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基于Nevanlinna―Pick插值的跟蹤系統H∞魯棒控制器設計
摘 要：傳統的H∞魯棒控制器通常都是基于線(xiàn)性矩陣不等式求解的，因此階次較高，不利于實(shí)現，而基于Nevanlinna-Pick插值的H∞魯棒控制器設計方法能夠有效的解決這一問(wèn)題。本文提出了一種改進(jìn)的同倫算法用于求解控制器設計過(guò)程中出現的非線(xiàn)性方程，避免了經(jīng)典同倫法中逆矩陣的求解。針對某一跟蹤系統設計了基于Nevanlinna-Pick插值的H∞魯棒控制器，通過(guò)階躍響應和正弦信號的跟蹤響應可以看出，與高階滯后超前校正環(huán)節相比，前者構成閉環(huán)系統的跟蹤精度要比后者的控制精度高，且具有較強的魯棒穩定性。
關(guān)鍵詞：Nevanlinna-Pick插值;跟蹤系統;魯棒控制
1 引言
H∞魯棒控制理論作為魯棒控制的一個(gè)重要研究?jì)热莸玫搅藦V泛的研究和應用，不但在線(xiàn)性時(shí)不變系統取得了豐富的研究成果[1-5]，而且在時(shí)滯系統、時(shí)變時(shí)滯系統等領(lǐng)域也得到了深入的研究[6-8]。針對網(wǎng)絡(luò )控制系統中存在時(shí)變采樣周期、長(cháng)時(shí)延以及丟包、量化誤差等現象，相應的網(wǎng)絡(luò )控制系統H∞控制問(wèn)題同樣得到了廣大學(xué)者的關(guān)注[9-14]。
目前，常用的H∞控制器設計方法有模型匹配法、加權函數法、Lyapunov函數法等，并通過(guò)線(xiàn)性矩陣不等式(LMI，Linear Matrix Inequalities)求解相應的控制器。但是，基于LMI求解的控制器階次較高，這種高階控制器不但不利于實(shí)現，而且可能會(huì )引起時(shí)滯，進(jìn)而導致控制系統的品質(zhì)變差，甚至影響系統的穩定性。靈敏度最小化問(wèn)題作為設計反饋控制器的核心問(wèn)題之一，文獻[15]首次給出了求解靈敏度函數最小化問(wèn)題的完整解決方案，但是只分析了靈敏度最小化與Nevanlinna-Pick插值之間的關(guān)系;文獻[16]將具有階次約束的Nevanlinna-Pick插值應用于解決靈敏度函數問(wèn)題;文獻[17]詳細研究了控制系統的性能指標轉與靈敏度函數之間的關(guān)系，并提出了一種改進(jìn)的同倫算法用于求解Nevanlinna-Pick插值算法產(chǎn)生的非線(xiàn)性方程。本文以跟蹤系統中的穩定回路為控制對象，設計了具有階次約束的H∞魯棒控制器，特別是當外部干擾和系統不確定性同時(shí)存在時(shí)，通過(guò)仿真實(shí)驗研究了系統的跟蹤性能及其干擾抑制能力。
2 Nevanlinna-Pick插值與魯棒控制器設計
稱(chēng)之為跟蹤系統的靈敏度函數。顯然，S同時(shí)也是從干擾d到輸出y的傳遞函數。由于反饋控制系統中幾乎所有的性能指標都可以用靈敏度函數來(lái)表示，因此本文研究的具有階次約束的H∞魯棒控制器就是基于閉環(huán)系統的靈敏度函數S來(lái)設計的。
圖1 反饋系統結構
由文獻[17]可知，具有階次約束的H∞魯棒控制器設計問(wèn)題與下面最優(yōu)化問(wèn)題是等價(jià)
針對非線(xiàn)性方程，可采用連續法求解該非線(xiàn)性方程。但是，傳統的連續法需要求解矩陣的逆，計算量較大�；趥鹘y的連續法思想，提出了一種改進(jìn)的同倫法，不僅避免了求解矩陣的逆，而且新算法受迭代初值的影響較小，收斂速度快。
3改進(jìn)的同倫算法
3.1 同倫法的基本思想
圖2 改進(jìn)的同倫算法流程圖
4仿真實(shí)例
