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基于改進(jìn)的BPR路段阻抗函數研究城市道路交通阻抗
摘 要: 在交通分配的過(guò)程中，目前廣泛采用的路阻函數是美國公路局提出的 BPR 函數， 但在實(shí)際應用中推薦的 BPR 參數得到的結果并不符合實(shí)際，而且在城市道路交通分配的交 通阻抗模型研究中，很少考慮到交叉口作為一個(gè)節點(diǎn)阻抗對模型的影響。在文獻[1]中，作 者推導了路段流量和路段通行時(shí)間之間的關(guān)系式，比較了 BPR 函數和推導關(guān)系式之間的差 異，并提出了較好的擬和方程。本文在此基礎上注重了交叉口在研究交通阻抗中的重要性， 將改進(jìn)的路阻函數和本文提到的節點(diǎn)函數結合在一起， 運用多元線(xiàn)性回歸分析方法研究城市 道路交通阻抗，這對于研究城市道路交通分配中的交通阻抗函數有著(zhù)重要的意義。
關(guān)鍵詞：改進(jìn)的 BPR 函數;交通阻抗;節點(diǎn)阻抗;多元線(xiàn)性回歸分析
1 問(wèn)題的提出
交通阻抗包括路段阻抗和節點(diǎn)阻抗，在交通分配中交通阻抗作為一個(gè)重要因素被研究 人員重視。所謂阻抗就是指車(chē)輛在路網(wǎng)中未能按照理想的狀態(tài)運行而造成的損失費用總和， 阻抗分為路段阻抗和節點(diǎn)阻抗， 節點(diǎn)阻抗主要是指車(chē)輛在交叉口處造成的損失費用。 由于交 叉口處有流向不確定等因素， 大多數只考慮路段阻抗， 將交叉口作為節點(diǎn)阻抗研究的并不多。 但是在實(shí)際的城市道路中，交叉口的寬度占所有道路的 5%以上[ 2]。它的影響程度更會(huì )遠遠超過(guò) 5%，所以研究交叉口的尺寸、車(chē)道分配、綠信比等在節點(diǎn)阻抗中的作用是非常必要的。 路段阻抗函數在交通分配中起到至關(guān)重要的作用， 和節點(diǎn)阻抗函數一起決定著(zhù)分配過(guò)程中路 徑的選擇。在 BPR 函數中包含了 α 和 b 兩個(gè)參數，美國公路局的推薦使用值分別為 0.15 和 4。文獻[1]詳細論述了改進(jìn)的 BPR 函數的推導及應用，并在實(shí)例檢驗中有較好的結果。所 以本文的交通阻抗函數的路段函數部分直接引用改進(jìn)的 BPR 函數。
2 路段行駛時(shí)間和流量關(guān)系的推導
u(K ) = u f ? uf Kj
[ 3]、 ] Greenshields 在 1963 年提出了描述速度-密度關(guān)系的線(xiàn)性表達式
K
(1)
又知速度、流量、密度之間的關(guān)系式
q =u?K
式中，u 為路段行車(chē)速度;
(2)
uf
為自由流時(shí)的路段行駛速度;K 為路段車(chē)流密度;
Kj
為
路段擁堵至車(chē)流速度為零時(shí)的密度; q 為路段車(chē)流量。 由式(1) (2)可以得到車(chē)流和密度的關(guān)系式
q( K ) = u f K ?
uf Kj
K2
(3)
dq 1 1 =0 u = uf K = Kj 2 ， 2 時(shí)，式(3)有最大值 上述表達式令 dk ，得當
C=
1 uf Kj 4
(4)
式(4)中， C 稱(chēng)之為路段的通行能力。 將速度-密度表達式(1)化作
K=
Kj uf
(u f ? u )
(5)
將表達式(5)代入流量和密度的關(guān)系式(3)并化簡(jiǎn)得到流量-速度表達式
q=?
Kj uf
u 2 + K ju
(6)
假定某路段 a 的長(cháng)度為 l ，則有
t0 =
l uf
u=
，
l t
(7)
式中，
t 0 為自由流狀態(tài)下路段 a 的行駛時(shí)間。
2
將表達式(7)代入流量和速度的關(guān)系式(6)可得
2 2 ? l ? K j ? l ?2 l ? ? ? K j u f ? l ? + l ? K j u f ? l ? = ?4C ? t 0 ? + 4C t 0 q=? ? ? ? ? + K j = ?? ? ? ? ? ? uf ?t ? t uf t ?t ? ?t ? ?t ? ?uf ?
