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論文：對預防性維護與備件管理聯(lián)合數學(xué)優(yōu)化模型研究
本文是由上傳的：預防性維護與備件管理聯(lián)合數學(xué)優(yōu)化研究。
摘 要：預防性維修需要一定數量備件庫存。若庫存備件數少于預防性維修周期內所需備件數，那么在缺失備件到貨前，待修系統將經(jīng)歷非必要停機，生產(chǎn)遭受非必要損失。另外，若庫存備件數量大于預防性維修周期內所需備件數量，會(huì )導致非必要的備件庫存費用。理想狀態(tài)是庫存備件數量恰等于預防性維修周期內所需備件數。然而，故障（維修）次數是一個(gè)隨機變量，使得確定備件確切數量變得困難。本文在前輩所建模型的基礎上，利用更新函數以及數學(xué)分析手段，討論如何確定預防維修周期初始，最優(yōu)庫存備件數量，繼而使得整個(gè)周期內總費用最��；并對基于最小停產(chǎn)損失的預防性維護體系優(yōu)化模型進(jìn)行研究。
關(guān)鍵詞：預防性維護；備件管理；聯(lián)合優(yōu)化；可靠性?xún)?yōu)化
Abstract： Preventive maintenance needs a certain amount of spare parts inventory. If the spare parts inventory less than the preventive maintenance cycle required， so before the unavailable items arrival， the system will undergo unnecessary downtime， bring unnecessary production losses. In addition， if the spare parts inventory is greater than the preventive maintenance cycle required， will lead to unnecessary spare parts inventory costs. Spare parts inventory quantity equaling to the required amount of spare parts in the preventive maintenance cycle is ideal. However， fault （maintenance） is a random variable； make it difficult to determine the exact amount of spare parts. In this paper， on the basis of predecessors and the existing model， using the function and mathematical analysis method， study how to determine the optimal amount of spare parts inventory at the start of preventive maintenance period， then get the whole cycle minimum total cost. And research the optimization model of the minimum loss preventive maintenance system.
Key Words： Preventive Maintenance， Spare-parts Management， Joint Optimization， Reliability Optimization
1 引言
庫存管理作為一項重要研究?jì)热�，把它和維護策略相聯(lián)合研究已經(jīng)受到國際維護領(lǐng)域極大關(guān)注，單從21世紀初的五年中，接連有十余篇國際著(zhù)名期刊（例如 IEEE Transactions，IIE Transactions等）報道學(xué)者們的研究成果。聯(lián)合研究首先可以得到全局最優(yōu)，而不像局部最優(yōu)。另外，研究表明，聯(lián)合研究往往會(huì )較大地節約成本，減少費用。
