認知數學(xué)元差異的相關(guān)研究及啟示
摘要：本文通過(guò)回顧關(guān)于數學(xué)元認知的相關(guān)研究，對數學(xué)元認知的理論和學(xué)生數學(xué)元認知差異的主要表現進(jìn)行了分析與梳理。相關(guān)研究發(fā)現，學(xué)生的數學(xué)元認知水平在數學(xué)學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生、性別、年齡等方面，差異較為明顯。文章最后指出了相關(guān)研究對數學(xué)教學(xué)的啟示。
關(guān)鍵詞：元認知能力 數學(xué)元認知 數學(xué)元認知差異
數學(xué)元認知是以數學(xué)觀(guān)念為指導，在數學(xué)思維過(guò)程中表現出來(lái)的，對數學(xué)認知活動(dòng)的認識和監控。學(xué)生的數學(xué)元認知水平對數學(xué)學(xué)習有很大影響，數學(xué)元認知的差異是形成數學(xué)思維品質(zhì)差異的根本原因，因此，了解學(xué)生數學(xué)學(xué)習的元認知水平的差異，對于有效地開(kāi)展數學(xué)教學(xué)，有針對性地指導學(xué)生的數學(xué)學(xué)習有著(zhù)十分重要的意義。本文通過(guò)回顧關(guān)于數學(xué)元認知的相關(guān)研究，對數學(xué)元認知的理論和學(xué)生數學(xué)元認知差異的主要表現進(jìn)行了分析與梳理，并對數學(xué)教學(xué)提出了一些建議。
l 數學(xué)元認知的相關(guān)研究
自20世紀70年代初美國心理學(xué)家弗萊維爾(Flavell)首次正式提出元認知的科學(xué)概念以來(lái)，各國的研究者圍繞元認知開(kāi)展了大量的研究，使其逐漸成為當代心理學(xué)，尤其是教育心理學(xué)的熱點(diǎn)課題。在眾多元認知概念的界定中，以弗萊維爾的定義最具代表性，他認為元認知是個(gè)人對自己認知系統的內省知識(Flavell，1971)，即認知的認知。數學(xué)元認知就是對數學(xué)認知活動(dòng)的認識和監控，是在數學(xué)思維過(guò)程中表現出來(lái)的，以一定的數學(xué)觀(guān)念為指導，對自己的思維過(guò)程的意識進(jìn)行調節與控制。
1．1 元認知結構
關(guān)于元認知的結構，國外學(xué)者弗萊維爾認為元認知包括元認知知識(meta—cognitive knowledge)和元認知體驗(meta—cognitive experience)兩個(gè)方面?。帕里斯(Paris)認為元認知包括兩類(lèi)心理活動(dòng)：一是認知的自我評估知識；二是思考的自我管理幢J。國內學(xué)者董奇認為元認知的成分為3個(gè)方面的要素：元認知知識、元認知體驗和元認知監控b1。汪玲、郭德俊等人則認為元認知包括元認知技能、元認知知識和元認知體驗3個(gè)方面H】。目前較為普遍接受的是董奇先生提出的“三要素”觀(guān)點(diǎn)。其中元認知知識就是個(gè)體關(guān)于自己或他人的認識活動(dòng)的過(guò)程、結果、任務(wù)目標和方法以及影響認知活動(dòng)的各種因素等有關(guān)的信息和知識。元認知體驗是指伴隨著(zhù)認知活動(dòng)的進(jìn)行而產(chǎn)生的認知體驗或情感體驗，它是推動(dòng)認知活動(dòng)順利進(jìn)行的內在動(dòng)力，可以是“知”的體驗，也可以是對“不知”的體驗。元認知監控就是主體在認知活動(dòng)的全過(guò)程中，將自己正在進(jìn)行的認知活動(dòng)作為意識對象，不斷地對其進(jìn)行積極自覺(jué)的監視、控制和調節，以達到預定的目標b1。
1．2 數學(xué)元認知結構
在數學(xué)學(xué)習過(guò)程中，數學(xué)元認知知識表現為以下幾個(gè)方面：(1)對個(gè)體數學(xué)學(xué)習能力、興趣、習慣的認識；(2)對數學(xué)本質(zhì)、學(xué)習目標和任務(wù)難易程度、材料的不同呈現式等的認識；
(3)對數學(xué)學(xué)習的方法、策略及其使用的條件與范圍等的認識¨1。數學(xué)元認知體驗包括了知和情兩方面的體驗，即一方面有認知活動(dòng)進(jìn)行時(shí)對知識獲取的覺(jué)知，另一方面也有對認知過(guò)程中經(jīng)歷的情緒、情感的覺(jué)察。如，通過(guò)數學(xué)作業(yè)或形成性測驗，“我”能夠發(fā)現自己數學(xué)學(xué)習的進(jìn)步或退步；又如，對立體幾何中的題目，“我”喜歡用幾何方法來(lái)解決還是喜歡用向量方法來(lái)解決等。
