從一個(gè)土豆大小談起

        這是一堂數學(xué)復習課。同學(xué)們根據復習內容——立體圖形的體積計算，早把學(xué)具一一作了準備。有的拿來(lái)了長(cháng)方體的鐵盒，有的拿來(lái)了正方體的紙盒，有的拿來(lái)了圓柱形的鐵桶，有的拿來(lái)了圓錐形的量杯……誰(shuí)知老 師卻提來(lái)半桶水和一包細砂土，還帶來(lái)一架稱(chēng)重量的天平，弄得同學(xué)們“丈二和尚摸不頭腦”，紛紛議論“老 師要干什么呀？”“是不是換復習內容了？”……這時(shí)，老師從兜里拿出一個(gè)土豆兒，高高舉起來(lái)，說(shuō)：“今 天咱們復習立體圖形的體積計算，看誰(shuí)能用學(xué)過(guò)的知識，計算出土豆兒的體積？”說(shuō)著(zhù)，神秘地看了看大家。頓時(shí)，教室里靜了下來(lái)。誰(shuí)都知道，我們雖然學(xué)過(guò)正方體、長(cháng)方體和圓柱體、圓錐體的體積計算，但是土 豆兒，方不方、圓不圓，凸凸凹凹，是個(gè)不規則的形體，那怎么計算它的體積呢？大家你看看我，我看看你， 一時(shí)，誰(shuí)也不知怎么辦？
        正當同學(xué)們困惑不解的時(shí)候，老師拿起土豆兒，“咚”的一聲，將它放入長(cháng)方體的鐵罐內，然后微笑著(zhù)， 用期待的目光看著(zhù)同學(xué)們。
        “老師，我想出辦法了！”小昆興沖沖地走上講臺，他先用尺子從里面量出長(cháng)方體鐵罐的長(cháng)（a）、寬（b ）和高（h[,1]）， 然后將土豆兒放入罐內，并用細砂把鐵罐填滿(mǎn)。他怕砂子表面不平，還用尺子沿罐邊將砂 面刮平。
        這時(shí)，有人插話(huà)：“要是知道砂子的體積，土豆兒的體積就等于鐵罐的容積減去砂子的體積�！�
        小昆看了看插話(huà)的同學(xué)，繼續有條不紊地操作。他小心翼翼地將土豆兒從罐內取出，唯恐帶出砂子，接著(zhù) 再用小三角板將罐內的砂面刮平，并測出砂面的高度（h[,2]）， 然后對大家說(shuō)：“罐內砂面的高度由h[,1] 降 到h[,2]，就是因為取出土豆兒的緣故，所以，土豆兒的體積可以這樣計算�！闭f(shuō)著(zhù)，就在黑板上板書(shū)起來(lái)。
        土豆兒體積＝長(cháng)方體鐵罐容積－鐵罐內砂子體積＝ V[,1] － V[,2] ＝abh[,1] － abh[,2]“其實(shí)，小昆的計算方法可以改進(jìn)”。還是剛才插話(huà)的那位同學(xué)，指著(zhù)小昆的板書(shū)說(shuō)：“abh[,1] － abh[,2]，就是ab（h[,1] － h[,2]），也就是說(shuō)，土豆兒的體積只要用鐵罐的底面積乘以砂面的高度差就可以了�！�
        “砂子面的高度差就是從罐內取出土豆兒后，砂面下降的高度，所以，計算土豆兒的體積，只要用長(cháng)方體 鐵罐的底面積乘以砂面下降的高度就可以了。你們看——”大為同學(xué)不僅進(jìn)一步改進(jìn)了計算方法，而且還在黑 板上畫(huà)出示意圖。土豆兒體積＝長(cháng)方體鐵罐的底面積× 砂面下降的高度V ＝ abh[,3]
這時(shí)，教室里的氣氛熱烈起來(lái)了。
        “要是鐵罐不漏水的話(huà)，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以計算出土豆兒的體積�！�
        “用小昆的方法，如果用正方體的容器，也可以計算土豆兒的體積�！保ㄒ�(jiàn)圖）土豆兒的體積＝正方體容器的底面積× 砂（水）面下降的的高度V ＝ a[2]h“只要容器的容積大于土豆兒的體積，都可以用上面的方法。你們看，我用這個(gè)鐵盒也照樣可以�！倍�剛 說(shuō)著(zhù)，高高地舉起他帶來(lái)的口小底大的鐵皮盒。這時(shí)，老師一邊在黑板上畫(huà)示意圖，一邊鼓勵二剛：“可以。請你具體講一講�！薄半m然這個(gè)容器的底兒是長(cháng)方形，但是計算容積時(shí)，應該用它的橫截面的面積，也就是梯形的面積乘以容 器的長(cháng)�！闭f(shuō)著(zhù)，他干凈利索地操作起來(lái)——放入土豆兒，填滿(mǎn)砂子，刮平砂面，取出土豆兒，刮平盒內砂面 ，測量容器的橫截面上底（a），下底（即砂面的寬度）（b），砂面下降的寬度（h），及容器的長(cháng)（f）。
        然 后，板書(shū)計算方法：土豆兒體積＝橫截面面積× 容器的長(cháng)度V ＝ 1 ／ 2（a ＋ b）hf“測量橫截面的面積，也可以用中位線(xiàn)乘以高�！庇钟腥瞬逶�(huà)�！爱斎豢梢�！”二剛指著(zhù)容器內，取出土豆兒后，橫截面上空出部分所呈現的梯形，胸有成竹地說(shuō)，“只 要測出中位線(xiàn)（m）和高（h）就可以�！�
        土豆兒體積＝砂面下降橫截面面積× 容器的長(cháng)V ＝ mhf“剛才，同學(xué)們都利用計算直棱柱體積的方法，巧妙地解決了土豆兒體積計算。大家想一想，還有別的 方法嗎？”老師指著(zhù)同學(xué)們帶來(lái)的其它學(xué)具，啟發(fā)大家。
        這次，小剛同學(xué)搶先發(fā)了言：“我利用圓柱形的有機玻璃桶，照樣可以計算土豆兒體積�！�
        “那你試試看�！崩蠋熣f(shuō)。小剛自信地走上講臺，開(kāi)始操作：他把圓柱形的有機玻璃桶舉到圓柱形的玻璃缸上方，用水將桶注滿(mǎn)，然 后把土豆兒輕輕地、慢慢地放進(jìn)桶里。這時(shí)，桶內的水沿著(zhù)桶的邊沿流入缸內，直到水滴停止。
接著(zhù)他從里面 測量了玻璃缸的底面直徑和缸內的水面高度，然后，在黑板上板書(shū)：
        土豆兒體積＝排出的水的體積＝玻璃缸的底面積× 流入缸內的水面高度
        V ＝ sh
        ＝ πr[2]h
        ＝ π（d ／ 2）[2]h       “這樣測量不準確！”
        “可不，桶的側面還粘有不少水呢！”不少同學(xué)提出了意見(jiàn)。
        老師走上講臺，親切安慰了小剛幾句，然后對大家說(shuō)：“誰(shuí)能做得準確一些呢？”
話(huà)音剛落，小昆再次走上講臺。他先把土豆兒放進(jìn)桶內，然后小心地將桶注滿(mǎn)水，接著(zhù)用兩把小尺子輕輕 地插入桶內，去夾土豆兒。雖然動(dòng)作很小心，但是桶內的水還是溢出一點(diǎn)兒，不過(guò)量很少，而且他不再測量流 出的水的體積，而是舉起取出土豆兒后的桶，對大家說(shuō)：“剛才滿(mǎn)桶的水，現在桶內水面下降了。這下降部分 的體積，就是土豆兒的體積�！毙±ヒ�(jiàn)同學(xué)們都在認真聽(tīng)講，接著(zhù)說(shuō)：“所以，只要從里面量出桶底的直徑和取出土豆兒后水面下降的高度，就可以算出土豆兒的體積了�！�
        正當小昆拿起尺子要測量時(shí)，大為高高地舉起右手發(fā)言：“我認為小昆的測量方法還是不夠準確�！�
        “那你來(lái)——”
        大為大大方方地走上講臺，先往圓柱形的空桶內注進(jìn)半桶左右的水，并用紅粉筆在桶的外側面做上水面高 度的記號，然后對大家說(shuō)：“桶內注水的多少，得估計能沒(méi)過(guò)整個(gè)土豆兒�！苯又�(zhù)他輕輕地將土豆兒放地桶里 ，眼看著(zhù)桶內的水面很快上升，直到土豆兒整個(gè)浸沒(méi)在水中。這時(shí)，他拿起尺子測量桶內水面上升的高度（h） ， 桶底的底面直徑（d）。
