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基于函數概念的認知分析的教學(xué)策略研究
基于函數概念的認知分析的教學(xué)策略研究
函數概念教學(xué)策略可以從各個(gè)角度來(lái)闡述、分析，但根據現代認知理論對學(xué)習與教學(xué)的理解,教學(xué)設計應從以下幾方面出發(fā): 用直觀(guān)的形式向學(xué)習者顯示學(xué)科內容結構，應該讓學(xué)習者了解教學(xué)內容中涉及的各類(lèi)知識元之間的相互關(guān)系；學(xué)習材料的呈現應適合于學(xué)習者認知發(fā)展水平，按照由簡(jiǎn)到繁的原則來(lái)組織教學(xué)內容。這里所說(shuō)的由簡(jiǎn)到繁是指由簡(jiǎn)化的整體到復雜的整體；學(xué)習以求理解才能有助于知識的持久和遷移；向學(xué)生提供認知反饋可以確認他們的正確知識和糾正他們的錯誤學(xué)習。學(xué)習者自定目標是學(xué)習的重要動(dòng)力因素；學(xué)習材料既要以歸納序列提供，又要以演繹序列提供；學(xué)習材料應體現辯證沖突，適當的矛盾有助于引發(fā)學(xué)習者的高水平思維。因此函數概念的教學(xué)設計都必須從學(xué)生學(xué)習函數概念的心理過(guò)程規律和函數概念的構成基礎出發(fā)，通過(guò)教學(xué)情境促進(jìn)學(xué)生建構相應的數學(xué)概念。即教學(xué)理論應從函數概念的構成，學(xué)生學(xué)習與教師教學(xué)實(shí)踐的整體出發(fā)，而不是僅僅從某一側面出發(fā)。按照現代認知心理學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，數學(xué)概念學(xué)習同一切學(xué)習一樣是將外在學(xué)習材料內化的過(guò)程。如果學(xué)習材料與學(xué)生原有認知結構有聯(lián)系，則要通過(guò)教學(xué)藝術(shù)活動(dòng)使之建立聯(lián)系，使之學(xué)生的認知結構同化。 [27]
4.1構建以函數為軸的整體教學(xué)設計
數學(xué)教學(xué)中函數內容，本身就是重要的基礎知識，它貫穿了整個(gè)中學(xué)數學(xué)學(xué)習以及大學(xué)數學(xué)學(xué)習。數學(xué)中的諸多概念或由函數派生、或由函數統率，或可歸之為函數觀(guān)點(diǎn)研究。這就要求我們教學(xué)設計應從一個(gè)整體來(lái)設計，應瞻前顧后。比如課例1.中指出的教師可舉一些離散的例子，為高中的函數學(xué)習打下基礎。又如代數式的學(xué)習，可看成帶有變數的函數表達式，求代數式的值，實(shí)質(zhì)上就是求函數值。解方程（組）實(shí)質(zhì)上是求已知函數的變數值，使在變數值上已知函數有某個(gè)預先指定的值。如解方程 ,實(shí)質(zhì)上是求函數 何時(shí)函數值為1。有些方程的題甚至不轉化到用函數來(lái)解將無(wú)從下手，或計算過(guò)程相當繁鎖。例如這樣一道題：當 為何值時(shí)，關(guān)于 的方程 有兩個(gè)、一個(gè)、零個(gè)實(shí)數解？像這樣一道題我們首先應將對數方程轉化為代數方程并整理得： ，故原問(wèn)題等價(jià)于討論函數 和函數 的交點(diǎn)問(wèn)題，并且交點(diǎn)個(gè)數即為原方程實(shí)數解的個(gè)數。接下來(lái)利用數形結合的思想，作出 的函數圖像。取圖像中 的部分，容易
得出１．當 時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)實(shí)數解；
�。玻敗� 或 ，有一個(gè)交點(diǎn)，故原方程有一個(gè)實(shí)數解；
�。常� 或 ，無(wú)交點(diǎn)，故原方程有零個(gè)實(shí)數解。同樣解不等式也可類(lèi)似處理。如解不等式 ，實(shí)質(zhì)上是求函數 何時(shí)函數值恒為正數；數列也可看成定義在 上的函數，等差數列通項公式： 可看成一次函數 ，等差數列前Ｎ項的和 可看成二次函數 。等比數列以及其它許多知識都可以從函數的角度來(lái)認知。這樣使學(xué)生在課堂中能多個(gè)角度來(lái)認知，更利于知識的理解和掌握。
此外中學(xué)數學(xué)的知識，一般以基本概念、公式、定義、定理、推論、原理、法則、例題、習題等形式出現，通常這些為知識元素。教材編寫(xiě)者按照邏輯順序把這些知識元素編成教材，從而形成一條邏輯鏈條。在這個(gè)邏輯鏈條中，知識元素之間有內在的聯(lián)系，它們本是一個(gè)有機的整體。但在教學(xué)中，教師大都是把這些知識元素一個(gè)一個(gè)地教給學(xué)生，而沒(méi)有一個(gè)整體的教學(xué)設計思想。這樣學(xué)生很容易忽視這些知識元素之間的內在聯(lián)系，用孤立、靜止的觀(guān)點(diǎn)看待這些知識元素。這不僅不利于理解知識的本質(zhì)，也不利于應用這些知識元素解決實(shí)際問(wèn)題。因為任何一個(gè)復雜的問(wèn)題的解決，都需要綜合運用各種知識元素才可能完成。
由函數所反映的運動(dòng)變化、相互聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)來(lái)貫串這些知識元素，將有助于克服數學(xué)教學(xué)中易出現的上述問(wèn)題。例如，銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，在分別學(xué)習時(shí)，學(xué)生不易看出它們之間的內在聯(lián)系，但若用函數所反映的運動(dòng)變化觀(guān)點(diǎn)把它們看成由一邊不動(dòng)而另一邊繞頂點(diǎn)旋轉而成的，就把這些角的概念在運動(dòng)過(guò)程中統一起來(lái)了，而且還把角的概念的本質(zhì)，即角的大小與邊長(cháng)無(wú)關(guān)，只由兩邊張開(kāi)的程度來(lái)決定，進(jìn)一步揭示出來(lái)了。
4.2函數概念教學(xué)要注重學(xué)生的情感需求
在第三章第一節已談到學(xué)生對函數知識所持的情感會(huì )影響學(xué)生對函數的認知。布魯納也曾指出：“認知可以改變情感，情感也可以影響認知。”情感在這里是指以興趣、愿望、熱情等形式構成學(xué)習動(dòng)機，作為主要的非認知因素制約著(zhù)認知學(xué)習。教育不僅要側重認知能力的培養，還要兼顧情感的發(fā)展。事實(shí)上，情意行為與認知活動(dòng)是分不開(kāi)的，兩者共生共荗。缺乏情感的學(xué)習不是真正的學(xué)習，幾乎所有的認知都會(huì )有情感成分，而且相輔相成。[28]教學(xué)過(guò)程既是知識信息的傳輸、反饋過(guò)程，也是師生情感融匯的過(guò)程。教學(xué)系統是知識和情感兩個(gè)子系統的交織，兩者應是水乳相融、緊密相聯(lián)的。心理學(xué)的情感理論還指出“人的情感具有啟動(dòng)、定向、維持、強化等功能，并具有兩極性、彌散性、感知性、遷移性。因此，重視情感教育，不僅能提高課堂教學(xué)效果，而且還能提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，形成良好的個(gè)性品質(zhì)。
4.2.1加強情感教學(xué)的理論依據