2003年，Brezavscek & Hudoklin[1]建立了庫存備件和設備零件批量更換聯(lián)合優(yōu)化策略之解析形式數學(xué)模型，其中決策變量為成批更換周期和最大庫存量。該模型將訂貨提前期固定，對周期維護和庫存備件聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，給出了聯(lián)合模型的解析形式，提供了一個(gè)解決維護聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題的新途徑，并將研究成果成功應用于歐洲電氣火車(chē)部件維護和庫存聯(lián)合管理上。
流程型生產(chǎn)系統的可靠度在頗大程度上受其結構、材料質(zhì)量及其構成零部件的可靠度影響，但系統之可用度除受以上因素影響外，在某些程度上還與有效的預防性維修和檢測密不可分[2，3]。以可靠性理論為基礎進(jìn)行預防性維修策略?xún)?yōu)化模型研究，在故障時(shí)間分布基礎上也許存在一個(gè)最優(yōu)的PM，或者基于維修成本最最優(yōu)、或者基于綜合成本最優(yōu)，或稱(chēng)最小停機時(shí)間模型。預防性維修是在提前確定的時(shí)間間隔內進(jìn)行，這些時(shí)間間隔是基于歷史數據、系統故障時(shí)間分布、經(jīng)濟模型或可用度模型來(lái)估計的。本文在數學(xué)模型基礎上，研究如何確定最優(yōu)的PM時(shí)間間隔，使得停機時(shí)間最小，繼而停機損失最小。
2 預防性維修與備品備件數量?jì)?yōu)化模型研究
2.1 數學(xué)基礎[4，5]
單位時(shí)間內總費用表達式：
式中和分別是預防性更換的費用和故障更換的費用。為更新函數，可以通過(guò)積分更新方程與故障時(shí)間分布F（t）求得。
基本更新方程：
更新密度 是的導數：
即：
或：
式中是時(shí)間段 內發(fā)生一次更新的概率。對于泊松過(guò)程來(lái)說(shuō)更新密度就是泊松比λ。
2.2 優(yōu)化模型研究
設代表在周期內因故障引起的更換次數，則每個(gè)預防性維護周期需要的備件數量為。假設初始備件庫存為L(cháng) 個(gè)，當時(shí)，當預防性維護周期結束時(shí)，庫存費用恰為零；否則會(huì )產(chǎn)生備件儲存或備件缺乏費用（庫存中沒(méi)有需要的備件造成的損失）。定義為隨偏離0逐漸遞增之懲罰函數（Penalty Function）[6]。據Taguchi、Elsayed， Hsiang給出的損失函數及Murthy函數[7]，且設每個(gè)多余備件的存儲費用=每個(gè)備件的短缺費用（實(shí)際情況可能不同），可將判決函數g寫(xiě)為： 因為 是一個(gè)隨機變量，所以，判決函數的預計值：
即
式中pn是的概率�？傎M用是兩部分的和：?jiǎn)挝粫r(shí)間系統平均費用及與備件數量相關(guān)之懲罰費用（Penalty Cost）。所以，總費用表達式為：
其中a是一個(gè)比例因子，當a=0時(shí)，無(wú)懲罰費用，a值越大，就意味著(zhù)因備件短缺和過(guò)剩引起的懲罰費用越高。明顯，最優(yōu)預防維護周期tp是a的函數，最優(yōu)值和可以通過(guò)對tp和L求解TC最小值求得。
可寫(xiě)為：
式中 且 是的方差。所以，
預防維修周期開(kāi)始時(shí)，其最優(yōu)備件數量可以通過(guò)令求得。
即：
由此表明在預防性維修周期內，最優(yōu)備件數量須等于預計維修（故障）數。
同理，對于給定的a，最優(yōu)預防維修周期長(cháng)度可以通過(guò)令求解。
式中 ，求解上式可得最優(yōu)值 。
2.3 應用舉例引入優(yōu)化模型
在制藥及食品行業(yè)中，對衛生等級要求非常高，一些公用設施例如純水機組、無(wú)油壓縮機組等都地非常關(guān)鍵的設備，因為此類(lèi)公用設施停機會(huì )導致大面積甚至全廠(chǎng)停產(chǎn)，生產(chǎn)損失會(huì )造成很高費用。高速壓縮機的異形雙旋齒葉輪會(huì )產(chǎn)生疲勞裂紋。葉輪疲勞壽命可以通過(guò)振動(dòng)疲勞實(shí)驗中振幅與頻率的乘積（AF值）來(lái)評估。若一個(gè)葉輪表現出非常低的AF值，那么應當更換葉輪以避免裂紋擴展。因為周期性開(kāi)展疲勞實(shí)驗費用昂貴，所以維修人員通常根據預防性維修計劃中的時(shí)間更換葉輪。當預防性維修周期結束時(shí)更換葉輪的費用是$250，而在期中更換的費用是$1000。相鄰故障之間隔時(shí)間用參數λ=0.005的二階Erlang分布來(lái)表達。設a=0.8，使得總費用最小之最優(yōu)備件數量及預防性維修周期。利用模型來(lái)求解：