        最后，大為轉過(guò)身去，在黑板上畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出計算土豆兒體積的方法。
        同學(xué)們都一致認為：大為的計算方法既簡(jiǎn)單又準確，不過(guò)也有人說(shuō)：“用大為的辦法，必須在放進(jìn)土豆兒 之前，預先估計到先注入桶內的水，能完全浸沒(méi)整個(gè)土豆兒，否則就更不準確了�！贝鬄槁�(tīng)了，連連點(diǎn)頭說(shuō)“ 是”。
        “下面請二林同學(xué)發(fā)言�！彪S著(zhù)老師的話(huà)音，二林高高地舉著(zhù)圓錐形的玻璃容器，神氣地問(wèn)：“你們能用 它來(lái)測量土豆兒的體積嗎？”
        “那你會(huì )嗎？”同學(xué)們反問(wèn)。
        “請大家看——”二林先在黑板上畫(huà)了兩幅示意圖，然后指著(zhù)左邊的圖對大家說(shuō)：
        “這是照小昆方法，先 將土豆兒放入容器內，用砂子把容器填滿(mǎn)，刮平砂面，再取出土豆兒；然后從里面測量圓錐形容器的底面直徑（d[,1]）、高（h[,1]），測量取出土豆兒后容器內砂面的直徑（d[,2]）、高（h[,2]）。這樣，就可以利用 圓錐體積計算公式，求出土豆兒的體積�！�
        二林的話(huà)剛講完，二剛邊舉手邊站起來(lái)，說(shuō)：“為什么不直接利用底面積乘以砂面下降或水面上升的高度 ，來(lái)計算呢？”
        二林指了指圖上——取出土豆兒后，砂子下降部分和放入土豆兒后，水面上升部分。
        “這——”一時(shí)不知 道說(shuō)什么好。
        這時(shí)，老師走上前，在黑板上另行畫(huà)出二林所指的部分，說(shuō)：“大家還記得‘趣自旋轉來(lái)’一文中提到的圓臺嗎？現在我們能理解到二林的程度就可以了。不過(guò) ，大家在計算1 ／ 3π（d[,2] ／ 2）[2]h[,2] － 1 ／3π（d[,1] ／ 2）[2]h[,1] 時(shí)，可以把1 ／3π 提出來(lái)，使計算 簡(jiǎn)便些。那么，下面請大家再想想，還有別的計算方法嗎？”說(shuō)著(zhù)，指了指講臺上的天平，對大家說(shuō)：“我還 可以用它來(lái)計算土豆兒的體積呢！你們行嗎？”教室里暫時(shí)安靜下來(lái)。
        “老師，我行！”隨著(zhù)一聲自信的回答，小玲走上講臺，先把土豆兒放在平天上稱(chēng)出重量，然后用小刀切 出棱長(cháng)1 厘米的小方塊土豆兒——修改了好幾次才切成，并稱(chēng)出這小塊的重量，就在黑板上板書(shū)：
        土豆兒體積＝土豆兒重量÷ 每立方厘米的土豆兒重量“其實(shí)，用不著(zhù)非切成小正方體�！贝鬄檠a充，“只要切成長(cháng)方體的小塊，量出它的長(cháng)、寬、高，稱(chēng)出它 的重量就可以�！崩蠋煂ν瑢W(xué)們的發(fā)言非常滿(mǎn)意，不時(shí)地點(diǎn)頭稱(chēng)好。
        最后，老師作總結：“同學(xué)們，剛才我們通過(guò)計算土豆兒的體積，系統地復習了立體圖形的體積計算。課 下，請大家思考下面兩個(gè)問(wèn)題：
        （1）柱體（棱柱和圓柱）的體積計算與哪兩個(gè)基本因素有關(guān)？
        （2）物體的體積大小與它的形狀變化有沒(méi)有關(guān)系？ 與它的重量之間有沒(méi)有關(guān)系？

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