全日制義務(wù)教育階段國家數學(xué)課程標準對數學(xué)課程目標的提法較以前有較大的改進(jìn)___強調數學(xué)教育應當首先關(guān)注毎一個(gè)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)和一般能力的發(fā)展，增進(jìn)對數學(xué)理解和應用數學(xué)的信心。[29]這一總目標：使學(xué)生能積極參與數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，對數學(xué)有好奇心和求知欲；在數學(xué)學(xué)習活動(dòng)中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；初步認識數學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系及對人類(lèi)歷史發(fā)展的作用，體驗數學(xué)充滿(mǎn)著(zhù)探索和創(chuàng )造；感受數學(xué)的嚴謹性以及數學(xué)結論的正確性；形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考的習慣。
《高中數學(xué)課程標準》的框架設想（2002，3.18征求意見(jiàn)稿）中可以看出課程標準的設置正朝著(zhù)以人為本的方向努力，努力拓寬數學(xué)知識面，關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識背景，關(guān)注學(xué)生的自主探索和合作交流，讓學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng )新等過(guò)程，獲得數學(xué)學(xué)習的自信心和方法；關(guān)注學(xué)生的情感和情緒體驗，讓學(xué)生投入到現實(shí)的、充滿(mǎn)探索的數學(xué)學(xué)習過(guò)程中去，體會(huì )數學(xué)的探索過(guò)程，體會(huì )數學(xué)與自然、社會(huì )和人類(lèi)生活的聯(lián)系，獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展；新課程標準努力給教材的多樣性創(chuàng )造條件，給教師教學(xué)留有余地，給學(xué)生學(xué)習提供充分的時(shí)間與空間。
自20世紀90年代初制定的數學(xué)教學(xué)大綱就一直把培養學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)作為數學(xué)教學(xué)目的之一，而且對良好個(gè)性品質(zhì)作了較完整的解釋。而依據新大綱編寫(xiě)的新教材更加注重以學(xué)生為本。學(xué)生是學(xué)習的主體；新教材充分注意到了學(xué)生這個(gè)主體在學(xué)習過(guò)程中的主動(dòng)性和參與性。
4.2.2注重數學(xué)的科學(xué)性與人文性的融合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習動(dòng)機
數學(xué)不僅具有重要的科學(xué)價(jià)值，同時(shí)還具有豐富的人文價(jià)值。數學(xué)文化作為一種基本的文化形態(tài)始終與人類(lèi)文化協(xié)調發(fā)展，相得益彰。正如美國著(zhù)名數學(xué)教育家M.克萊因所說(shuō)：“數學(xué)一直是形成現代文化主要力量，同時(shí)又是這種文化極其重要的因素，這種觀(guān)點(diǎn)在許多人看來(lái)是難以置信的，或者充其量來(lái)說(shuō)也只是一種夸張的說(shuō)法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數學(xué)實(shí)質(zhì)的錯誤概念所帶來(lái)的結果。”[30]然而在過(guò)去，我們的數學(xué)課程內容主要限于數學(xué)的知識成分，很少涉及數學(xué)思想、精神、學(xué)生情感和價(jià)值觀(guān)等人文成份。在數學(xué)教學(xué)中過(guò)于注重數學(xué)的科學(xué)價(jià)值，而忽視對其人文精神的提煉，沒(méi)有很好地發(fā)揮數學(xué)科學(xué)本身所固有的人文功能。[31]從函數概念教學(xué)現狀分析，可以看出大部分教師注重了函數概念的分析和要點(diǎn)的把握。但大都忽略函數概念所包含的人文精神。函數概念發(fā)展至今有300多年的歷史，一直處于發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。有著(zhù)豐富的人文內涵。從學(xué)生的調查和訪(fǎng)談結果知：都希望老師能重視數學(xué)的人文性。普遍認為在課堂中介紹數學(xué)史知識，能夠幫助學(xué)生理解數學(xué)知識，領(lǐng)悟到數學(xué)思想方法的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程；能夠促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習數學(xué)的自信心，消除對數學(xué)的畏懼感、神秘感，進(jìn)而對數學(xué)產(chǎn)生興趣；能夠使學(xué)生學(xué)習到數學(xué)家的堅毅品質(zhì)和科學(xué)的獻身精神；能夠使學(xué)生了解到祖國和世界的數學(xué)成就，從而產(chǎn)生民族自尊心、自豪感，并形成其自覺(jué)為祖國和世界文化昌盛而奉獻的意愿。從李善良對江蘇省準陰市區十所中學(xué)初二年級師生進(jìn)行的一次問(wèn)卷調查結果發(fā)現數學(xué)史教育明顯不足；教師普遍認為：教材中對數學(xué)家介紹太少，多數情況只提名字而無(wú)簡(jiǎn)歷或故事，教材中對外國數學(xué)史介紹得太少，此外，教材中數學(xué)史內容未能與教學(xué)內容有機融合。教學(xué)中只有40%左右的教師主動(dòng)地將數學(xué)史內容穿插在課堂上講解，有40%的教師要求學(xué)生課外閱讀，而至少有20%的教師從未對學(xué)生進(jìn)行這方面的學(xué)習指導，其原因主要為數學(xué)史知識不是升學(xué)考試內容。[32]從本人的問(wèn)卷２第５題的調查結果來(lái)看，教師對數學(xué)史知識的教學(xué)重視的力度不夠。就這樣一道題只有少數同學(xué)注意到了教材上旁邊的注解，能夠回憶起來(lái)。有人這樣回答的：“這東西，誰(shuí)關(guān)心，不知道。”既然數學(xué)史教育是學(xué)生就歡迎的，而函數概念又有著(zhù)３００多年的歷史，在我們的函數課堂中就應重視。值得注意的是：在介紹數學(xué)史要能和教學(xué)內容有機融合；介紹方法與處理方法可靈活多樣；數學(xué)史教育內容應當中外兼顧。數學(xué)史教育應時(shí)刻注意教育對象。
除了傳統的課堂教學(xué)模式影響了學(xué)生對數學(xué)所持的情感外，我們的大眾傳媒在一定程度上應負一定的責任。有人做過(guò)調查訪(fǎng)問(wèn)，“蘇步青和張藝謀哪個(gè)貢獻大？”大都回答“蘇步青”。然而當問(wèn)及他們的生平事跡時(shí)，大多對張藝謀的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都能講出。而對著(zhù)名的數學(xué)家蘇步青教授卻知之甚少。誰(shuí)都能感覺(jué)出我們今天的大眾傳媒對娛樂(lè )、體育方面消息報道多于其它的學(xué)術(shù)知識，比如報紙整版都是娛樂(lè )新聞。而對一些科學(xué)家的生平，學(xué)術(shù)方面的報道出奇的少，這樣促使我們的學(xué)生情感發(fā)生了轉移。我們應呼喚“80年代的陳景潤精神”再度掀起。也有望我們大眾傳媒關(guān)注孩子的全面發(fā)展，關(guān)注孩子未來(lái)。不能為了一時(shí)的經(jīng)濟利益，而以犧牲年輕一代為代價(jià)。