數學(xué)元認知監控是對數學(xué)認知過(guò)程的調節和控制。數學(xué)元認知監控貫穿于數學(xué)認知活動(dòng)的全過(guò)程，即從認知目標和任務(wù)的監控開(kāi)始，到制定計劃的監控(包括策略選擇與應用、構思問(wèn)題解決的可能方法、估算其有效性、資源分配等)和實(shí)施計劃的監控(包括根據反饋信息及時(shí)作出評價(jià)，并修正或調整策略和方法等)直至檢查結果的監控(包括評價(jià)和估計策略和方法的效果，達到目標和完成任務(wù)的程度。如發(fā)現問(wèn)題，則采取相應的補救措施)，總之要達到了目標和完成了任務(wù)，數學(xué)元認知監控才停止。一般來(lái)說(shuō)，數學(xué)元認知監控是在數學(xué)元認知知識、元認知體驗相互作用的基礎上實(shí)現的，豐富的元認知知識和元認知體驗有助于主體對認知活動(dòng)進(jìn)行有效的監控，同時(shí)元認知監控能力又制約著(zhù)主體元認知知識的獲得和水平。因此，在實(shí)際認知活動(dòng)中，三者相互作用，相互制約構成一個(gè)統一的整體，其中數學(xué)元認知監控處于核心地位。
1．3 數學(xué)元認知的功能
在人們從事的各種認知活動(dòng)中，元認知都發(fā)揮著(zhù)十分重要的監控、調節的功能。已有研究b1證實(shí)，元認知監控在很多學(xué)科中會(huì )起到非常重要的作用，如寫(xiě)作(Gaham，1997)、閱讀(Ryan，1984)、應用題(張慶林、管鵬，1997)等。這些研究已初步證明，元認知在兒童的學(xué)習記憶、理解、問(wèn)題解決等方面的活動(dòng)中起著(zhù)重要的作用，元認知的訓練可以提高兒童的思維、智力水平。從數學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來(lái)看，數學(xué)是一門(mén)高度抽象的科學(xué)，是關(guān)于量化模式的建構和研究，是建立在對具體事物和現象的反省抽象基礎之上的科學(xué)，這也就決定了數學(xué)思維更多的是反省思維，而反省思維是離不開(kāi)元認知的；其次，從數學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程看，“調控”是決定問(wèn)題能否順利解決的一個(gè)重要因素，通過(guò)解題過(guò)程的監視、評價(jià)、調節和修正，使問(wèn)題得到圓滿(mǎn)的解決，這此活動(dòng)無(wú)疑都包含了元認知成分。因此數學(xué)學(xué)習活動(dòng)要求學(xué)生具備一定的元認知能力；反之，數學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)也使數學(xué)教學(xué)過(guò)程是培養學(xué)生元認知能力的最好載體bJ。
2 數學(xué)元認知差異的表現
元認知與思維品質(zhì)存在因果關(guān)系，元認知的改變必然引起思維品質(zhì)的改變㈨。數學(xué)思維品質(zhì)是數學(xué)思維能力的表現形式，是衡量思維能力高低的重要指標。因此，了解學(xué)生數學(xué)學(xué)習的元認知水平的差異，對于有效地開(kāi)展數學(xué)教學(xué)，有針對性地指導學(xué)生的數學(xué)學(xué)習有著(zhù)十分重要的意義。學(xué)生數學(xué)元認知水平差異主要體現在以下幾個(gè)方面。
2．1 數學(xué)學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生的元認知表現
