極限思想的辯證思考

　　摘　要：極限理論貫穿整個(gè)微積分學(xué)，是微積分的重要內容和難點(diǎn)。認識極限思想是把握和理解極限理論的前提。通過(guò)極限思想與辨證哲學(xué)的緊密聯(lián)系，加強極限思想的辨證理解，有助于數學(xué)思維的培養和數學(xué)素養的提高。
　　關(guān)鍵詞：極限思想；辨證哲學(xué)；對立統一
　　0 引言。
　　微積分是研究客觀(guān)世界運動(dòng)現象的一門(mén)學(xué)科，我們引入極限概念對客觀(guān)世界運動(dòng)過(guò)程加以描述， 用極限方法建立其數量關(guān)系并研究其運動(dòng)結果[1]。極限理論是微積分學(xué)的基礎理論，貫穿整個(gè)微積分學(xué)。要學(xué)好微積分，必須認識和理解極限理論，而把握極限理論的前提，首先要認識極限思想。極限思想蘊涵著(zhù)豐富的辯證思想，是變與不變、過(guò)程與結果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變以及否定與肯定的對立統一。
　　1 極限思想與辯證哲學(xué)的聯(lián)系。
　　1.1 極限思想是變與不變的對立統一。
　　“變”與“不變”反映了客觀(guān)事物運動(dòng)變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，不變是相對的，變是絕對的，但它們在一定條件下又可相互轉化。例如，平面內一條曲線(xiàn)C上某一點(diǎn)P 的切線(xiàn)斜率為kp。除P 點(diǎn)外曲線(xiàn)上點(diǎn)的斜率k 是變量，kp是不變量，曲線(xiàn)上不同的點(diǎn)對應不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 與kp是變與不變的對立關(guān)系；同時(shí)，它們之間也體現了一種相互聯(lián)系相互依賴(lài)的關(guān)系。當曲線(xiàn)上的點(diǎn)無(wú)限接近P 點(diǎn)過(guò)程中，斜率k無(wú)限接近kp，變化的量向不變的量逐漸接近。當無(wú)限接近的結果產(chǎn)生質(zhì)的飛躍時(shí)，變量轉化為不變量，即“變”而“不變”，這體現了變與不變的統一關(guān)系。
　　1.2 極限思想是過(guò)程與結果的對立統一。
　　過(guò)程和結果在哲學(xué)上是辯證統一的關(guān)系， 在極限思想中也充分體現了結果與過(guò)程的對立統一。在上例中，當曲線(xiàn)上的點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn)P 的變化過(guò)程中，k 是變化過(guò)程，kp是變化結果。一方面，無(wú)論曲線(xiàn)上點(diǎn)多么接近點(diǎn)P，都不能與點(diǎn)P 重合，同樣曲線(xiàn)上變化點(diǎn)的斜率k 也不等于kp，這體現了過(guò)程與結果的對立性；另一方面，隨著(zhù)無(wú)限接近過(guò)程的進(jìn)行，斜率k 越來(lái)越接近kp，二者之間有緊密的聯(lián)系， 無(wú)限接近的變化結果使得斜率k 轉化為kp，這體現了過(guò)程與結果的統一性。所以，通過(guò)研究曲線(xiàn)上點(diǎn)斜率k 的變化過(guò)程得到P 點(diǎn)的斜率kp就是過(guò)程與結果的對立統一。
　　1.3 極限思想是有限與無(wú)限的對立統一。
　　在辨證法中，有限與極限是對立統一的。無(wú)限與有限有本質(zhì)的不同， 但二者又有聯(lián)系， 無(wú)限是有限的發(fā)展，同時(shí)借助極限法，從有限認識無(wú)限[2]。例如，在極限式lim n→∞ xn=a 中xn對應數列中的每一項， 這些不同的數值xn既有相對靜止性，又有絕對的運動(dòng)性。數列中的每一項xn和a 都是確定不變的量， 是有限數； 隨著(zhù)n無(wú)限增大，有限數xn向a 無(wú)限接進(jìn)，正是這些有限數xn的無(wú)限變化，體現了無(wú)限運動(dòng)的變化過(guò)程，這種無(wú)限運動(dòng)變化結果是數值。因此在極限思想中無(wú)限是有限的發(fā)展，有限是無(wú)限的結果，他們既是對立又是統一的。
　　1.4 極限思想是近似與精確的對立統一。
　　近似與精確是對立統一的關(guān)系， 在一定條件下可相互轉化， 這種轉化是理解數學(xué)運算的重要方法[2]。
　　在極限抽象的概念中，引入實(shí)例如“圓內接正多邊形面積”，其內結多邊形面積是該圓面積的近似值，當多邊形的邊數無(wú)限增大時(shí)， 內結多變形面積無(wú)限接近圓面積，取極限后就可得到圓面積的精確值，這就是借助極限法，從近似認識精確。又如在極限式lim n→∞ xn=a 中，當n無(wú)限增大時(shí)，數列的項x1，x2，…，xn反映變量xn無(wú)限的變化過(guò)程，而a 反映了變量xn無(wú)限變化的結果，每個(gè)xn都是a 的近似值，并且當n 越大，精確度越高；當n 趨于無(wú)窮時(shí)，近似值xn轉化為精確值a。雖然近似與精確是兩個(gè)性質(zhì)不同、完全對立的概念，但是通過(guò)極限法，建立兩者之間的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉化。因此近似與精確既是對立又是統一的。