4.2.3函數概念教學(xué)中注重函數思想的滲透
函數概念不僅具有豐富的人文歷史，同時(shí)是貫穿數學(xué)始終一種重要的數學(xué)思想即函數思想。隨著(zhù)社會(huì )的發(fā)展，“終身學(xué)習”和“人的可持續發(fā)展”等教育觀(guān)念進(jìn)一步得到人們的認同，而要想實(shí)現“終身學(xué)習” 和“人的可持續發(fā)展”，重要的是教育中發(fā)展學(xué)生的能力，掌握獲得知識和進(jìn)一步學(xué)習的方法。心理學(xué)的研究結果表明，高度概括的內容能夠在學(xué)生頭腦中留下長(cháng)久的記憶。數學(xué)的思想方法與具體知識相比，具有更高的抽象性與概括性。正如日本數學(xué)教育家米山國藏先生曾深刻地指出：“學(xué)生們有初中或高中所學(xué)的數學(xué)知識，在進(jìn)入社會(huì )后，幾乎沒(méi)有什么機會(huì )應用，因而這種作為知識的數學(xué)，通常在出校門(mén)以后不到一兩年就忘掉了，然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，即使學(xué)生把所教給的知識（概念、定理、法則和公式等）全忘了，銘刻在他心中的數學(xué)精神、思想和方法卻能使他終身受益。”[３3]既然數學(xué)思想方法影響著(zhù)一個(gè)人的一生，而函數又是一種重要的數學(xué)思想，我們不容再忽視了，然而有些教師僅僅把數學(xué)概念看作一個(gè)名詞而已，概念教學(xué)就是對概念做出解釋?zhuān)箤W(xué)生能理解、記住。而沒(méi)有看到像函數這樣的概念本質(zhì)上是一種數學(xué)觀(guān)念，是一種處理問(wèn)題的數學(xué)方法。因此，一節“概念課”教完，也就完成了它的歷史使命，剩下的是趕緊解題。至于“指數函數”，“三角函數”等等又是另外的概念了，求函數的定義域等題似乎也與函數概念沒(méi)什么關(guān)系，因此學(xué)生學(xué)了許多具體函數（在心理上建立了相應的心理表征）。解了不少與函數有關(guān)的題目，卻不能說(shuō)出函數的大致意思，這樣的心理表征是不完善的。在這樣的心理表征下，學(xué)生能很好地運用函數思想去處理問(wèn)題嗎？
函數思想是函數相關(guān)知識的一個(gè)重要組成部分。在數學(xué)教學(xué)中，如果能重視函數思想及其方法的傳授，就有利于幫助學(xué)生掌握開(kāi)啟知識的鑰匙，也就有利于加速知識轉化為能力的進(jìn)程。此外在數學(xué)教學(xué)中還應注意函數思想與其它的模型轉化思想、變換思想、概率統計思想、優(yōu)化思想、方程思想等有較多的聯(lián)系。目前世界各國都很重視數學(xué)思想方法的學(xué)習，許多發(fā)達國家把函數思想作為貫穿中小學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內容。[３4]函數教學(xué)從小學(xué)開(kāi)始接觸變量的思想，初中進(jìn)一步學(xué)習函數思想，到高中集合對應觀(guān)點(diǎn)下的函數理論，使得函數思想在整個(gè)中小學(xué)教育有一個(gè)鋪墊、過(guò)渡、延伸的過(guò)程。如在小學(xué)階段，函數作為數的運算出現，例如，兩個(gè)數之和看成是一個(gè)數與兩個(gè)數對應；代數中函數表示變數之間的關(guān)系；在幾何中，函數表示了幾何變換思想，概率中函數表示了事件發(fā)生與可能性之間的關(guān)系。以美國為例，美國在其《學(xué)校數學(xué)課程和評估標準》（1989）中，除“模式與函數”外，其它章節內容如“代數”、“統計”都與函數思想息息相關(guān)。［１］而在其《學(xué)校數學(xué)的原則與標準》（2000）中則提出了更進(jìn)一步要求，在早期數學(xué)的學(xué)習階段通過(guò)觀(guān)察事物的變化，探索模式，合理引入函數。［３4］然而在中國90年代的義務(wù)教育教學(xué)大綱中，在“教學(xué)內容和教學(xué)要求”中基本沒(méi)有提及函數思想方法，僅有：“使學(xué)生了解……以及反映在函數概念中的運動(dòng)變化觀(guān)點(diǎn)”等字樣，學(xué)生在初三以前很小接觸變量、函數思想。2000年新頒布的課程標準中注意到了思想方法提出了“了解函數的概念和三種表示方法……以及結合圖像對簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的函數關(guān)系進(jìn)行分析，嘗試對變量的變化規律進(jìn)行初步預測。”在認識到函數思想的重要性方面我們比別人晚，這就有望我們一線(xiàn)的教師們更要加倍重視函數思想的教育。
4.2.4教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗基礎上
新的課程標準提出了新的教學(xué)理念：“要實(shí)現人人學(xué)有價(jià)值的數學(xué)；人人都能獲得必需的數學(xué)；不同的人在數學(xué)上得到不同的發(fā)展。”如何將教學(xué)達到這些新的要求，這就要求我們的教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生原有的數學(xué)認知結構的基礎上，滿(mǎn)足各自的學(xué)習需求。認知結構即學(xué)生頭腦里的知識結構，是指學(xué)生感知、思考事物的主觀(guān)模式結構，是學(xué)生全部觀(guān)念的內容和組織。數學(xué)認知結構是指學(xué)生頭腦里的數學(xué)知識，按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、聯(lián)想、等認知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內部規律的結構整體。[35]其中一般的模式可用搞活流通來(lái)表示，依據這一基本模式，數學(xué)學(xué)習活動(dòng)可分為三個(gè)階段：輸入階段，適應階段，運用階段。
而現代認知心理學(xué)家對知識的獲得持同化論的觀(guān)點(diǎn)，即知識的獲得是學(xué)習者認知結構中原有知識吸收并固定要學(xué)新知識的過(guò)程。新知識同化到原有認知結構中。使原有認知結構發(fā)生變化，促使認知結構不斷發(fā)展。奧蘇伯爾把學(xué)生要學(xué)習的新知識與其認知結構起固定作用的原有觀(guān)念分為三種關(guān)系：下位學(xué)習，并列學(xué)習，上位學(xué)習。通過(guò)前幾章的討論，可知函數概念經(jīng)過(guò)了三個(gè)世紀的演變，處于命題網(wǎng)絡(luò )的頂層是上位學(xué)習。上位學(xué)習也稱(chēng)總括性學(xué)習，是指在認知結構中原有的幾個(gè)觀(guān)念的基礎上學(xué)習一個(gè)包容性更高的命題，即原有的觀(guān)念是從屬觀(guān)念，而新學(xué)習的觀(guān)念是總括性的觀(guān)念。其同化模式如下圖。
上位學(xué)習的同化模式[36]
上位學(xué)習遵循從具體到一般的歸納概括過(guò)程,所以我們在教學(xué)中要注重歸納、類(lèi)比等方法引導學(xué)生同以前所學(xué)知識建立聯(lián)系，同時(shí)還要克服思維定勢的影響，從而建立起函數這一辯證概念，使學(xué)生受到良好的思維訓練。例如對函數記號“ ”的理解，大多學(xué)生認為它只可以是一個(gè)解析式，所以缺乏對對應法則“ ”正確理解。那么我們在教學(xué)中要多舉學(xué)生生活中比較熟悉的例子，如銀行利率表，股市走勢圖這樣將抽象問(wèn)題具體化，幫助學(xué)生對符號“ ”以及函數的本質(zhì)有正確認識，起到事半功倍的作用。
