關(guān)于數學(xué)本質(zhì)特征的若干認識
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什么是數學(xué)?這是任何一個(gè)數學(xué)教育工作者都應認真思考的問(wèn)題。只有對數學(xué)的本質(zhì)特征有比較清晰的認識，才能在數學(xué)教育研究中把握正確的方向。
1、數學(xué)，其英文是mathematics，這是一個(gè)復數名詞，“數學(xué)曾經(jīng)是四門(mén)學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂(lè )，處于一種比語(yǔ)法、修辭和辯證法這三門(mén)學(xué)科更高的地位。”自古以來(lái)，多數人把數學(xué)看成是一種知識體系，是經(jīng)過(guò)嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對“現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系”的認識，又反映了人們對“可能的量的關(guān)系和形式”的認識。數學(xué)既可以來(lái)自現實(shí)世界的直接抽象，也可以來(lái)自人類(lèi)思維的能動(dòng)創(chuàng )造。
2、從人類(lèi)社會(huì )的發(fā)展史看，人們對數學(xué)本質(zhì)特征的認識在不斷變化和深化。“數學(xué)的根源在于普通的常識，最顯著(zhù)的例子是非負整數。"歐幾里德的算術(shù)來(lái)源于普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對于數的科學(xué)探索還停留在普通的常識，”另一個(gè)例子是幾何中的相似性，“在個(gè)體發(fā)展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù)”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀以前，人們普遍認為數學(xué)是一門(mén)自然科學(xué)、經(jīng)驗科學(xué)，因為那時(shí)的數學(xué)與現實(shí)之間的聯(lián)系非常密切，隨著(zhù)數學(xué)研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數學(xué)是一門(mén)演繹科學(xué)的觀(guān)點(diǎn)逐漸占據主導地位，這種觀(guān)點(diǎn)在布爾巴基學(xué)派的研究中得到發(fā)展，他們認為數學(xué)是研究結構的科學(xué)，一切數學(xué)都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀(guān)點(diǎn)相對應，從古希臘的柏拉圖開(kāi)始，許多人認為數學(xué)是研究模式的學(xué)問(wèn)，數學(xué)家懷特海(A. N. Whiiehead，186----1947)在《數學(xué)與善》中說(shuō)，“數學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個(gè)體作抽象的過(guò)程中對模式進(jìn)行研究，”數學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強有力的技術(shù)。”1931年，歌德?tīng)?K，G0de1，1978)不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學(xué)是經(jīng)驗科學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，著(zhù)名數學(xué)家馮·諾伊曼就認為，數學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗科學(xué)兩種特性。
3、對于上述關(guān)于數學(xué)本質(zhì)特征的看法，我們應當以歷史的眼光來(lái)分析，實(shí)際上，對數本質(zhì)特征的認識是隨數學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。由于數學(xué)源于分配物品、計算時(shí)間、丈量土地和容積等實(shí)踐，因而這時(shí)的數學(xué)對象(作為抽象思維的產(chǎn)物)與客觀(guān)實(shí)在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學(xué)概念的現實(shí)原型，這樣，人們自然地認為數學(xué)是一種經(jīng)驗科學(xué);隨著(zhù)數學(xué)研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產(chǎn)生，特別是現代數學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數學(xué)與現實(shí)之間的距離越來(lái)越遠，而且數學(xué)證明(作為一種演繹推理)在數學(xué)研究中占據了重要地位，因此，出現了認為數學(xué)是人類(lèi)思維的自由創(chuàng )造物，是研究量的關(guān)系的科學(xué)，是研究抽象結構的理論，是關(guān)于模式的學(xué)問(wèn)，等等觀(guān)點(diǎn)。這些認識，既反映了人們對數學(xué)理解的深化，也是人們從不同側面對數學(xué)進(jìn)行認識的結果。正如有人所說(shuō)的，“恩格斯的關(guān)于數學(xué)是研究現實(shí)世界的數量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀(guān)點(diǎn)是不矛盾的，前者反映了數學(xué)的來(lái)源，后者反映了現代數學(xué)的水平，現代數學(xué)是一座由一系列抽象結構建成的大廈。”而關(guān)于數學(xué)是研究模式的學(xué)問(wèn)的說(shuō)法，則是從數學(xué)的抽象過(guò)程和抽象水平的角度對數學(xué)本質(zhì)特征的闡釋?zhuān)硗�，從思想根源上�?lái)看，人們之所以把數學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結構的科學(xué)，是基于人類(lèi)對數學(xué)推理的必然性、準確性的那種與生俱來(lái)的信念，是對人類(lèi)自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發(fā)展數學(xué)理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來(lái)的結論也一定是真的，通過(guò)應用這些看起來(lái)清晰、正確、完美的邏輯，數學(xué)家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無(wú)可辯駁的。
