué)習。成熟多受遺傳的稟賦和潛能所支配，學(xué)習則是個(gè)體從中所獲得的變化，主要受個(gè)人的教養和境遇所影響。學(xué)校數學(xué)教育給學(xué)生提供了數學(xué)學(xué)習的環(huán)境，數學(xué)課程在這種環(huán)境中起著(zhù)“中介”和“方案”作用。因此，在滿(mǎn)足社會(huì )需要的前提下，學(xué)生數學(xué)學(xué)習的實(shí)質(zhì)、特點(diǎn)及所經(jīng)歷的心理規律等等，成為影響數學(xué)課程建設因素中的最根本因素。數學(xué)課程改革，必須認真對待學(xué)生的數學(xué)學(xué)習問(wèn)題。
三、從數學(xué)學(xué)習看數學(xué)課程改革
（一）數學(xué)課程改革的歷史教訓
２０世紀的數學(xué)課程改革已接近尾聲，各國都在歷史，展望未來(lái)。本世紀的數學(xué)課程改革歷史表明，不管社會(huì )存在什么樣的需要，只有設計符合學(xué)生數學(xué)學(xué)習特點(diǎn)、規律的課程體系，才能取得預期效果。學(xué)問(wèn)中心數學(xué)課程和人本主義數學(xué)課程的失敗就是佐證。
本世紀６０年代世界范圍內流行的學(xué)問(wèn)中心數學(xué)課程，是基于對學(xué)生數學(xué)學(xué)習這樣的認識建立的，即數學(xué)家的認識過(guò)程與學(xué)生的學(xué)習過(guò)程的邏輯是同質(zhì)的，其間的差異只是程度的問(wèn)題。數學(xué)家的研究邏輯與學(xué)生的數學(xué)學(xué)習邏輯被認為是：第一，數學(xué)家的認知方式與未成熟學(xué)生的數學(xué)認知方式所顯示的不同，不是種類(lèi)上而僅僅是程度上的差異，兩者都經(jīng)歷著(zhù)探究——發(fā)現學(xué)習的過(guò)程；第二，智力活動(dòng)在一切方面都是
同一的。數學(xué)家的智力、興趣與追求，對于任何年齡階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都可以認為是適當的。于是，學(xué)問(wèn)中心數學(xué)課程編制的基本準則是：依據數學(xué)科學(xué)的基本結構編制內容，體現數學(xué)的結構化、形成化、統一性和現代化。上述思想忽視了兒童思維方式的質(zhì)與成人有差異。皮亞杰等人的研究成果表明，青少年心智成長(cháng)是階段性發(fā)展的，在其成熟過(guò)程中，經(jīng)驗起著(zhù)質(zhì)的變化。因此，學(xué)問(wèn)中心數學(xué)課程注定是要失敗的。７０年代，它受到抨擊，被認為使學(xué)生“非人性化”，妨礙了“完整人格”的實(shí)現。數學(xué)課程也隨大流，走向人本主義化，以學(xué)生能力的全域發(fā)展為目的。
人本主義數學(xué)課程的目標是將學(xué)生的數學(xué)認知發(fā)展和情意發(fā)展（情緒、感情、態(tài)度、價(jià)值等）統一起來(lái)，數學(xué)課程采用知識課程與體驗課程或情意課程與體驗課程的多層結構。它以馬斯洛的理論為其心理學(xué)基礎，企圖將抽象的數學(xué)演繹過(guò)程轉變?yōu)榻?jīng)驗的歸納的學(xué)習過(guò)程。然而，這種理想化課程并沒(méi)有提高學(xué)校數學(xué)教育質(zhì)量，過(guò)分強調尊重人的價(jià)值、忽視學(xué)生數學(xué)學(xué)習的規律，造成了學(xué)生學(xué)習能力低下。７０年代中期，一些國家（如美國）又強調“回到基幢去。