(8)
t0 將上式(8)看作 t 的一元二次方程，解之得到 t0 1 1 q = ± 1? t C 2 2
(9)
進(jìn)一步變形可得到路段流量和路段行駛時(shí)間的關(guān)系式
? ? 2 t = t0 ? ? q ?1± 1? C ?
? ? ? ? ? ?
(10)
t q t 0 為縱坐標，以 C 為橫坐標對公式(10)繪 為方便起見(jiàn)，稱(chēng)公式(10)為推導式。以
圖，見(jiàn)圖 1。
t/t
0
1
2 q/c
圖1 路段流量-行駛時(shí)間關(guān)系圖
圖 1 中曲線(xiàn)分為①②兩個(gè)部分， ①部分對應公式 (10) 中的 + 號， ②部分對應公式 (10) 中的 - 號。 圖 1 中①部分表示當流量由 0 開(kāi)始增大時(shí)，路段上的速度逐漸減小，通過(guò)路段的時(shí)間
q =1 隨之增長(cháng)，當流量達到路段通行能力時(shí)(即 c 時(shí)) ，路段流量達到最大，此時(shí)對應最佳
車(chē)流密度和最佳車(chē)速;當車(chē)流密度繼續增大時(shí)，如圖中②部分所示，由于擁擠效應，車(chē)速開(kāi)
始減小，通過(guò)路段的時(shí)間開(kāi)始增大，當車(chē)流密度達到 過(guò)路段的時(shí)間理論上為無(wú)限長(cháng)。
Kj
q =0 時(shí)，路段流量為 0(即 c ) ，通
3 拋物線(xiàn)擬合及改進(jìn)的 BPR 路段阻抗函數
BPR 函數是美國公路局(U.S. Bureau of public Roads)通過(guò)大量路段進(jìn)行交通調查，回歸 分析得到的一個(gè)公式，通過(guò)路段 a 的時(shí)間和路段上流量的存在以下關(guān)系
β ? ?q? ? t = t ?1 + α ? ? ? ?C ? ? ? ? ?
0
(11)
美國公路局推薦使用參數 α = 0.15 和 β = 4 。
t q t 同樣以 0 為縱坐標，以 C 為橫坐標對式(11)進(jìn)行繪圖，見(jiàn)圖 2。
比較可以看出，推導式與 BPR 函數存在很大差異，可以對推導式曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，以重 新得到路阻函數或 BPR 函數參數，具體擬合過(guò)程請參看文獻[1]。最后
t/t
0
q/c
圖2
q3 q2 q 0.2404 + 0.5305 ? 0.0393 C C C
函數曲線(xiàn)
[1]
得到路段通行時(shí)間與路段流量之間的擬合關(guān)系式
。
t =e t0
(12)
將公式(11)進(jìn)行變形
? ?t ?q? ln? ? 1? = ln α + β ln? ? ? ?t ?C ? ? ? 0
(13)
? ?t ?q? y = ln? ? 1? x = ln? ? ? ?t ? ， b = ln α ， ? 0 ? C ? ，將式(13)線(xiàn)性化 令 y = b + βx (14)
利用式(14)對推導式曲線(xiàn)的非擁擠部分進(jìn)行擬合，擬合效果與實(shí)際相符。得擬合方
2 程 y = 1.4434 x ? 0.5677 ，相關(guān)系數 R = 0.9497 。于是，α = 0.5668 ， β = 1.4431 。因
此擬合得到 BPR 函數為
1.4431 ? ? ?q? t = t 0 ?1 + 0.5668? ? ? ?C ? ? ? ? ?