此外經(jīng)驗證明，學(xué)習者對知識的積累是必要的。知識是思維的材料，掌握知識是能力發(fā)展的途徑。但作為教師，更應重視學(xué)習者的認知結構對后繼學(xué)習的重要意義�，F代認知學(xué)習理認為，學(xué)習新概念的過(guò)程是新舊概念相互作用的過(guò)程，學(xué)習者的認知能力對學(xué)習者的學(xué)習、研究和知識的運用更為重要。[37] 因此數學(xué)教師在教學(xué)目標選擇時(shí)，應努力將知識的掌握與形成合理的數學(xué)認知結構結合起來(lái)，將掌握知識與發(fā)展能力和培養學(xué)生的情感有機地結合起來(lái)。
4.3使函數概念課堂生活化
第三次全教會(huì )提出必須把培養創(chuàng )新精神和實(shí)踐能力作為素質(zhì)教育的重點(diǎn)。這給課堂教學(xué)提出了改革的要求和方向。陶行知說(shuō)過(guò)：“生活即教育，教育只有通過(guò)生活才能產(chǎn)生作用并成為真正的教育。”所以數學(xué)課堂的生活化是加強實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的必要手段。新的課程標準也更多地強調學(xué)生用數學(xué)的眼光從生活中捕捉數學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)地運用數學(xué)知識分析生活現象，自主地解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。因此，在數學(xué)教學(xué)中應重視學(xué)生生活體驗，把數學(xué)教學(xué)與學(xué)生的生活體驗相聯(lián)系，把數學(xué)問(wèn)題與生活情境相結合，讓數學(xué)生活化，生活數學(xué)化。生活化是一個(gè)過(guò)程，并不是指具體的生活內容，所謂生活化即在教學(xué)中一方面從學(xué)生的生活體驗和已有知識背景出發(fā)聯(lián)系生活講數學(xué)，把生活經(jīng)驗數學(xué)化。數學(xué)問(wèn)題生活化體現數學(xué)的興趣，學(xué)會(huì )運用數學(xué)的思維方式去觀(guān)察、分析、認識社會(huì )去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習中的問(wèn)題。為學(xué)生的終身可持續發(fā)展奠定良好基礎；另一方面在教學(xué)中突出學(xué)生主體地位（弘揚個(gè)性）。正如法國世紀啟蒙思想家盧梭提出的：“自然教育的教學(xué)目的，其核心就是對學(xué)生進(jìn)行教育時(shí)必須順應人的本性，主張采用自然主義（泛愛(ài)主義的教育方法）還課堂以生活的本來(lái)面目。”[38]
一直以來(lái)中外不少教育家強調要處理好教育與生活的關(guān)系，關(guān)注學(xué)生生活本身。像蘇霍姆林斯基在給教師的建議及杜威在民主主義與教育中就明確指出：“教育是生活的需要，依據生活而教育。”課堂教學(xué)活動(dòng)和各個(gè)環(huán)節要盡可能地聯(lián)系生活、貼近生活。只有師生課堂教學(xué)活動(dòng)與現實(shí)生活密切相聯(lián)。教育才能最大體現它的價(jià)值，體現它的自然性、即時(shí)性。這正是學(xué)校教育教學(xué)活動(dòng)的生活本性。如何讓生活進(jìn)入我們的函數概念教學(xué)課堂呢？
首先轉變教師的教育意識是課堂生活化的前提。 服務(wù)是一種資源，優(yōu)質(zhì)服務(wù)是創(chuàng )設舒心的環(huán)境，獲取最佳效益有效手段。教學(xué)中學(xué)生是學(xué)習的主體，教者服務(wù)學(xué)生，旨在點(diǎn)拔、引導、創(chuàng )設情境，必須運用現代化教學(xué)手段，精湛教學(xué)藝術(shù)，科學(xué)的教學(xué)方法，“潤物細無(wú)聲”地引導學(xué)生探究，獲取知識、學(xué)會(huì )思維。在初中函數概念的講授中，教師可以舉生活中的函數現象引入。如一天的天氣預報中，氣溫與時(shí)間的變化情況，汽車(chē)行駛速度與路程的關(guān)系等。還有學(xué)生身高、體重隨年齡的變化情況。分清實(shí)例中出現的常量與變量。此過(guò)程教師指導學(xué)生自己思考。在高中的函數概念教學(xué)中同樣可以從實(shí)例引入，通過(guò)實(shí)例來(lái)講解。眾所周知，從生活實(shí)踐中培養創(chuàng )新能力這一點(diǎn)上，美國“木匠教學(xué)法”很成功。“木匠教學(xué)法”的核心就是注重知識來(lái)源于生活。讓學(xué)生在實(shí)踐中獲取知識 ，讓學(xué)生自我發(fā)現問(wèn)題和自我解決問(wèn)題，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng )造力。
其次善于研究生活中的數學(xué)是課堂生活化的基礎。 知識是前人在生活中積累的經(jīng)驗或是提煉出的規律，而教學(xué)目標是為了掌握規律及學(xué)習發(fā)現規律的方法。若教者只是讓學(xué)生掌握知識，那就是把學(xué)生頭腦當成了知識的容器，“頭腦不是一個(gè)要被填滿(mǎn)的容器而是把需被點(diǎn)燃的火把。”因此，教學(xué)中必須讓學(xué)生了解知識發(fā)生的過(guò)程，但40或45分鐘畢竟有限，因此教者要引導學(xué)生善于捕捉、獲取、積累生活中的數學(xué)知識。
最后善于創(chuàng )設教學(xué)情境是數學(xué)課堂生活化的基本途徑。創(chuàng )設教學(xué)情境是數學(xué)模擬生活，使課堂教學(xué)更接近現實(shí)生活，使學(xué)生如身臨其境，如見(jiàn)其人，如聞其聲，加強感知，突出難點(diǎn)，激發(fā)思維。常見(jiàn)的創(chuàng )設教學(xué)情境的做法有：運用實(shí)例，運用實(shí)物（掛圖），動(dòng)手操作，運用媒體和模擬生活。
我們可以讓生活走入課堂，同樣也可讓課堂走向生活，走向社會(huì )、走向實(shí)踐。把課堂搬出教室，搬出校園，。在自然界中，在社會(huì )中，以真實(shí)、生動(dòng)和豐富經(jīng)驗……發(fā)展其實(shí)踐能力，發(fā)展對知識的綜合運用和創(chuàng )新能力，養成合作、分享、積極進(jìn)取等個(gè)性品質(zhì)。
早在上世紀初，美國教育家杜威就提出“在做中學(xué)”的觀(guān)點(diǎn)，無(wú)疑，“做”與被動(dòng)地“聽(tīng)”和“看”是無(wú)法比擬的。(I hear, I forget；I see,I remember；I do,I understand.)我聽(tīng)了，我忘；我看了，我記住了；我做了，我明白了。）皮亞杰也曾指出：讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習，這是兒童教育的最重要的原則。[39]著(zhù)名的數學(xué)家弗賴(lài)登塔爾也認為數學(xué)教育,它應該來(lái)源于現實(shí)、寓于現實(shí)、用于現實(shí)。數學(xué)教育應該通過(guò)具體的實(shí)際問(wèn)題來(lái)教抽象的數學(xué)問(wèn)題，它應該是從學(xué)生所經(jīng)歷所能感悟的客觀(guān)實(shí)際中提出問(wèn)題，然后升華為數學(xué)概念、運算法則或數學(xué)思想。
