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淺論從虛位移原理到拉格朗日方程
【摘要】由虛位移原理出發(fā)結合達朗貝爾原理得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，再有這個(gè)普遍方程得到拉格朗日方程的推導過(guò)程。容易看出理論力學(xué)比經(jīng)典力學(xué)有更深的理論基礎和靈活性。尤其是廣義坐標、廣義力的引入，以能量為基本概念的動(dòng)力學(xué)方程比牛頓第二定律更具有理論優(yōu)勢。通過(guò)方程的應用實(shí)例可揭示出這兩個(gè)方程在分析力學(xué)中具有非常重要的理論價(jià)值和應用價(jià)值。
【關(guān)鍵詞】廣義坐標 虛位移 拉格朗日方程 廣義力
分析力學(xué)是理論力學(xué)的重要組成部分，它給出了與牛頓第二定律等價(jià)的力學(xué)基本方程，提供了解決力學(xué)問(wèn)題的不同方法，拉格朗日方程也是分析力學(xué)中一個(gè)重要的基本方程。拉格朗日方程是在動(dòng)力學(xué)的普遍方程(達朗伯―拉格朗日方程)的基礎上，將各點(diǎn)的坐標 、及其虛位移 變換為廣義坐標 及其變分 后得到的。為了加深對拉格朗日方程的認識和理解，以便能更好地運用它來(lái)分析和解決問(wèn)題，下面將達朗伯原理和虛位移原理結合起來(lái)推導出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。
一、從虛位移原理動(dòng)力學(xué)普遍方程
設由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由達朗伯原理知，在質(zhì)點(diǎn)系運動(dòng)的任一瞬時(shí)，任一質(zhì)點(diǎn) 上作用的主動(dòng)力 ，約束反力 及其慣性力 三者構成形式上的平衡力系，即：
(1)
對該質(zhì)點(diǎn)系應用虛位移原理，為此，取質(zhì)點(diǎn)系的任何一組虛位移 ，則得：
(2)
設該質(zhì)點(diǎn)受的是理想約束，則有 ，因此 即：
(3)
(3)式是通過(guò)達朗伯虛加慣性力手段和虛位移原理相結合而得到的結果，稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)普遍方程，也稱(chēng)達朗伯――拉格朗日方程。
二、從動(dòng)力學(xué)普遍方程到拉格朗日方程
由分析力學(xué)，可設主動(dòng)力為 ，廣義力
由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得
(4)
僅為時(shí)間和廣義坐標的函數。
第一個(gè)拉格朗日關(guān)系式
對任意一個(gè)廣義坐標 qj 求偏導數
如果將位矢對任意一個(gè)廣義坐標 qj 求偏導數，再對時(shí)間求
導數，則得到
第二個(gè)拉格朗日關(guān)系式
(5)
在這里， 為廣義坐標， 則為廣義動(dòng)量，此即拉格朗日方程，或稱(chēng)為第二類(lèi)拉格朗日方程。
如果作用在系統上的主動(dòng)力都是有勢力，根據有勢力的廣義主動(dòng)力
引入拉格朗日函數L=T-V， T是動(dòng)能，V是勢能，得到主動(dòng)力為有勢力的拉格朗日方程
(6)
動(dòng)力學(xué)普遍方程中系統的運動(dòng)是直角坐標來(lái)描述的，而拉格朗日方程是用廣義坐標來(lái)描述系統的運動(dòng)，兩者都可用來(lái)解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，用分析的方法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，因此是分析力學(xué)的基礎。對于解決復雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)力學(xué)普遍方程簡(jiǎn)便得多。
三、應用舉例
為了說(shuō)明分析力學(xué)在解決力學(xué)問(wèn)題靈活、方便且科學(xué)上的嚴謹等優(yōu)勢，我們可通過(guò)以下面例題的求解來(lái)彰顯。
如圖1所示，試用拉格朗日方程求單擺的微振動(dòng)方程和周期。
解：設單擺的擺長(cháng)為 ，擺錘質(zhì)量為m，取 為廣義坐標，則拉格朗日函數為：
其中取懸點(diǎn)o為零勢能點(diǎn)。
代入到拉格朗日方程 中得：
而 ，則 ，此即為單擺的微振動(dòng)方程。于是角頻率
所以周期 。
為了節省時(shí)間，在解題過(guò)程中，并沒(méi)有用大家所熟悉的牛頓第二定律與拉格朗日方程對比來(lái)求解。但仍能明顯的感覺(jué)到，用分析力學(xué)解題比用牛頓第二定律的方法簡(jiǎn)單靈活的多。
四、結語(yǔ)
在分析力學(xué)中，關(guān)于力學(xué)系統的動(dòng)力學(xué)規律有兩種不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在這種表述中，就是用拉格朗日方程來(lái)描述系統的運動(dòng)規律。關(guān)鍵的問(wèn)題在于對方程的物理意義的深入理解和如何應用拉格朗日方程解題。在學(xué)習過(guò)程中，有些學(xué)生只注意解題技巧而忽視了對方程的物理意義往往這是不可缺少的關(guān)鍵一步。
拉格朗日方程的基本特色在于：(1)由于采用廣義坐標作基本變量，微分方程式的數目和系統的自由度數目相同，微分方程的數目是最少的。(2)由于微分方程中不包含約束反力，以及所使用的函數(動(dòng)能函數、勢能函數等)多為標量函數，這和牛頓的力學(xué)方程相比較，在解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)有很大的優(yōu)越性。(3)第二類(lèi)拉格朗日方程是力學(xué)系統在具有最一般意義的廣義坐標描述下保持形式不變的動(dòng)力學(xué)方程，因此利用該方程來(lái)研究力學(xué)系統的動(dòng)力學(xué)具有極大的普遍性。因此，可以說(shuō)，拉格朗日方程是力學(xué)中一個(gè)非常重要的理論工具。
參考文獻：
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