　　1.5 極限思想是量變與質(zhì)變的對立統一。
　　在唯物辨證法中， 任何事物都具有質(zhì)和量?jì)蓚�(gè)方面，都是質(zhì)和量的統一體。質(zhì)是指事物成為它自身并區別于其他事物的內在規定性，量是指事物存在的規模、發(fā)展程度和速度， 以及它的構成成分在空間上的排列組合等可以用數量來(lái)表示的規定性[3]。量變和質(zhì)變既有區別又有聯(lián)系，兩者之間有著(zhù)辯證關(guān)系。量變是質(zhì)變的準備， 量的變化達到一定的度， 就不可避免地引起質(zhì)變，只有質(zhì)的變化才是事物根本性質(zhì)的變化，量變質(zhì)變規律在數學(xué)研究工作中起重要作用[4]。對任何一個(gè)單位圓的內接正多邊形，事物的質(zhì)是圓的內接多邊形，量是內接多邊形的邊數，當邊數無(wú)限增加，得到的仍是圓內接正多邊形，是量變，不是質(zhì)變，量變體現事物發(fā)展的連續性， 在事物量變過(guò)程中， 保持事物本身質(zhì)的穩定性。但當邊數增加的無(wú)限過(guò)程中，由于量的動(dòng)態(tài)變化，多邊形越來(lái)越接近圓，為質(zhì)變創(chuàng )造條件，多邊形面積就變轉化為圓面積，促進(jìn)量質(zhì)轉化，達到矛盾統一。
　　1.6 極限思想是否定與肯定的對立統一。
　　任何事物的內部都包含著(zhù)肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對立統一。單位圓和它的內接正多邊形分別是兩個(gè)事物的對立面， 內接正多邊形是事物對自身的肯定，其中也包含著(zhù)否定，這種內在的否定因素是通過(guò)圓內接正多邊形邊數的改變而體現的。隨著(zhù)圓內接正多邊形的邊數逐漸增加至無(wú)窮時(shí)，內接多邊形的面積轉化為該單位圓的面積， 促使該事物轉化為自己的對立面，由肯定達到自身的否定，這體現了否定與肯定的對立； 圓的內接正多邊形和圓雖是兩個(gè)對立的事物，但是二者之間有緊密的聯(lián)系，圓內接正多邊形的面積可以轉化為圓的面積， 而單位圓是通過(guò)逐步增加內接正多邊形的邊數來(lái)實(shí)現的， 從而建立了這二者的聯(lián)系，體現了否定與肯定的統一。
　　2 極限思想與辨證哲學(xué)的研究意義。
　　在唯物辯證法中，客觀(guān)事物之間相互影響、相互制約和相互作用的關(guān)系無(wú)處不在，即使是性質(zhì)完全不同、矛盾對立的兩個(gè)事物， 也都有其相互聯(lián)系的一面。所以，在微積分的學(xué)習過(guò)程中，不容忽視唯物辯證法普遍聯(lián)系思想的滲透。辯證思維在數學(xué)思維中的滲透和理解，其實(shí)質(zhì)就是按照唯物辯證法的原則，在聯(lián)系和發(fā)展中把握認識對象，在對立統一中認識事物。通過(guò)上述分析，極限思想貫穿唯物辨證哲學(xué)的范疇，它揭示了變與不變、過(guò)程與結果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變的對立統一[4]。我們在理解極限思想時(shí)必須把單一、封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開(kāi)放、動(dòng)靜態(tài)相結合的辯證邏輯思維。數學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數學(xué)的高層次要求， 領(lǐng)悟數學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導下進(jìn)行數學(xué)思維， 是提高學(xué)生數學(xué)素養、理解數學(xué)知識，培養學(xué)生數學(xué)能力的重要方法和手段[5]。
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　　參考文獻：
　　[1]沈長(cháng)華：《微積分概念的發(fā)展及其哲學(xué)解析》[D]；《蘭州大學(xué)碩士學(xué)位論文》2007:10－15。
　　[2]吳振英、陳湛本：《論極限的思想方法》[J]；《廣州大學(xué)學(xué)報》2003（10）：410－412。
　　[3]王娟：《微積分教學(xué)中哲學(xué)思想的滲透》[J]；《高等函授學(xué)報》2007（12）：8－10。
　　[4]白淑珍：《對極限思想的辨證理解》[J]；《中國校外教育》2008（02）：39－40。
　　[5]孫偉、白素英：《微積分教學(xué)功能的哲學(xué)思考》[J]；《哈爾濱金融高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報》2005（3）：55－56。

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