所以我們應從教學(xué)內容的實(shí)際出發(fā)，組織實(shí)施“大課堂”教學(xué)。所謂“大課堂”教學(xué)就是組織學(xué)生走出課堂的教學(xué)。如進(jìn)行實(shí)地考察，或由學(xué)生自己通過(guò)做社會(huì )調查、查閱資料等方式學(xué)習。“大課堂”教學(xué)打破了單一的課堂集中教學(xué)形式。一方面可以開(kāi)闊學(xué)生的知識視野，打破課堂學(xué)習的局限性，促使學(xué)生充分認識到數學(xué)知識的價(jià)值，并通過(guò)社會(huì )化、生活化的方式使學(xué)生學(xué)到有用的數學(xué)。在教學(xué)中要根據教學(xué)需要讓學(xué)生走出課堂，但是要注意做好組織引導工作，要讓學(xué)生帶著(zhù)任務(wù)走出課堂，不能放任自流，搞“放手式”教學(xué)。還可布置實(shí)踐作業(yè)。如通過(guò)調查了解函數知識在工農業(yè)生產(chǎn)和實(shí)際生活中的應用，使學(xué)生真正體會(huì )到數學(xué)源于生活。比如，現在農村各地正在進(jìn)行產(chǎn)業(yè)結構調整，可組織學(xué)生到農戶(hù)進(jìn)行調查、收集數據，分析產(chǎn)業(yè)結構調整帶來(lái)的經(jīng)濟效益。又如電話(huà)費、水電費等都是時(shí)間的函數。許多科學(xué)也只有用函數才能表達清楚。如物體的自由落體運動(dòng)，生物學(xué)中的細胞繁殖速度，生產(chǎn)成本的核算、生產(chǎn)工效的提高等都是相應的自變量的函數。函數充斥我們生活的方方面面，或者說(shuō)，我們的生活離不開(kāi)函數，函數與每個(gè)人息息相關(guān)，這便使我們的函數課堂生活化和讓函數課堂走向生活、走向社會(huì )實(shí)踐有了保證。
4.4基于函數概念的抽象性，用問(wèn)題驅動(dòng)組織教學(xué)
“問(wèn)題是數學(xué)的心臟”沒(méi)有問(wèn)題就沒(méi)有數學(xué)�，F代認知心理學(xué)關(guān)于思維的研究成果表明，思維過(guò)程，即思維通常是由問(wèn)題情境產(chǎn)生的，而且是以解決問(wèn)題情境為目的的。所謂問(wèn)題情境是一種有目的的但又不知如何達到這一目的的心理困境，也就是當已有知識不能解決新的問(wèn)題而出現的心態(tài)。人們就必須擬出以曾未曾有過(guò)的新的活動(dòng)策略�；诤瘮蹈拍畹某橄笮�，我們可以試著(zhù)用問(wèn)題驅動(dòng)函數概念教學(xué)。問(wèn)題驅動(dòng)教學(xué)有其充足的理論依據：
1）建構主義學(xué)習理論，目前教育心理學(xué)界正在以一種新的觀(guān)點(diǎn)來(lái)理解學(xué)習和教學(xué)，這就是建構主義學(xué)習理論。建構主義學(xué)習理論認為，學(xué)習是獲取知識的過(guò)程，知識不單單是通過(guò)教師的傳授而得到的，而主要是學(xué)習者在一定的情境（即社會(huì )文化背景）下，借助于其他人的幫助，利用必要的學(xué)習資料。通過(guò)意義建構的方式自己獲得的，其核心是“通過(guò)問(wèn)題教學(xué)解決學(xué)習”。[40]
2）問(wèn)題教學(xué)理論，20世紀60年代中期，前蘇聯(lián)教學(xué)論專(zhuān)家馬赫穆托夫創(chuàng )立了問(wèn)題教學(xué)理論。這理論是前蘇聯(lián)發(fā)展性教學(xué)理論的重要組成部分，具有相對完整的方法體系和鮮明的時(shí)代特色。馬氏認為：在這種教學(xué)中，學(xué)生從事的系統的獨立探索活動(dòng)與其掌握現成的科學(xué)結論配合進(jìn)行的，其方法體系建立在問(wèn)題情境的創(chuàng )設、問(wèn)題的提出和問(wèn)題的解決基礎上的。在問(wèn)題教學(xué)中，學(xué)生不僅要掌握科學(xué)結論，還要掌握這些結論獲得的途徑和過(guò)程，其目的在于形成思維的獨立性和發(fā)展創(chuàng )造力。
3）數學(xué)教學(xué)的本質(zhì)要求，“問(wèn)題是數學(xué)的心臟”，數學(xué)的真正組成部分數學(xué)問(wèn)題。問(wèn)題在數學(xué)教學(xué)中具有極其重要的意義，它是數學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和動(dòng)力，數學(xué)教學(xué)過(guò)程應當是一個(gè)不斷提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程。那么具體到函數這樣一個(gè)抽象的概念的講授課中又如何應用問(wèn)題驅動(dòng)教學(xué)呢？就中學(xué)課本中的函數概念進(jìn)行討論：
中學(xué)課本要講到一元函數的定義如下， 是一種對應法則，它將定義域 中每個(gè)實(shí)數 對應于唯一實(shí)數 ，記為 ，大部分學(xué)生都能背出這個(gè)定義，但是這種表述能刺激他們去思考去應用嗎？讓我們用批判的眼光去審視這個(gè)基本概念。
問(wèn)題1.函數的概念是不是一個(gè)最基本的概念？為什么要研究函數？
在現存的教程中你很難找到答案，因為大家都不關(guān)心這個(gè)問(wèn)題。殊不知這是一個(gè)很重要的問(wèn)題，如不深究其答案，我們將難以把很多數學(xué)結果用活，也不知道為何要學(xué)微積分。設想你在某公司做事，在公司業(yè)務(wù)數據庫、公司的電腦中有函數嗎？當你的上司希望你完成一項市場(chǎng)分析時(shí)，你能在公司里找到任何函數公式嗎？我們在數學(xué)教程上讀到的很多理論都是從函數出發(fā)的，但是在真實(shí)的業(yè)務(wù)中它卻不存在的！這使學(xué)生、教授、數學(xué)家們感到茫然。
真實(shí)的生活雖然沒(méi)有直接的函數存在，但是我們不得不面對的是很多有自己內涵的變量，例如：商品價(jià)格、需求量、時(shí)間、上證指數、交易量、信用卡余額、溫度、交通事故數。我們天天都必需和它們打交道，希望理解變量之間的關(guān)系。這里的關(guān)鍵詞是關(guān)系。
問(wèn)題2.變量之間的關(guān)系有幾種類(lèi)型？
這是一個(gè)很具本原性的問(wèn)題，從實(shí)際生活中我們可歸納出下列類(lèi)型。
a. 完全不相關(guān)；
b. 變量Y由變量組{ }決定；
c. 變量Y由變量X決定；
d. 不確定關(guān)系。
這些關(guān)系的研究推動(dòng)了各種數學(xué)的誕生。a推動(dòng)了各種“獨立性”的數學(xué)的發(fā)展；b產(chǎn)生多元微積分； c產(chǎn)生一元微積分；d產(chǎn)生了概率論。為什么c產(chǎn)生一元微積分呢？首先為了表達Y由X決定的關(guān)系，我們才能創(chuàng )造了一元函數 的概念，它的功能是指出當自變量 值時(shí) 。因此一元函數 是表達Y如何依賴(lài)于X的關(guān)系的工具。而一元微積分的工作對象是一元函數，所以c產(chǎn)生了一元微積分。 與多元微積分的關(guān)系就亦然。將函數與它所代表的變量聯(lián)系起來(lái)，一切都變活了。
例如，大家都知道指數函數 ，只看抽象的指數函數，你的感覺(jué)是冰冷的，但當你用它來(lái)刻畫(huà)某項投資在 時(shí)的現值時(shí)，我們就有了新的思路，將 改寫(xiě)為 ， 有何意義呢？
原來(lái)可理解為一年后的收益率！這時(shí)你對指數函數是不是倍感親切呢？因為你應該關(guān)注你的 ，當 時(shí)，你能掙得更多的鈔票！反之 ，你將承受損失。
總之，當我們明白了函數是表達變量之間關(guān)系的工具時(shí)，我就能知道為什么要研究學(xué)習函數，這一點(diǎn)也啟發(fā)我們去討論下面的問(wèn)題。
問(wèn)題3.如何去分析函數？
還是用一元函數為例說(shuō)明。設有兩個(gè)變量 ，
——某商品的銷(xiāo)量，
X——該商品的價(jià)格。
