數學(xué)逆轉程序與方法

當代著(zhù)名數學(xué)家、教育學(xué)家波利亞在論述解題策略時(shí)，曾強調“反面思考”的作用，所謂“反面思考”，就是通過(guò)考察事物的對立面來(lái)探索問(wèn)題的解的一種思考方法。由于事物的對立面可以從不同的角度來(lái)選取，這就使得反面思考又有不同的思考方式，而逆轉程序就是這些思考方式中的一種，如果把原問(wèn)題看成是已知A來(lái)探求B，那么，逆轉程序就是把原問(wèn)題更改為已知B來(lái)探求A，即從相反方向（交換起點(diǎn)與終點(diǎn)）這個(gè)對立面來(lái)探求問(wèn)題的解答。下面舉幾個(gè)例子，說(shuō)明逆轉程序的應用。這些例子都是生動(dòng)有趣的，但用常規的方法卻不易求解，從而有力地說(shuō)明了逆轉程序在解決有關(guān)問(wèn)題（特別是數學(xué)競賽題）中的優(yōu)越性。例：給你四段鏈條，每一段上有三節封閉（可開(kāi)可合）的環(huán)�，F在要你打開(kāi)一些環(huán)，把十二節環(huán)連接成一個(gè)首尾相接的圓圈（圖略）。每打開(kāi)一環(huán)得兩分，接上一環(huán)得3分，要以得分不超過(guò)15分完成本題。有人對解這個(gè)題的各種嘗試過(guò)程作了非常詳細的討論，并介紹了在不斷的“試錯”和“反思”中尋求解題途徑的思想方法，這無(wú)疑是一種有效的解題方式。
但是，本題若采用逆轉程序的策略，其解答則顯而易見(jiàn)。解我們從相反的方向來(lái)考察，即怎樣將一個(gè)12環(huán)首尾相接的圈打開(kāi)盡量少的環(huán)，使其分成環(huán)數相等的四部分？（圖略）我們只須打開(kāi)標有“×”的三個(gè)環(huán)即可，由于“合”與“分”是對立的統一，一種“分”的方式即可產(chǎn)生一種“合”的方法。這樣，可知原題應打開(kāi)某段鏈條的全部三個(gè)環(huán)，此時(shí)，打開(kāi)三環(huán)得6分，而且該三環(huán)將其它三段鏈條接起來(lái)得9分，共得6+9=15分，符合題目要求。又例：由8個(gè)相同的小立方體構成一個(gè)2×2×2的大立方體。
今沿小立方體的表面將大立方體分成大小、形狀完全相同的兩個(gè)幾何體，問(wèn)有多少不同的分法？解本題是一個(gè)有趣的組合問(wèn)題，如果將思維限制在考察怎樣從大立方體中分割出兩個(gè)全等的幾何體則是難以考慮全面的：表面似乎只有一種分法，即將其分為兩個(gè)1×2×2的長(cháng)方體。除此之外，再不知如何下手�，F在，我們從相反的方向來(lái)考慮：哪些全等的'兩個(gè)幾何體（由4個(gè)小立方體構成）可以“合”成一個(gè)大立方體？即從部分“合成”整體這一方向來(lái)考察事物的可能性。由于“部分”的形狀比較容易分析，從而問(wèn)題的解也就趨于明朗�？疾煊�4個(gè)小立方體合在一起構成的圖形的所有可能形狀，其中注意它們的最大棱長(cháng)不超過(guò)2。首先，由兩個(gè)正方體拼起來(lái)只有一種方式，再加上一個(gè)正方體，雖有兩種情形，但其中一種含有大于2的棱長(cháng)，從而也只有一種可能。再在三個(gè)小正方體上添加一個(gè)小正方體這只有4種允許的本質(zhì)上不同的拼合方式（本質(zhì)上不同是指經(jīng)過(guò)剛體運動(dòng)后它們不能重合）。意外的是，這四種情形中的任何一種，其兩個(gè)完全相同的幾何體都能拼成2×2×2的立方體，故我們的答數為4。

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