對于數學(xué)學(xué)優(yōu)生(Mathematically GiftedStudents)，中文有很多稱(chēng)謂，如數學(xué)特長(cháng)生、數學(xué)天才生或數學(xué)資優(yōu)生。一般是指那些對數學(xué)有興趣，能主動(dòng)地進(jìn)行數學(xué)學(xué)習，且對規定的數學(xué)學(xué)習內容，成績(jì)穩定在相對較高水平的學(xué)生(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“學(xué)優(yōu)生”)。在數學(xué)學(xué)習中，還有一些學(xué)生，他們數學(xué)成績(jì)差、知識欠缺多、能力薄弱、持續感到困難，處在無(wú)趣與困惑之中，這部分人就是數學(xué)學(xué)困生，也稱(chēng)為數學(xué)慢生、差生、后進(jìn)生(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“學(xué)困生”)，國際上使用“Slow Leaner”即“慢生”的稱(chēng)謂一1。成績(jì)差異是相對的，所謂學(xué)困生是指在同齡人中數學(xué)成績(jì)明顯落后且學(xué)習困難的學(xué)生¨]。學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在數學(xué)學(xué)習的很多方面表現出差異，在元認知水平上也是同樣。研究者對這個(gè)問(wèn)題研究的結論主要有：
2．1．1 數學(xué)學(xué)困生元認知知識和體驗水平較低，但未形成顯著(zhù)性差異潘冬花認為，數學(xué)學(xué)困生的元認知特點(diǎn)有：元認知知識相對貧乏，他們在有關(guān)知識水平方面同許多數優(yōu)生基本相同，但是，在學(xué)習策略方面的知識卻比較貧乏；元認知體驗相對消極，元認知體驗是元認知的前提，學(xué)困生學(xué)習數學(xué)時(shí)成功體驗少，失敗體驗多¨1。
2．1．2 數學(xué)學(xué)困生元認知監控水平顯著(zhù)低于數學(xué)學(xué)優(yōu)生研究表明舊J，數學(xué)學(xué)困生的元認知監控不夠自覺(jué)。實(shí)際上，很多研究?【2】【9】【103(張存山，2007；Flavell，1995；牛衛華，張梅玲，1998；李偉健，李盈鋒，2005)都指出，數學(xué)學(xué)困生與學(xué)優(yōu)生在元認知監控方面存在顯著(zhù)差異，而在其他方面的差異并不顯著(zhù)。
這些結論與Pazzaglia和Comoldi的研究一致，即元認知水平越高，其學(xué)業(yè)成績(jì)越好陋]。對此，郭玉峰和潘冬花認為，數學(xué)學(xué)困生的元認知水平不高主要體現在元認知監控水平上，有以下幾點(diǎn)：(1)不能很好地預期或計劃自己的學(xué)習；(2)不能自覺(jué)地使用有效的學(xué)習方法；(3)缺乏對學(xué)習的有效監控；(4)缺乏對學(xué)習的某個(gè)階段及學(xué)習完成之后的評價(jià)、反思習慣舊?�？梢钥闯�，學(xué)困生在數學(xué)學(xué)習之前、之中和之后對學(xué)習任務(wù)都不能有效控制，這是因為元認知監控是元認知的核心，監控能力的匱乏導致中等以上難度的數學(xué)問(wèn)題成為學(xué)困生不可逾越的障礙。
2．1．3 元認知技能在提高程度上的差異
數學(xué)學(xué)優(yōu)生及學(xué)困生除了在認知水平上存在差異，在元認知技能的發(fā)展上，二者也呈現不同的增長(cháng)趨勢。張存山通過(guò)對高一學(xué)生中的學(xué)優(yōu)生及學(xué)困生進(jìn)行連續八周的數學(xué)元認知技能預測、計劃、監控、評價(jià)測試及分析，發(fā)現隨時(shí)間推移，學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生的數學(xué)元認知技能都在提高，預測、計劃和評價(jià)技能有發(fā)展趨勢，學(xué)優(yōu)生的監控技能一周內迅速發(fā)展，在后續時(shí)間內仍有較大提升。學(xué)優(yōu)生在容易問(wèn)題與困難問(wèn)題上的計劃技能成績(jì)差異與監控技能成績(jì)差異都越來(lái)越小，學(xué)困生在容易問(wèn)題與困難問(wèn)題上的計劃技能成績(jì)差異沒(méi)有明顯改變，監控技能成績(jì)差異也比較穩定¨¨。這一點(diǎn)與Isaaeon，Fujita(2006)和胡志海(1999)等人的研究結果一致，即學(xué)優(yōu)生能表現出更好的調節能力。學(xué)生的數學(xué)水平和元認知水平是相互影響的。已有調查驗證了學(xué)生數學(xué)問(wèn)題解決中元認知能力的發(fā)展水平與其數學(xué)學(xué)習成績(jì)呈正相關(guān)關(guān)系。數學(xué)學(xué)習成績(jì)是影響初中生數學(xué)問(wèn)題解決中元認知能力的重要因素u劉。數學(xué)學(xué)困生的元認知水平未能跟上學(xué)習要求的變化，使得對學(xué)習活動(dòng)缺乏有效的計劃、控制與調節，元認知的欠缺影響了整個(gè)學(xué)習過(guò)程的結果，這些可能是造成學(xué)業(yè)不良的重要認知原因。因此，學(xué)困生的元認知水平的各個(gè)方面均低于學(xué)優(yōu)生，而且從長(cháng)期看，其發(fā)展速度也要慢于學(xué)優(yōu)生。