在一定的條件下，Y與X的關(guān)系可用價(jià)格——銷(xiāo)售函數 來(lái)指導，作為決策者，銷(xiāo)售經(jīng)理雖然關(guān)心函數 ，但是他首先考慮的問(wèn)題是，如果現在的價(jià)格是 ，在 的基礎上調整 時(shí)，市場(chǎng)的反應如何？即他應研究的是 與相應的 的關(guān)系：
對 、 的分析稱(chēng)為增量的分析，，這是微積分的靈魂，在中學(xué)里對函數的研究出發(fā)點(diǎn)是 的表達式，在微積分中是對 和 的關(guān)系研究。接下來(lái)的問(wèn)題是：如何研究 與 的關(guān)系呢？……
對其它比較復雜的概念，均可采用問(wèn)題教學(xué)法�？偨Y一下問(wèn)題教學(xué)法的基本操作程序：1）創(chuàng )設問(wèn)題情境；2）引導活動(dòng)探索；3）討論反饋問(wèn)題；4反思深化問(wèn)題。即從問(wèn)題出發(fā)——引導探究——解決問(wèn)題——歸納反思——發(fā)現新問(wèn)題——再探究新問(wèn)題，這樣一個(gè)開(kāi)放式的教學(xué)模式。
4.5將案例教學(xué)法運用于函數概念教學(xué)中
所謂案例是指包含有某些決策或疑難問(wèn)題的教學(xué)情境故事，這些故事反映了典型的教學(xué)思考水平及其保持、下降或達成現象。[41]在新的課程理念的課堂教學(xué)案例，應考慮從以下諸方面選擇主題：
1）學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的教與學(xué)方式；
2）體現教師幫助學(xué)生自主探究、合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數學(xué)知識和技能、數學(xué)思想方法，獲得廣泛的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，如數學(xué)活動(dòng)中，如何關(guān)注數學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生體驗“數學(xué)化”，即如何讓學(xué)生分析和研究活動(dòng)中出現的種種現象，并加以整理和組織的過(guò)程，經(jīng)歷歸納、概括、抽象，將客觀(guān)事物數學(xué)化或數學(xué)本身邏輯化的過(guò)程；
3） 體現讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應用的過(guò)程；采用“問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式教學(xué)的成功經(jīng)驗。
4） 體現數學(xué)與信息技術(shù)整合的教與學(xué)的方法；
5） 體現教師在教學(xué)過(guò)程中的組織者、引導者與合作者作用；
6）體現教學(xué)中對學(xué)生情感、態(tài)度的關(guān)注和過(guò)程評價(jià)，以及怎樣幫助不同的人在數學(xué)上獲得不同的發(fā)展等等。[42]
從以上幾方面編寫(xiě)的案例在課堂上呈現給學(xué)生，并運用它開(kāi)展探究教學(xué)，從此案例成了取之于學(xué)生又用于學(xué)生的一種難得的課堂資源，探究教學(xué)途徑也得到了很好的拓寬。課堂教學(xué)案例實(shí)錄：
案例1:世界著(zhù)名的水都威尼斯，有個(gè)馬爾克廣場(chǎng)。廣場(chǎng)的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一方闊地，這片闊地經(jīng)常吸引著(zhù)四方游人到這里做一種奇特的游戲；先把眼睛蒙上，然后從廣場(chǎng)的一端向另一端教堂走去，看誰(shuí)能到達教堂的正前面。奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒(méi)有一名游客能幸運地做到這點(diǎn)！他們全都走成了弧線(xiàn)，或左或右，偏斜到了一邊。
公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝爾對此問(wèn)題進(jìn)行了深入的探討，他收集了大量的事例后分析說(shuō)：這一切都是由于人自身兩條腿作怪！長(cháng)年累月養成的習慣，使每一個(gè)人一只腳伸出的步子要比另一只腳伸出的步子長(cháng)一段微不足道，而正是這一段很小的步差 ,導致了人們走出了一個(gè)半徑為 的大圈子！設某人的腳踏線(xiàn)間相隔為0.1米，平均步長(cháng)為0.7米, 當人打圈子時(shí),兩只腳實(shí)際上走出兩個(gè)半徑相差為0.05米的同心圈�？傻� 。通過(guò)此案例可作為初中函數定義的引入，也可作為高中復習初中定義�？蓪⒆鞒烧n件，同時(shí)也可用學(xué)生自己來(lái)做這個(gè)游戲。這可大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情，生活中這些微不足道的現象，竟然都能用我們所學(xué)的數學(xué)來(lái)解釋。
案例2：（國外的一堂課）
問(wèn)題1：這里一共有35個(gè)（yo-yos）在一個(gè)盒子里，有20個(gè)學(xué)生來(lái)上課，他們每人自帶了4個(gè)（yo-yos）放在盒子里；問(wèn)一共有多少個(gè)（yo-yos）在盒子里？
得出： 。
問(wèn)題2：盒子里一共有166個(gè)（yo-yos），今天有22個(gè)學(xué)生來(lái)上課，他們每人帶了6個(gè)（yo-yos）放在盒子里，問(wèn)盒子里原來(lái)有多少個(gè)（yo-yos）？
得出：166=22*6+ 。
問(wèn)題3：盒子里一共有151個(gè)（yo-yos），盒子里原來(lái)有58個(gè)（yo-yos），今天來(lái)有31個(gè)學(xué)生來(lái)上課，問(wèn)他們每人帶了多少個(gè)（yo-yos）？
得出： 。
問(wèn)題4：盒子里一共有109個(gè)（yo-yos），盒子里原來(lái)有46個(gè)（yo-yos），每個(gè)學(xué)生帶了7個(gè)（yo-yos），那么來(lái)上課的學(xué)生人為多少個(gè)？
得出： 。
問(wèn)題5：（1） ；（2）166=22*6+ ；
（3） ；（4） 。
將以上四個(gè)式子用一個(gè)模型概括出來(lái)。得出： 即 。
問(wèn)題6：在將來(lái)的某個(gè)時(shí)候，學(xué)生每人帶了2個(gè)（yo-yos）放在盒子里，盒子里原來(lái)有3個(gè)（yo-yos），那么盒子里的（yo-yos）數為多少？
這里有兩個(gè)數不知道，得出： 。
練習1：瑪麗有6盒口香糖，每一盒里有5片，那么她一共有多少片口香糖？
練習2：特德有15條魚(yú)，他把每3條放一個(gè)魚(yú)罐，那么他一共放了多少個(gè)魚(yú)罐？
此案例完全用學(xué)生自己在經(jīng)歷一個(gè)“做數學(xué)”的過(guò)程，包括最后的練習都是通過(guò)操作可以解決的。比起我們國內直接舉出我們見(jiàn)過(guò)這樣的式子： 來(lái)引入要更能滿(mǎn)足學(xué)生的內在需求。這樣整個(gè)教學(xué)活動(dòng)都融入了社會(huì )這個(gè)群體中。如下圖所示： 此案例可作為一次函數的引入講解，也可用于方程的學(xué)習。[43]
案例3：2000年5月11日《解放日報》第6版題為《“發(fā)福”不是福，肥胖是“殺手”》的文章指出：目前國際流行的體重指數法（MBI）和最新的亞太地區肥胖指標，將體重（千克）除以身高（米）的平方，結果大于23即為超重，大于25即為肥胖，介于18.5至22.9之間屬于正常。請根據自己的體重（千克）及身高（米）設計一道數學(xué)題并加以解答。