二階Erlang分布的概率密度函數如下：
預防維修周期tp中的預計故障數：
∴
將以上兩式代入
可得
代入數值得
求得： （h）
對應預防維修周期內之預計故障數是0.163。所以，最優(yōu)備件數量為1.163，這個(gè)數值代表每個(gè)運行單元的備件數量。
3 基于最小停產(chǎn)損失的預防性維護體系優(yōu)化模型研究
對于流水線(xiàn)生產(chǎn)系統，某些企業(yè)因為停機導致產(chǎn)量損失，相比較維修費用而言產(chǎn)量損失更加重要，通常采用周期性檢測與預防性維修相結合的維護方法，檢測能夠及時(shí)地給決策部門(mén)提供準確的信息。此類(lèi)情況下，檢測是周期性地進(jìn)行的。當檢測到部件故障時(shí)，對其進(jìn)行即時(shí)維修或安排預防性更換。假如在檢測期間沒(méi)有檢測到部件故障，那么檢測期間的停機將導致產(chǎn)量損失費用（相比產(chǎn)量損失檢測費用可忽略）。顯然，頻繁檢測可以減少故障損失費用但會(huì )增加非故障停機損失，繼而影響總費用。因此需要一個(gè)檢測計劃，使得檢測到故障時(shí)其預計費用最小，并且，假設檢測到故障時(shí)要更換部件，也應使費用最少。
3.1 優(yōu)化模型研究
試考慮一系統，通過(guò)周期性檢測來(lái)判斷是否需要進(jìn)行維修或更換，同時(shí)在必要之情況下對其進(jìn)行預防性維修。假設在檢測后，組件和檢測前比壽命相同之概率為p，和新組件壽命相同之概率為q（Nakagawa，1984）[9]。需要估計該部件的故障前工作時(shí)間及故障前預計檢測次數，需要估計總預計費用及檢測到故障時(shí)的單位時(shí)間內預計費用，還需要求解使預計費用最小之最優(yōu)檢測次數。
式中，式中第一項表示至系統故障時(shí)第次與第j次之間的平均時(shí)間，第二項表示系統第j次檢查后進(jìn)行更新之平均時(shí)間，在此之后系統便故障。通過(guò)對上式求解可得：
假如，則在每次檢測后，系統都如新，且有
相反，如果，則在每次檢測后，系統壽命不變，則：
由此，故障前之預計檢測次數可以通過(guò)下式獲得
當時(shí)，
當時(shí)，
將和代入上式可得：
即
從上式可以看出，，表明其存在一有限的最優(yōu)值使得總預計費用最小。Nakagawa（1984）給出：
因此
當檢測到故障時(shí)，使單位時(shí)間內預計費用最小之最優(yōu)檢測時(shí)間間隔。此種情況下，由可得：
即
的極限為且。結合上式及一個(gè)給定的T值，對遞增型故障率來(lái)說(shuō)單位時(shí)間內預計費用是p的增函數�！�
3.2 優(yōu)化模型應用舉例
在制藥及食品行業(yè)中，對衛生等級要求非常高，一些公用設施例如純水機組、無(wú)油壓縮機組等都地非常關(guān)鍵的設備，因為此類(lèi)公用設施停機會(huì )導致大面積甚至全廠(chǎng)停產(chǎn)，生產(chǎn)損失人造成很高費用，所以需要對機組進(jìn)行深度檢測；具體地說(shuō)，以AtlasCopco壓縮機為例將檢測異形雙旋齒高速輪軸的潛在裂紋。輪軸的故障時(shí)間服從故障率為0.0005/h的指數分布。每次檢測費用為$120，未檢測到故障所造成損失為$80，利用模型進(jìn)行求解：
因為故障時(shí)間服從指數分布，則，對于p的任何值，可簡(jiǎn)化為：
可簡(jiǎn)化為：
使檢測到故障時(shí)，總預計費用最小之最優(yōu)檢測時(shí)間間隔，是使最小的值，即
求得 。
利用可求得使檢測到故障時(shí)候，單位時(shí)間內預計費用最小的最優(yōu)檢測時(shí)間間隔為
可求得 。
因此，應該以固定的77 h為周期，定期對雙旋齒輪軸進(jìn)行檢測。
4 小結
本文主要針對設備維護與備件庫存整合優(yōu)化策略和模型中關(guān)鍵問(wèn)題展開(kāi)研究，通過(guò)研究，豐富并發(fā)展了設備維護優(yōu)化的內涵和外延。備件庫存和傳統維護策略的集成優(yōu)化研究，其中維護涉及到定期維護（成批更換維護策略）和事后維護（故障后更換策略）。分析了訂貨提前期確定的Brezavscek聯(lián)合維護策略和模型，以一個(gè)制藥企業(yè)空壓設備雙旋齒葉輪失效實(shí)例說(shuō)明模型應用，最后基于最小停產(chǎn)損失的預防性維護體系優(yōu)化模型研究，并實(shí)例說(shuō)明模型應用。
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