現在對于陀螺穩定跟蹤系統的實(shí)際控制方法，大多是基于傳統的時(shí)域PID控制，或是頻域中的超前滯后校正算法。張智永在其博士論文中指出[18]：在實(shí)際實(shí)驗中，由于低頻處機械諧振和一些不確定因素的影響，滯后超前校正在抵抗載體擾動(dòng)方面的效果不是很理想。究其原因，一是沒(méi)有有效抑制低頻機械諧振，二是開(kāi)環(huán)增益不夠高，不能有效消除摩擦等干擾力矩對系統精度的影響。為了改善控制效果，張智永提出采用高階滯后超前控制器的方案。假設本文采用與文獻[18]相同的跟蹤系統穩定回路，具有相同的被控對象模型、性能指標以及不確定性：
，
，
分別對階躍響應、干擾存在時(shí)的跟蹤效果以及干擾與模型不確定性同時(shí)存在時(shí)的跟蹤效果進(jìn)行了仿真，并與高階滯后超前校正環(huán)節的控制效果進(jìn)行了對比。圖3至圖5中的NPDCoutput和LEADLAGoutput分別表示本文設計的魯棒控制器和高階滯后超前校正環(huán)節作用下系統輸出曲線(xiàn)。
4.1階躍響應
由圖3中可以看出，相對于LEADLAGoutput1而言，NPDCoutput1的超調小、響應速度快。當被控對象存在由式描述的不確定性時(shí)，LEADLAGoutput2超調增加，出現了明顯的振蕩，而NPDCoutput2幾乎不受不確定性的影響。
圖3 階躍響應曲線(xiàn)
4.2跟蹤響應：模型不確定性與干擾同時(shí)存在
當被控對象存在如式所描述的不確定性時(shí)，分析模型不確定性與外部干擾對閉環(huán)系統輸出的影響。設定值分別選為(低頻)、(高頻)，外部干擾選為幅值為1，持續時(shí)間分別為0.2s和0.02s的脈沖信號，其作用時(shí)刻分別為和，閉環(huán)系統輸出如圖4和圖5所示。
圖4 設定值頻率為3Hz時(shí)的跟蹤曲線(xiàn)
圖5 設定值頻率為30Hz時(shí)的跟蹤曲線(xiàn)
當設定值的頻率為f=3Hz(低頻)時(shí)，兩種類(lèi)型控制器作用下的閉環(huán)系統輸出相差不大，只是對干擾信號的過(guò)渡過(guò)程有所不同。由圖4可以看出，NPDCoutput1的過(guò)渡時(shí)間較LEADLAGoutput1短，說(shuō)明該閉環(huán)系統對于快變的干擾具有較強的抑制效果，具有較強的魯棒穩定性。此時(shí)，被控對象的不確定性對跟蹤效果和干擾抑制能力的影響不大。
當參考信號頻率較高f=30Hz(高頻)時(shí)，由圖5可以看出兩種類(lèi)型的控制器的控制效果差別較大。對于在0.015s時(shí)刻出現的持續時(shí)間為0.02s的脈沖干擾，NPDCoutput2與NPDCoutput1相差不大，但是NPDCoutput2的過(guò)渡時(shí)間明顯小于LEADLAGoutput2的過(guò)渡時(shí)間，且振蕩幅度較小。以高階滯后超前校正環(huán)節構成的跟蹤系統的控制效果明顯變差，跟蹤信號出現了較大的延遲，其干擾抑制能力較魯棒控制器的干擾抑制能力明顯變弱，且跟蹤信號的幅值有明顯的衰減。當被控對象存在不確定性時(shí)，與LEADLAGoutput1相比，LEADLAGoutput2超調量大幅增加，整體跟蹤效果明顯變差。
通過(guò)圖4與圖5的可以看出，基于靈敏度函數設計的魯棒控制器與高階滯后超前校正環(huán)節相比，前者構成閉環(huán)系統的跟蹤精度要比后者的控制精度高，且具有較強的魯棒穩定性。
5結論
本文研究了一種具有階次約束的H∞魯棒控制器設計算法，特別是提出了一種改進(jìn)的同倫算法并將其用于求解非線(xiàn)性方程，不但可以減小運算量、而且降低了迭代初值對運算結果的影響。最后，將具有階次約束的魯棒控制器應用于跟蹤系統的穩定回路控制，取得了較好的控制效果。由仿真實(shí)驗和分析結果可以看出，與傳統的超前滯后校正環(huán)節相比，基于本文方法設計的H∞魯棒控制器，不僅具有較低的階次，而且能有效的抑制干擾對跟蹤系統的影響，即使被控對象存在不確定性時(shí)也能夠很好地實(shí)現目標跟蹤，滿(mǎn)足跟蹤系統的性能要求。
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