2．2 元認知差異的性別表現
總體上講，男女生在元認知各維度上差異不是很顯著(zhù)。但是，具體到每個(gè)年級男女生在個(gè)別地方表現出一定的差異¨¨。在初中階段，男生的認知平均分高于女生。同時(shí)，男生的自我意識、認知策略、讖Ⅱ、自我檢查對錯的得分都高于女生。實(shí)際結果來(lái)看，在大部分估計任務(wù)中，男生的成績(jì)都好于女生，只是未達到顯著(zhù)性水平。只有在估算中，男生的成績(jì)顯著(zhù)高于女生。出現這種情況的原因主要是估算實(shí)際上與數學(xué)能力高度相關(guān)，所以表現出與數學(xué)能力性別差異一致的現象【l引。高中生的元認知水平也沒(méi)有顯著(zhù)的性別差異。在思維的敏捷性、深刻性和獨創(chuàng )性上男生優(yōu)于女生，而在思維的批判性上女生優(yōu)于男生。女生更善于對自己的數學(xué)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和反思，她們的元認知監控比男生發(fā)揮得更主動(dòng)一些¨¨。這些差異的出現與男女生的認知方式的差異有關(guān)。另外，大量的研究表明【l卜¨】，男生有更肯定的數學(xué)能力信念、更大的對數學(xué)成功的預期、數學(xué)成敗歸因上傾向于能力歸因、更低的數學(xué)焦慮以及更看重數學(xué)的價(jià)值，這可能也是元認知性別差異的原因之一。
2．3 元認知差異的年齡表現
目前對不同年齡學(xué)生的元認知差異的研究還不充分，但是從對初中生和高中生的元認知水平的研究結果來(lái)看，隨著(zhù)年齡的增長(cháng)，學(xué)生數學(xué)元認知水平也呈現上升的趨勢。
在研究數學(xué)問(wèn)題解決時(shí)，王春燕發(fā)現，在元認知能力的知識性維度上，初中生的數學(xué)元認知相對比較缺乏，特別是數學(xué)問(wèn)題解決中解題策略方面，數學(xué)問(wèn)題解決中元認知能力的調控性、監測性和評價(jià)性維度總體偏低¨¨。相對而言，高中生在元認知知識方面，有一定的自主學(xué)習能力舊】。但是他們在其他方面依然表現出不足之處，如在元認知體驗方面，對學(xué)習過(guò)程和學(xué)習內容的體驗較成熟，對學(xué)習結果的體驗較弱；在元認知監控方面缺乏反饋和補救意識，學(xué)習缺乏堅持性、深刻性舊1。楊國章通過(guò)調查150個(gè)高中生(包括高一、高二和高三學(xué)生各50人，其中男生女生各占一半)，從三個(gè)年級學(xué)生的平均得分來(lái)看，高一、高二和高三三個(gè)年級呈增高趨勢。尤其高三比高一、高二進(jìn)步明顯，說(shuō)明高三學(xué)生經(jīng)過(guò)高中前兩年的積累，尤其是高考前的強化解題訓練，元認知水平提高較快¨引。這些研究表明，學(xué)生的元認知能力是隨年級的升高而逐步提高的。何春華指出，學(xué)生數學(xué)元認知水平受年齡的影響主要有以下特點(diǎn)：(1)隨年齡的增長(cháng)而增長(cháng)；(2)從外部控制到內部控制；從無(wú)意識到有意識再到自動(dòng)化；從局部到整體的變化¨“。數學(xué)元認知是個(gè)體在學(xué)習中隨經(jīng)驗的增長(cháng)而逐漸發(fā)展起來(lái)的。在數學(xué)元認知還未充分發(fā)展之前，學(xué)生的學(xué)習活動(dòng)通常是在教師、家長(cháng)等他人的直接指導、要求和監督下進(jìn)行的。低年級學(xué)生的學(xué)習更多的受到外在因素的影響，如教師、家長(cháng)的監督和督促，而且學(xué)習活動(dòng)比較簡(jiǎn)單，學(xué)習自我監控的作用有限。離開(kāi)了成人的指導和安排，往往就束手無(wú)策。而高年級學(xué)生的學(xué)習活動(dòng)復雜，常常需要學(xué)生對其學(xué)習活動(dòng)進(jìn)行較多的自主投入與自我監控才能順利完成。隨著(zhù)關(guān)于學(xué)習規律、學(xué)習材料的熟悉與掌握，對自身特點(diǎn)及有關(guān)策略知識的不斷豐富，自我調控的經(jīng)驗增多，對學(xué)習的自我調控逐步從無(wú)到有，由低級到高級發(fā)展起來(lái)。