教師分析題意：找出問(wèn)題中關(guān)鍵關(guān)系式是肥胖指標與體重、身高之間的等式關(guān)系，它們?yōu)椋悍逝种笜? 。能否用符號來(lái)表示？讓我們選定符號。
學(xué)生回答，教師認同：肥胖指標用 ，體重用 ，身高用 表示，那么上述關(guān) 系式即為： 。
師：符號可以簡(jiǎn)化我們的思考。好，現在讓我們設計問(wèn)題、提出問(wèn)題。
問(wèn)題1：我的身高為1.78米，體重為75千克，是否屬于正常范圍內？如果我們把問(wèn)題轉化成數學(xué)問(wèn)題，那么相應的數學(xué)問(wèn)題是什么？
學(xué)生1：（數學(xué)問(wèn)題1）：計算 ，并判斷是否大于或等于18.5而小于22.9。
計算的結果 值為23.67，屬于超重范圍，所以我認為要制定計劃減肥，由于一般情況下我的身高不會(huì )有什么變化，即保持在1.78米，那么我必須把體重減下來(lái)，使肥胖指標屬于正常范圍。
問(wèn)題2：那么我的體重必須在什么范圍內呢？從數學(xué)的角度來(lái)看是什么問(wèn)題？
學(xué)生（數學(xué)問(wèn)題2）：已知 , ,如果 ,那么 在什么范圍內？
師生共同解決： , ,則 ,即 。
這說(shuō)明我的體重介于58.6154千克與72.55636千克之間的話(huà)為正常范圍。
師:我們還能提出什么問(wèn)題？
學(xué)生：作一個(gè)直角坐標系。
師：好，我在黑板上畫(huà)一個(gè)直角坐標系。下面呢？
學(xué)生：（討論）
師：作一個(gè)直角坐標系有什么用？
學(xué)生：作出函數圖像。
師：什么函數？
學(xué)生：（討論）
師：我們看到關(guān)系式 中有三個(gè)量，而我們黑板上畫(huà)的是平面直角坐標系，也是我們僅僅學(xué)過(guò)的坐標系，在這個(gè)坐標中只能表示兩個(gè)維度，這里的x軸、y軸，那么這里的x軸、y軸分別表示什么呢？
學(xué)生：x軸表示k(肥胖指標)，y軸表示w（體重）。
師：那么h是什么？還能不能是一個(gè)變量？
學(xué)生:只能是一個(gè)常數，不妨設為1.78。
師：那么我們就得到函數 ,即 ，是一個(gè)一次函數，當然，這個(gè)函數的自變量k應當有一個(gè)取值范圍，例如，上面我們提到介于18.5與22.9之間，那么函數 (體重)就應有一個(gè)范圍，就是上面的問(wèn)題，從圖像上看就是一條直線(xiàn)的一段。受此啟發(fā)，我們是否可以考慮x軸、y軸分別代表其它的變量？
眾生：可以。
師：讓我們進(jìn)一步思考下去。
學(xué)生：x軸表示 （身高）, y軸表示 (體重)。
師： 是否需要是一個(gè)確定的值？
學(xué)生： 為20吧。
師：這樣我們就得到 ，這里 是 的二次函數，當然 也是有取值范圍的，據此，我們可以設計怎樣的問(wèn)題？
學(xué)生：我小學(xué)畢業(yè)時(shí)身高為1.40米，現在的身高約為1.60米，如果我要保持我的肥胖指標一直為20的話(huà)，那么我的體重應當從多少到多少？
師：指你的體重在什么范圍內變化？
學(xué)生：對。
學(xué)生：解決他的問(wèn)題只要計算出當 和 時(shí)的函數 時(shí)的函數值。
師生共同：我們算出當 和 時(shí)函數 的函數值分別為39.2和51.2。
學(xué)生：這說(shuō)明他的體重應從39.2千克到51.2千克。
師:從數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看,我們是應當注意到二次函數 在自變量取1.40到1.60的范圍內,函數值隨著(zhù) 的增大而增大,這樣我們才有理由說(shuō)他的體重應從39.2千克不斷增加到51.2千克。
好,讓我們繼續挖掘這里的寶藏吧。
學(xué)生：對于關(guān)系式 中的三個(gè)量確定任何一個(gè)量，我們可得到另外兩個(gè)量的函數關(guān)系。
師：非常好，具體一點(diǎn)。
學(xué)生：例如對于上面的 ，可變形得到 ，可變形得到 。
師：由一次函數 得到的 仍為一次函數，由二次函數 得到的 是根式函數（為他們以后的反函數學(xué)習作鋪墊）。
如果 為定值，我們設 ，那么可得到什么呢？
學(xué)生： , ,是什么函數不知道。
師：像 這樣，由若干個(gè)多項式的和、差、積、商所構成的函數（做除法時(shí)除數恒不為零）叫做有理函數，在初等函數中，像 這樣，不是有理函數的代數函數叫無(wú)理函數。
再從另外一個(gè)角度看待以上討論的問(wèn)題，我們看到今天共解決三類(lèi)問(wèn)題：一是求值；二是求范圍；三是兩個(gè)變量之間的函數關(guān)系。而前兩類(lèi)問(wèn)題可分別歸結為求函數值和值域問(wèn)題，因此可以用函數來(lái)統一以上所述。[44]
案例4小明的父親是被派往西北某地區扶貧的一名干部,在他爸爸扶貧的兩村莊在河岸(一段長(cháng)長(cháng)的直河)的同一側,由于兩村所在的地勢高于河床,因此,盡管河里水源充足,但兩村莊的水源卻非常緊張。經(jīng)小明的爸爸考察發(fā)現這正是導致兩村莊貧困的主要原因)。要想兩村莊脫貧致富，必須首先得解決水源問(wèn)題。小明的爸爸想到了一個(gè)方案，在河岸修建一個(gè)抽水站，（需要１０萬(wàn)元），然后鋪設管道（鋪管道每米需要２.５萬(wàn)元）到兩村。經(jīng)測量?jì)纱迩f距離河岸分別為４千米和８千米，兩村之間距離為５千米；通過(guò)小明的爸爸和當地政府向國家有關(guān)部門(mén)申請，爭取到了撥款４０萬(wàn)元。小明的爸爸在想能否用這些資金來(lái)完成這一任務(wù)？如果不能完成，那又最少還需要籌集資金多少萬(wàn)元？在他不是很有把握估算出來(lái)時(shí)，想到了在上高中的兒子，馬上打電話(huà)給小明，把這一情況向兒子說(shuō)了一遍，希望能幫他正確預算出來(lái)。
小明接了電話(huà)后，想到可以幫老爸一個(gè)大忙，立即開(kāi)始思考。能否用這些資金完成任務(wù)，取決于完成任務(wù)的最小資金能否不超過(guò)４０萬(wàn)元，修建抽水站和鋪管道每米所需要的資金是固定的，因此能想到的辦法只能是抽水站修建在何處，使給兩村莊所鋪管長(cháng)最少，于是小明想到了構造函數模型求解。
設兩村莊分別為Ａ和Ｂ，它們到河岸的距離分別為 ，其中 ，而且 ，并作出了右圖１.的示意圖形，過(guò)Ａ作 于 ， ，
又設抽水站修好建在Ｄ處， ，所要鋪設總管道長(cháng)為 ，則有 ，于是問(wèn)題轉化為求函數 的最小值問(wèn)題。
圖1.
小明解到此，對于這個(gè)函數的最小值，無(wú)法求解。有沒(méi)有其它解決辦法呢？小明想了一夜沒(méi)有想出更好的辦法。第二天來(lái)請教數學(xué)老師。數學(xué)老師沒(méi)有給他直接回答。說(shuō)到數學(xué)課上一起來(lái)就這一問(wèn)題展開(kāi)討論：
數學(xué)課上，老師先講了一點(diǎn)內容，然后才把問(wèn)題拿出來(lái)討論的。過(guò)了十分鐘后，有同學(xué)沿著(zhù)小明的思路，想到這里問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是在直線(xiàn) 上求一點(diǎn)Ｄ，使Ｄ到直線(xiàn)同一側的兩點(diǎn)Ａ、Ｂ的距離之和最小，這正是平面幾何中我們已前所解決過(guò)的問(wèn)題，于是有了思路了。作Ａ關(guān)于直線(xiàn) 的對稱(chēng)點(diǎn) ，過(guò) 作 于 ，連結 B, B交EF的于點(diǎn)D，則D到A、B兩點(diǎn)距離之和最�。ㄈ鐖D2）所示，
此時(shí) （萬(wàn)米）
故最小費用為， （萬(wàn)元）。 圖2.