(15)
4 節點(diǎn)阻抗函數模型的研究與建立
由于交叉口處存在的流量流向不確定等因素，在大多數交通阻抗的研究中，節點(diǎn)阻抗 研究相對較少， 不過(guò)它是實(shí)際存在的， 且不能忽略。 在城市道路交通分配的交通阻抗分析中， 交叉口阻抗(節點(diǎn)阻抗)是主要的，其影響要大于路段阻抗，如果只考慮路段阻抗分配得到 的結果與實(shí)際情況會(huì )相差很多。 影響節點(diǎn)阻抗的因素有很多，主要有平面交叉口是否由信號燈控制、有信號燈控制的 交口某方向的綠信比、 交叉口尺寸及進(jìn)口道車(chē)道數、 有無(wú)方向禁行、 有無(wú)自行車(chē)專(zhuān)用車(chē)道 (機 非是否分離)等。為了便于研究和便于將節點(diǎn)阻抗函數同改進(jìn)的 BPR 函數的有效結合成交 通阻抗函數，下面將這些影響節點(diǎn)阻抗的因素運用多元線(xiàn)性回歸模型[ 4]的方法得到車(chē)輛在交叉口的行車(chē)延誤(包括停車(chē)延誤) 。
t 2 = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + L + b j x j
i i i i i i i
i
，
t2 = ∑ t2
i =1
n
i
(16)
式(16)中， t 2 是車(chē)輛在路段的第 i 個(gè)交叉口上的行車(chē)延誤;
i
t 2 是車(chē)輛在路段的 n 個(gè)交叉口上的行車(chē)延誤總量
; (注： t1 是該路段的路段阻抗值，以下述)
? ?1i , 第i個(gè)交叉口有信號燈控制 x1 = ? i ?ν 1 ，第i個(gè)交叉口無(wú)信號燈控制 ;
i
? g i ? K , 第i個(gè)交叉口有信號燈控制 i x2 = ? 2 ? K，第i個(gè)交叉口無(wú)信號燈控制 ;
; (注： K 是一固定值， g 2 是第 i 個(gè)信號交叉口路段方向的綠信比)
i
x3
i
是第 i 個(gè)交叉口尺寸; (注：?jiǎn)挝唬?m )
2
x 4 是第 i 個(gè)交叉口路段方向上的進(jìn)口道車(chē)道數; ? φ5 i , 第i個(gè)交叉口有方向禁行 x5 = ? i ?? 5 ，第i個(gè)交叉口無(wú)方向禁行 ;
i
i
? λ i , 第i個(gè)交叉口有自行車(chē)專(zhuān)用車(chē)道 i x6 = ? 6i ?π 6 ，第i個(gè)交叉口無(wú)自行車(chē)專(zhuān)用車(chē)道 ;
b0
i
是車(chē)輛在路段的第 i 交叉口上的平均停車(chē)延誤; 是 t2 對
i
bj
i
xj
i
的回歸系數;
i = 1,2,L , n ， j = 1,2,L ,6 。
i i i i i i i i x x x b b 通過(guò)交通調查收集 t 2 、 x1 、 x 2 、 3 、 x 4 、 5 、 6 的統計數據，擬合得到 0 、 j ( i = 1,2, L , n ， j = 1,2,L ,6 )的值。將得到的回歸系數代入式(16)中，即得節點(diǎn)阻抗 i
函數的模型表達式。
5 交通阻抗函數模型的研究
在城市道路交通阻抗中，路段阻抗與節點(diǎn)阻抗的貢獻量隨著(zhù)路況的變化而發(fā)生改變， 所以不能將它們簡(jiǎn)單的相加就得到交通阻抗值。這里引入一個(gè)參數 B ，交口數/千米，即
B=
n l ，其中 n 為路段 L 上的交口數，l 為路段 L 的長(cháng)度。下面用線(xiàn)性方程來(lái)定義出城市道
路交通阻抗公式：
B ? ? t = A? t1 + t 2 ? 2 ? ?
將式(15)(16)代入上式可得： 、
1.4331 ? ? ? B n i? ? ? ?q? t = A?t 0 ?1 + 0.5668? ? ? + ∑ t2 ? ?C ? ? ? ? 2 i =1 ? ? ? ? ?
(17)
(18)
式(18)中，
t 0 為自由流狀態(tài)下車(chē)輛在路段上的行駛時(shí)間;
∑t
i =1
n
i 2
= ∑ (b0 + b1 x1 + b2 x 2 + L + b j x j )
i i i i i i i i =1
n
;
A 為待定系數。
6 結束語(yǔ)
本文在研究交通阻抗函數模型中借鑒了文獻[1]中的 “改進(jìn)的路段阻抗函數公式” 不僅 ， 吸取了美國公路局 BPR 函數的優(yōu)點(diǎn)，又更符合我國當前的城市道路現狀。在節點(diǎn)阻抗函數 和交通阻抗函數的研究中， 本篇論文開(kāi)創(chuàng )性的提出了運用多元線(xiàn)性回歸模型來(lái)解決交叉口節 點(diǎn)阻抗問(wèn)題。將信號控制、交叉口尺寸、綠信比、方向禁行等主要影響因素綜合考慮，最后 給出了城市道路交通阻抗函數模型，體現了總體思考的研究方法。 但由于研究面臨的現實(shí)困難，沒(méi)有用實(shí)例來(lái)研究說(shuō)明公式(18)的實(shí)用性和可靠性， 式中大量的回歸系數、待定系數沒(méi)有用調查數據加以擬合。另外，各影響因素之間的相互影 響沒(méi)有予以充分研究， 如何回避回歸系數的負相關(guān)性也有待于進(jìn)一步深入研究。 以上問(wèn)題仍 需廣大交通同仁共同參與研究解決!
參考文獻
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[5] 王殿海.《交通流理論》 ，2002，人民交通出版社.
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