3 相關(guān)研究對數學(xué)教學(xué)的啟示
關(guān)于數學(xué)教學(xué)中元認知差異的研究已具有了一定的廣度和深度。這些研究表明，學(xué)生在元認知方面存在著(zhù)多方面的差異，并且這些差異成為影響學(xué)生數學(xué)學(xué)習的重要因素，教師要意識到這種差異的存在，并幫助學(xué)生提高元認知水平。第一，教師需要采取有針對性的指導方式，以適應不同元認知水平的學(xué)生。學(xué)生差異是現代課堂教學(xué)的客觀(guān)存在，教師應科學(xué)測查學(xué)生不同的學(xué)習需要，切實(shí)了解學(xué)生元認知水平的差異，尋求積極有效的差異教學(xué)策略，以促進(jìn)不同認知水平學(xué)生的發(fā)展。如，對于數學(xué)學(xué)困生，教師要幫助他們分解學(xué)習內容的難點(diǎn)，降低解題技巧，采用實(shí)踐性、活動(dòng)性和開(kāi)放式教學(xué)。在數學(xué)教學(xué)過(guò)程中注重知識的發(fā)生過(guò)程，還原數學(xué)概念的本質(zhì)，注意指導學(xué)生掌握必要的元認知技能，學(xué)會(huì )學(xué)習的方法。指導學(xué)生，特別是學(xué)困生掌握必要的問(wèn)題解決方法策略知識，提高其元認知監控的能力，這樣可在一定程度上彌補他們學(xué)習能力的不足。此外，教師還應注意引導學(xué)生充分認識自己的認知特點(diǎn)，如自己是善于抽象思維還是形象思維，自己在什么時(shí)候記憶效果好等。發(fā)揮學(xué)生差異資源的教學(xué)價(jià)值，以多種方式方法的綜合，適應學(xué)生不同的元認知水平，實(shí)現優(yōu)質(zhì)高效能的數學(xué)教學(xué)。第二，教師還要培養學(xué)生運用學(xué)習策略的意識和能力。從元認知、認知和資源管理策略三個(gè)維度對學(xué)生數學(xué)學(xué)習策略的測查，學(xué)習者在擇用策略時(shí)存在年級差異、性別差異和水平差異。其中年級在元認知策略上的主效應極其顯著(zhù)(P<0．01)，在認知策略、資源管理策略和總的學(xué)習策略上差異顯著(zhù)(P<0．05)。不同成績(jì)水平學(xué)生的數學(xué)學(xué)習策略選擇與應用差異，其中元認知、認知、資源管理和總的數學(xué)學(xué)習策略，優(yōu)生異常顯著(zhù)地高于中等生和差生，中等生又異常顯著(zhù)地高于差生(P<0．001)¨0。。因此，在數學(xué)教學(xué)中，不同章節、不同學(xué)習要求需采用不同的學(xué)習策略，不僅要教給學(xué)生相應的學(xué)習策略，還應引導學(xué)生有意識地選擇并運用恰當有效的學(xué)習策略。第三，教師要培養學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中進(jìn)行自我監控與調節的意識。最初，兒童毫無(wú)監控學(xué)習活動(dòng)的經(jīng)歷與體驗，往往是由于無(wú)意識的或不自覺(jué)的自我監控，獲得了成效而強化了再次的體驗與監控，從而逐步從無(wú)意識轉化為有意識。隨著(zhù)有意識的經(jīng)常運用，這種自我觀(guān)察、自我判斷、自我控制等技巧的使用逐漸變得嫻熟起來(lái)，最后達到幾乎不需再作有意識的選擇和努力或僅需少量注意就能自然而然地操作，達到自動(dòng)化的程度。因此，教師要注意培養學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中隨時(shí)監控自己是否偏離目標，當學(xué)習出現困難時(shí)及時(shí)、準確地分析其原因，并能適時(shí)地調整計劃或策略。教師要培養學(xué)生對學(xué)習過(guò)程及其效果進(jìn)行自我評價(jià)、反思的意識。
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