故小明的爸爸還需自籌資金約９２５０元。
同學(xué)們仔細再想一想，此時(shí)下課鈴響起來(lái)了，于是老師要求同學(xué)們課后再去想一想，明天再繼續討論，是否還有更好的辦法，不需要自籌資金是最好的。
第二天，數學(xué)課上繼續討論，要求同學(xué)們想一想上面問(wèn)題解法有沒(méi)有問(wèn)題？還有沒(méi)有更好辦法？
同學(xué)們紛紛討論，上面的問(wèn)題解法沒(méi)有什么疑問(wèn)？我們在學(xué)平面幾何時(shí)老師就特別提醒過(guò)這一知識點(diǎn)的用途。有同學(xué)還說(shuō)“記得很清楚呢不會(huì )有錯”？數學(xué)老師提醒要同學(xué)們聯(lián)系生活實(shí)際，自已家的自來(lái)水管是怎樣來(lái)的？
過(guò)了約１０分鐘，有同學(xué)想到了，日常生活中的水管多數是從一戶(hù)連到一戶(hù)。由此自然想到下面的解法如圖3：
圖3.
把抽水站建在Ｅ處，水管沿Ｅ——Ａ——Ｂ，途徑４＋５＝９千米，比上述解法少了約３.３２７千米。
故沿Ｅ——Ａ——Ｂ途徑的總費用為 （萬(wàn)元）
因此，用這些資金可以完成任務(wù)，而且還有節余７.５萬(wàn)元可作為開(kāi)發(fā)其它項目使用。
老師又讓同學(xué)們仔細想想這一解法，有沒(méi)有問(wèn)題？
下面請同學(xué)們思考：
（1）在前面問(wèn)題的解決中理論上應該是成立的，為什么反而所鋪管道不是最短呢？
（2）對于類(lèi)似的問(wèn)題是否總有第二種方案最佳呢？若不是請同學(xué)們舉例說(shuō)明。
同學(xué)們對問(wèn)題（１）有了明確答案：這是因為，解法１將問(wèn)題轉化為“抽水站”建在何處，使抽水站到兩村的距離之各最小的問(wèn)題？而實(shí)際中的目標是：把水送到兩村的最小管道長(cháng)為多少？
對問(wèn)題（２）同學(xué)們又陷入了困境了，
老師再次提醒，如果當兩村莊到河岸的距離不變，而兩村莊的距離改變，（設為 ），情形如何？
同學(xué)們在演算，不同方法所需的費用。
按第一種方法，有 ，其中最短的管道長(cháng)為 （千米）；
按第二種方案：最短長(cháng)為 （千米）；
現要比較兩種方法，只需比較兩個(gè)的最短長(cháng)度即可。
而將上面兩式平方后作差得： ；
故當 時(shí)，第二種方案好；
當 時(shí)，兩種方案一樣；
當 時(shí)，第一種方案好。
通過(guò)這種方式的學(xué)習，學(xué)生的學(xué)習熱情調動(dòng)起來(lái)了，而且用學(xué)生體會(huì )到了數學(xué)在現實(shí)生活中的實(shí)際應用價(jià)值。通過(guò)學(xué)生的討論和自己想辦法解決，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)“做數學(xué)”的過(guò)程。案例實(shí)錄分析具有思辨性認證不可替代性，多種形式、不同層次的個(gè)案可以對實(shí)際課堂實(shí)施情況有清晰的了解，“它以豐富的具體教學(xué)情境為理論與實(shí)踐的結合提供生動(dòng)的注解”。[45]
案例教學(xué)中的問(wèn)題來(lái)自于學(xué)生學(xué)習實(shí)際，又通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，從思維激發(fā)的角度看最具有價(jià)值，能真正培養學(xué)生思維的敏捷性、批判性和深刻性。真正體現了以學(xué)生的學(xué)為本，以學(xué)生的發(fā)展為本的現代教學(xué)理念，學(xué)生在課堂上相互啟發(fā)、交流、接納、贊賞、合作、分享、互助，能經(jīng)歷挫折與失敗，曲折與迂回、成功與興奮，這其中有許多感受和體驗是他們理解科學(xué)的本質(zhì)、理解科學(xué)精神的意義與價(jià)值的基礎，可以說(shuō)學(xué)生的角色完全從傳統教學(xué)中的配角變?yōu)樘骄拷虒W(xué)中的主角，變被動(dòng)接受學(xué)習為主動(dòng)探究學(xué)習，學(xué)生真正成了學(xué)習的主體，探究的主體以及自我發(fā)展的主體。
運用案例教學(xué)，有一點(diǎn)需要特別強調的是：案例的運用有一個(gè)適度的問(wèn)題，整堂課都運用案例易使學(xué)生產(chǎn)生厭倦心理。在教學(xué)實(shí)踐中，教師宜根據教學(xué)內容，有意編制教學(xué)案例，適度運用案例，有機結合其他教學(xué)方法，能收到相輔相成，互相取長(cháng)補短，相得益彰的教學(xué)效果。
結 束 語(yǔ)
函數的多種表征形式要求教師在從事教學(xué)活動(dòng)時(shí)采取多種教學(xué)方式，以促成學(xué)生對函數概念的多維度的理解。注重函數教學(xué)的過(guò)程性和建構性。函數就其概念而言，既表現為過(guò)程操作又表現為對象結構，而且函數的多種定義決定了對函數概念的理解應有層次性。同時(shí)函數的產(chǎn)生來(lái)源于其他科學(xué)，教學(xué)時(shí)將其鑲嵌于一定的知識背景中，使學(xué)生在現實(shí)生活中學(xué)函數。此外函數內容的豐富性，不僅具有豐富的數學(xué)內涵，還具有豐富的人文歷史，這就要求我們在教學(xué)時(shí)要注重科學(xué)性與人文性的平衡與融合。通過(guò)函數概念的教學(xué)，培養學(xué)生的學(xué)習情感、學(xué)習自信心與數學(xué)的應用意識，體現中學(xué)數學(xué)新課程標準的指導思想。此外通過(guò)案例創(chuàng )新，撰寫(xiě)有我國特色的函數教學(xué)案例將為我們的數學(xué)教學(xué)改革指明了前進(jìn)的方向。
但由于本人的理論水平、實(shí)際操作水平和時(shí)間有限，本課題的研究也存在一些不足之處：
（１） 調查實(shí)驗的對象涉及的范圍不夠廣，選取的樣本容量不大；
（２） 測試材料雖是經(jīng)過(guò)筆者的精心選擇，但是否完全科學(xué)可信還有證明；
（３） 函數內容的豐富性和復雜性，教學(xué)策略的研究也有待于實(shí)踐來(lái)證明。
（４） 由于本人的理論水平還不夠，教學(xué)案例的認知分析還不夠深刻。
此外，對于本課題還可以進(jìn)行以下幾方面的研究：
（1）基于新課程標準下的新教材中的函數教學(xué)內容做理論分析和實(shí)踐研究；
（2）如何將函數教學(xué)與現代信息技術(shù)進(jìn)行有效整合。
（3）函數內容的豐富性和學(xué)習的開(kāi)放性。
注 釋
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