數學(xué)課程必須符合學(xué)生數學(xué)學(xué)習的特點(diǎn)、心理規律，實(shí)際上是數學(xué)課程的學(xué)生適切性問(wèn)題，它與數學(xué)課程的社會(huì )適切性共同決定著(zhù)數學(xué)課程改革的成敗。如何使學(xué)生在數學(xué)學(xué)習中人格得以完善，又能兼顧社會(huì )的需要，看來(lái)“大眾數學(xué)”強調素質(zhì)教育的思想是比較合理的。在這一思想指導下，９０年代西方發(fā)達國家都建立了各自的數學(xué)課程體系，將數學(xué)課程的社會(huì )適切性與學(xué)生適切性置于核心地位，尤其是后者，可以說(shuō)達到空前的地步。
（二）從數學(xué)學(xué)習看數學(xué)課程標準
數學(xué)課程標準是對各個(gè)特定階段（如初中、高中）學(xué)生數學(xué)學(xué)習目標的規定，它體現著(zhù)數學(xué)教育的目標。這些規定，必須考慮學(xué)生達到該學(xué)段時(shí)已有的數學(xué)知識經(jīng)驗、數學(xué)認知發(fā)展水平、數學(xué)思維的發(fā)展水平與特點(diǎn)，以及學(xué)生在教師的指導下以上方面可達到的水平。不同、不同環(huán)境下成長(cháng)的學(xué)生，在思維發(fā)展順序上同一，但達到各階段的時(shí)間有差異。從數學(xué)概括能力、空間想象能力、數學(xué)命題能力和邏輯推理能力幾方面發(fā)展的研究表明，⑨我國中學(xué)生在初中二年級是中學(xué)階段思維發(fā)展的關(guān)鍵期，從初中二年級開(kāi)始，他們的抽象邏輯思維開(kāi)始由經(jīng)驗型水平向理論型水平轉化，到高中二年級，這種轉化初步完成，已“初步定型”或成熟。數學(xué)課程標準的確定，必須考慮這些特點(diǎn)。
（三）從數學(xué)學(xué)習看數學(xué)課程內容的選擇
數學(xué)課程內容的確定，是歷次數學(xué)課程改革的核心。從數學(xué)學(xué)習的角度看，數學(xué)課程的內容必須對大多數學(xué)校的大多數學(xué)生是難易適中，應與學(xué)生的認知水平相匹配，與學(xué)生的可接受能力相適應。這些內容應該是以前數學(xué)學(xué)習的發(fā)展，是今后數學(xué)學(xué)習或就業(yè)的準備。學(xué)習這些內容，不僅使學(xué)生獲得數學(xué)知識經(jīng)驗，而且使學(xué)生的數學(xué)學(xué)習機制（元學(xué)習）得到發(fā)展。數學(xué)課程的內容過(guò)于直觀(guān)、易懂，有益于學(xué)生較快獲得數學(xué)知識，但對數學(xué)經(jīng)驗積累較少，至于更有意義的學(xué)習機制的發(fā)展就微乎其微。中小學(xué)數學(xué)課程內容，應盡可能地讓學(xué)生感知數學(xué)的發(fā)展和全貌，增加廣泛的背景知識，體現不同的數學(xué)思維方式和數學(xué)思想方法。這些內容是極有價(jià)值的，學(xué)生可能會(huì )受益終身。
（四）從數學(xué)學(xué)習看數學(xué)課程的體系編排
數學(xué)課程的體系編排，應以學(xué)生不同階段的數學(xué)認知方式、認知結構、學(xué)習過(guò)程的心理特征為前提，在此基礎上，盡可能保持數學(xué)科學(xué)所具有的嚴密和統一性，處理好“數學(xué)學(xué)問(wèn)邏輯”向“學(xué)科數學(xué)邏輯”的轉化，實(shí)現數學(xué)知識結構、認知結構、心理結構的和諧統一。學(xué)生數學(xué)學(xué)習的類(lèi)型是多樣的，課程體系的編排，某一區段的組織不妨按認知水平，從低向高，依次以概念、原理、運用、問(wèn)題解決學(xué)習為序列。學(xué)生的認識不是一次完成的，應注意課程的螺旋式發(fā)展。同時(shí)，數學(xué)課程編排中應注意學(xué)生自學(xué)能力、數學(xué)意識的培養，必須充分考慮學(xué)生非智力因素的發(fā)展，為其數學(xué)學(xué)習提供動(dòng)力。
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