考研數學(xué)線(xiàn)性代數歷年考點(diǎn)及知識點(diǎn)整理
線(xiàn)性代數占考研數學(xué)總分值的22%，約34分，以2個(gè)選擇題、1個(gè)填空題、2個(gè)解答題的形式出現。雖然線(xiàn)性代數的考點(diǎn)眾多，但要把這5個(gè)題目的分值完全收入囊中，則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。
矩陣的秩
矩陣是解決線(xiàn)性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡(jiǎn)二次型的方便工具。矩陣理論是線(xiàn)性代數的重點(diǎn)內容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內容，利用其來(lái)解決實(shí)際應用問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易行。正因為矩陣理論在整個(gè)線(xiàn)性代數中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個(gè)元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過(guò)幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對含參數的矩陣的處理以及反問(wèn)題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯(lián)系地看問(wèn)題，及時(shí)總結結論。
矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過(guò)程中起著(zhù)決定作用，也是將二次型標準化、規范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量)，會(huì )處理含參數的情況。
線(xiàn)性方程組求解
對線(xiàn)性方程組的求解總是通過(guò)矩陣來(lái)處理，含參數的方程組是考查的重點(diǎn)，對方程組解的結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線(xiàn)性方程組存在2個(gè)不同的解，求其中的參數并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數!而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個(gè)不同的`解"這句話(huà)中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數;非齊次方程組有解故系數矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數及b中的參數。至于確定參數后再求解非齊次方程組就變得非常簡(jiǎn)單了。
二次型標準化與正定判斷
二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數矩陣的方法以便運算中節省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類(lèi)特殊矩陣，判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類(lèi)，可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
歷年考研數學(xué)真題解析線(xiàn)性代數命題特點(diǎn)解析
考研數學(xué)是研究生招生入學(xué)考試中通過(guò)筆試的形式對考生數學(xué)功底的考查，從近幾年的考研數學(xué)歷年真題分析結果來(lái)看，可以得出一個(gè)結論：線(xiàn)性代數的難度在高數和概率統計之間，且大多數的同學(xué)認為線(xiàn)性代數試題難度不大，就是計算量稍微偏大點(diǎn)，線(xiàn)代代數的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過(guò)程中需要利用一些性質(zhì)進(jìn)行輔助解決。
線(xiàn)性代數的學(xué)科特點(diǎn)是知識點(diǎn)之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個(gè)難點(diǎn)。這就需要同學(xué)們在復習過(guò)程中，注意對于知識點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行對比著(zhù)學(xué)習，有助于鞏固知識點(diǎn)且不易混淆。
總體來(lái)說(shuō)，線(xiàn)性代數主要包括六部分的內容，行列式、矩陣、向量、線(xiàn)性方程組、特征值與特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。
行列式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數或含有字母的式子，如何把這個(gè)數算出來(lái)，一般情況下很少用行列式的定義進(jìn)行求解，而往往采用行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進(jìn)行計算，或是采用降階法(按行或按列展開(kāi)定理)，甚至有時(shí)兩種方法同時(shí)用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算等等。同學(xué)們只要掌握了基本方法即可。
二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應用。
通過(guò)考研數學(xué)歷年真題分類(lèi)統計與考點(diǎn)分布，矩陣部分的考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點(diǎn)。涉及秩的應用，包含秩與矩陣可逆的關(guān)系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區別與聯(lián)系，系數矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。
三、向量部分，理解相關(guān)無(wú)關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定。
向量組的線(xiàn)性相關(guān)問(wèn)題是向量部分的重中之重，也是考研線(xiàn)性代數每年必出的考點(diǎn)。要求考生掌握線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性表出、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。以及如何判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)及線(xiàn)性無(wú)關(guān)的方法。 向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組以及向量組等價(jià)這些重要的知識點(diǎn)要求同學(xué)們一定一定掌握到位。
這是線(xiàn)性代數前三個(gè)內容的命題特點(diǎn)，而行列式的矩陣是整個(gè)線(xiàn)性代數的基礎，對于行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質(zhì)與結論請考生朋友們一定要務(wù)必掌握，否則的話(huà)，對于后面四部分的學(xué)習會(huì )越學(xué)越難，希望同學(xué)們在復習過(guò)程中一定注意前面內容的復習，為后面的考研數學(xué)復習打好基礎。
前面我們已經(jīng)分析過(guò)，考研數學(xué)線(xiàn)性代數這門(mén)學(xué)科整體的特點(diǎn)是知識點(diǎn)之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認為考研數學(xué)線(xiàn)性代數不好學(xué)，根本找不到復習的頭緒，做題時(shí)也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。