4、事實(shí)上，上述對數學(xué)本質(zhì)特征的認識是從數學(xué)的來(lái)源、存在方式、抽象水平等方面進(jìn)行的，并且主要是從數學(xué)研究的結果來(lái)看數學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然，結果(作為一種理論的演繹體系)并不能反映數學(xué)的全貌，組成數學(xué)整體的另一個(gè)非常重要的方面是數學(xué)研究的過(guò)程，而且從總體上來(lái)說(shuō)，數學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，是一個(gè)“思維的實(shí)驗過(guò)程”，是數學(xué)真理的抽象概括過(guò)程。邏輯演繹體系則是這個(gè)過(guò)程的一種自然結果。在數學(xué)研究的過(guò)程中，數學(xué)對象的豐富、生動(dòng)且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞(G. Poliva，1888一1985)認為，“數學(xué)有兩個(gè)側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來(lái)的數學(xué)看來(lái)象是一門(mén)系統的演繹科學(xué)，但在創(chuàng )造過(guò)程中的數學(xué)看來(lái)卻像是一門(mén)實(shí)驗性的歸納科學(xué)。”弗賴(lài)登塔爾說(shuō)，“數學(xué)是一種相當特殊的活動(dòng)，這種觀(guān)點(diǎn)“是區別于數學(xué)作為印在書(shū)上和銘，記在腦子里的東西。”他認為，數學(xué)家或者數學(xué)教科書(shū)喜歡把數學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數學(xué)的形式”是數學(xué)家將數學(xué)(活動(dòng))內容經(jīng)過(guò)自己的組織(活動(dòng))而形成的;但對大多數人來(lái)說(shuō)，他們是把數學(xué)當成一種工具，他們不能沒(méi)有數學(xué)是因為他們需要應用數學(xué)，這就是，對于大眾來(lái)說(shuō)，是要通過(guò)數學(xué)的形式來(lái)學(xué)習數學(xué)的內容，從而學(xué)會(huì )相應的(應用數學(xué)的)活動(dòng)。這大概就是弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)的“數學(xué)是在內容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現和組織的活動(dòng)” 的含義。菲茨拜因(Efraim Fischbein)說(shuō)，“數學(xué)家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實(shí)體，這一事實(shí)并不排除必須將數學(xué)看成是個(gè)創(chuàng )造性過(guò)程：數學(xué)本質(zhì)上是人類(lèi)活動(dòng)，數學(xué)是由人類(lèi)發(fā)明的，”數學(xué)活動(dòng)由形式的、算法的與直覺(jué)的等三個(gè)基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜(Courani Robbins)也說(shuō)，“數學(xué)是人類(lèi)意志的表達，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺(jué)、分析與構造、一般性與個(gè)別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價(jià)值。”
5、另外，對數學(xué)還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，“數學(xué)是一種文化體系”，“數學(xué)是一種語(yǔ)言”，數學(xué)活動(dòng)是社會(huì )性的，它是在人類(lèi)文明發(fā)展的歷史進(jìn)程中，人類(lèi)認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會(huì )的一種高度智慧的結晶。數學(xué)對人類(lèi)的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性的影響.也有人認為，數學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，“和把數學(xué)看作一門(mén)學(xué)科相比，我幾乎更喜歡把它看作一門(mén)藝術(shù)，因為數學(xué)家在理性世界指導下(雖然不是控制下)所表現出的經(jīng)久的創(chuàng )造性活動(dòng)，具有和藝術(shù)家的，例如畫(huà)家的活動(dòng)相似之處，這是真實(shí)的而并非臆造的。數學(xué)家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專(zhuān)門(mén)注技巧。就像一個(gè)人若不具備一定量的技能就不能成為畫(huà)家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數學(xué)家，這些品質(zhì)是最基本的，……，它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構成一個(gè)優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。”“數學(xué)是推理的音樂(lè )，”而“音樂(lè )是形象的數學(xué)”.這是從數學(xué)研究的過(guò)程和數學(xué)家應具備的品質(zhì)來(lái)論述數學(xué)的本質(zhì)，還有人把數學(xué)看成是一種對待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀(guān)念，即數學(xué)精神、數學(xué)觀(guān)念和態(tài)度。尼斯(Mogens Niss)等在《社會(huì )中的數學(xué)》一文中認為，數學(xué)是一門(mén)學(xué)科，“在認識論的意義上它是一門(mén)科學(xué)，目標是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對象、現象、關(guān)系和機制等。如果這個(gè)領(lǐng)域是由我們通常認為的數學(xué)實(shí)體所構成的，數學(xué)就扮演著(zhù)純粹科學(xué)的角色。在這種情況下，數學(xué)以?xún)仍诘淖晕野l(fā)展和自我理解為目標，獨立于外部世界，…，另一方面，如果所考慮的領(lǐng)域存在于數學(xué)之外，…，數學(xué)就起著(zhù)用科學(xué)的作用…·，數學(xué)的這兩個(gè)側面之間的差異并非數學(xué)內容本身的問(wèn)題，而是人們所關(guān)注的焦點(diǎn)不同。無(wú)論是純粹的還是應用的，作為科學(xué)的數學(xué)有助于產(chǎn)生知識和洞察力。數學(xué)也是一個(gè)工具、產(chǎn)品以及過(guò)程構成的系統，它有助于我們作出與掌握數學(xué)以外的實(shí)踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動(dòng)…·，數學(xué)是美學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動(dòng)的體驗…·，作為一門(mén)學(xué)科，數學(xué)的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數學(xué)的學(xué)習不會(huì )同時(shí)而自動(dòng)地進(jìn)行，需要靠人來(lái)傳授，所以，數學(xué)也是我們社會(huì )的教育體系中的一個(gè)教學(xué)科目.”