這里，老師要求大家在學(xué)習過(guò)程中一定要注意知識間之間的關(guān)聯(lián)性，理解概率的實(shí)質(zhì)。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián)，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區別，矩陣等價(jià)、相似、合同三者之間的區別與聯(lián)系、矩陣相似對角化與實(shí)對稱(chēng)矩陣正交變換對角化二者之間的區別與聯(lián)系等等。若是同學(xué)們對于上面的問(wèn)題根本分不清楚，則說(shuō)明大家對于基本概念、基本方法還沒(méi)有完全理解透徹。不過(guò)，大家也不要太焦急，希望同學(xué)們在后期的復習過(guò)程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會(huì )，學(xué)習一定要有心得。
下面我們分析一下后面三部分的內容，線(xiàn)性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點(diǎn)。
線(xiàn)性方程組，會(huì )求兩類(lèi)方程組的解。線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數這么學(xué)科的核心和樞紐，很多問(wèn)題的解決都離不開(kāi)解方程組。因而線(xiàn)性方程組解的問(wèn)題是每年必考的知識點(diǎn)。對于齊次線(xiàn)性方程組，我們需要掌握基礎解系的概念，以及如何求一個(gè)方程組的基礎解系。清楚明了基礎解系所含線(xiàn)性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數和系數矩陣的秩之間的關(guān)系。會(huì )判斷非齊次線(xiàn)性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線(xiàn)性方程組與其對應的齊次線(xiàn)性方程組的解結構之間的關(guān)系。
特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學(xué)們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會(huì )判斷一個(gè)矩陣是否可以對角化，若可以的話(huà)，需要把相應的可逆矩陣P求出來(lái)。還需要注意矩陣及其關(guān)聯(lián)矩陣(轉置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關(guān)系。反問(wèn)題也是喜歡考查的一類(lèi)題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。
二次型，理解二次型標準化的過(guò)程，掌握實(shí)對稱(chēng)矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標準化。掌握二次型的標準形與規范型之間的區別與聯(lián)系。會(huì )判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價(jià)、相似、合同的關(guān)系。
雖然線(xiàn)性代數在考研數學(xué)考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學(xué)們在復習過(guò)程中需要對于基礎知識點(diǎn)理解透徹，做考研數學(xué)題過(guò)程中多分析總結。
2016考研數學(xué)概率解題9大常用思路
在考研數學(xué)一和考研數學(xué)三中，概率論與數理統計部分大約占22%，雖然所占比重較小，但是大家在復習的時(shí)候，一樣會(huì )感到困難重重，特別是在做習題以及解決實(shí)際應用方面遇到的困難會(huì )更多一些。為了幫助大家在解題時(shí)更輕松一點(diǎn)，小編給大家分享一些考研數學(xué)概率解題常用思路集錦。
1、如果要求的是若干事件中“至少”有一個(gè)發(fā)生的概率，則馬上聯(lián)想到概率加法公式;當事件組相互獨立時(shí)，用對立事件的概率公式。
2、若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復試驗，則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式
3、若某事件是伴隨著(zhù)一個(gè)完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關(guān)鍵：尋找完備事件組。
4、若題設中給出隨機變量X~N則馬上聯(lián)想到標準化~N(0，1)來(lái)處理有關(guān)問(wèn)題。
5、求二維隨機變量(X，Y)的邊緣分布密度的問(wèn)題，應該馬上聯(lián)想到先畫(huà)出使聯(lián)合分布密度的區域，然后定出X的變化區間，再在該區間內畫(huà)一條//y軸的直線(xiàn)，先與區域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而的求法類(lèi)似。
6、欲求二維隨機變量(X，Y)滿(mǎn)足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應該馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區域及滿(mǎn)足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區域的公共部分。
7、涉及n次試驗某事件發(fā)生的次數X的數字特征的問(wèn)題，馬上要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。即令
8、凡求解各概率分布已知的若干個(gè)獨立隨機變量組成的系統滿(mǎn)足某種關(guān)系的概率(或已知概率求隨機變量個(gè)數)的問(wèn)題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。
9、若為總體X的一組簡(jiǎn)單隨機樣本，則凡是涉及到統計量的分布問(wèn)題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義進(jìn)行討論。
2016考研數學(xué)線(xiàn)性代數知識點(diǎn)整理
第一章行列式
1、行列式的定義
2、行列式的性質(zhì)
3、特殊行列式的值
4、行列式展開(kāi)定理
5、抽象行列式的計算
第二章矩陣
1、矩陣的定義及線(xiàn)性運算
2、乘法
3、矩陣方冪
4、轉置
5、逆矩陣的概念和性質(zhì)
6、伴隨矩陣
7、分塊矩陣及其運算
8、矩陣的初等變換與初等矩陣
9、矩陣的等價(jià)
10、矩陣的秩
第三章向量
1、向量的概念及其運算
2、向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出
3、等價(jià)向量組
4、向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)
5、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與向量組的秩
6、內積與施密特正交化
7、n維向量空間(數學(xué)一)
第四章線(xiàn)性方程組
1、線(xiàn)性方程組的克萊姆法則
2、齊次線(xiàn)性方程組有非零解的判定條件
3、非齊次線(xiàn)性方程組有解的判定條件
4、線(xiàn)性方程組解的結構
第五章矩陣的特征值和特征向量
1、矩陣的特征值和特征向量的概念和性質(zhì)
2、相似矩陣的概念及性質(zhì)
3、矩陣的相似對角化
4、實(shí)對稱(chēng)矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
第六章二次型
1、二次型及其矩陣表示
2、合同變換與合同矩陣
3、二次型的秩
4、二次型的標準型和規范型
5、慣性定理
6、用正交變換和配方法化二次型為標準型
7、正定二次型及其判定
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