從上所述可以看出，人們是從數學(xué)內部(又從數學(xué)的內容、表現形式及研究過(guò)程等幾個(gè)角度)。數學(xué)與社會(huì )的關(guān)系、數學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數學(xué)與人的發(fā)展的關(guān)系等幾個(gè)方面來(lái)討論數學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個(gè)側面反映了數學(xué)的本質(zhì)特征，為我們全面認識數學(xué)的性質(zhì)提供了一個(gè)視角。
6、基于對數學(xué)本質(zhì)特征的上述認識，人們也從不同側面討論了數學(xué)的具體特點(diǎn)。比較普遍的觀(guān)點(diǎn)是，數學(xué)有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點(diǎn)，其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說(shuō)，“甚至對數學(xué)只有很膚淺的知識就能容易地覺(jué)察到數學(xué)的這些特點(diǎn)：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說(shuō)是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最后是它的應用的極端廣泛、性，”王粹坤說(shuō)，“數學(xué)的特點(diǎn)是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必”這種看法主要從數學(xué)的內容、表現形式和數學(xué)的作用等方面來(lái)理解數學(xué)的特點(diǎn)，是數學(xué)特點(diǎn)的一個(gè)方面。另外，從數學(xué)研究的過(guò)程方面、數學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來(lái)看，數學(xué)還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗性。“可證偽性”的特點(diǎn)。對數學(xué)特點(diǎn)的認識也是有時(shí)代特征的，例如，關(guān)于數學(xué)的嚴謹性，在各個(gè)數學(xué)歷史發(fā)展時(shí)期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關(guān)于嚴謹性的評價(jià)標準有很大差異，尤其是哥德?tīng)柼岢霾⒆C明了“不完備性定理… 以后，人們發(fā)現即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴謹的科學(xué)方法也是有缺陷的。因此，數學(xué)的嚴謹性是在數學(xué)發(fā)展歷史中表現出來(lái)的，具有相對性。關(guān)于數學(xué)的似真性，波利亞在他的《數學(xué)與猜想》中指出，“數學(xué)被人看作是一門(mén)論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個(gè)方面，以最后確定的形式出現的定型的數學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學(xué)的創(chuàng )造過(guò)程是與任何其它知識的創(chuàng )造過(guò)程一樣的，在證明一個(gè)數學(xué)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀(guān)察到的結果加以綜合然后加以類(lèi)比.你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數學(xué)家的創(chuàng )造性工作成果是論證推理，即證明;但是這個(gè)證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現的。只要數學(xué)的學(xué)習過(guò)程稍能反映出數學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話(huà)，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”正是從這個(gè)角度，我們說(shuō)數學(xué)的確定性是相對的，有條件的，對數學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗性。“可證偽性”特點(diǎn)的強調，實(shí)際上是突出了數學(xué)研究中觀(guān)察、實(shí)驗、分析。比較、類(lèi)比、歸納、聯(lián)想等思維過(guò)程的重要性。
綜上所述，對數學(xué)本質(zhì)特征的認識是發(fā)展的。變化的，用歷史的、發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待數學(xué)的本質(zhì)特征，恩格斯的“純數學(xué)的對象是現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系”的論斷并不過(guò)時(shí)，對初等數學(xué)來(lái)說(shuō)就更是如此，當然，對“空間形式和數量關(guān)系”的內涵，我們應當作適當的拓展和深化。順便指出，對數學(xué)本質(zhì)特征的討論中，采取現象與本質(zhì)并重、過(guò)程與結果并重、形式與內容并重的觀(guān)點(diǎn)：，對數學(xué)教學(xué)具有重要的指導意義。
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