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對函數概念學(xué)習的認知過(guò)程分析
對函數概念學(xué)習的認知過(guò)程分析
3.1影響學(xué)生函數概念學(xué)習的因素
3.1.1函數概念的形成經(jīng)歷了多次擴展,抽象程度很高,學(xué)生難以理解.
在第一章的敘述中，我們可以清楚地認識到函數概念從17世紀開(kāi)始，曾擴展多次，并且越來(lái)越抽象。函數這一概念的發(fā)展流程如下圖1：
圖1
現代認知心理學(xué)認為人們在頭腦中是以某種命題網(wǎng)絡(luò )的形式表征知識的，并且這些命題是按層次結構進(jìn)行存儲。一般來(lái)說(shuō)較為抽象概括的知識處于高層，而較為具體的內容處于低層。從下圖4.1中可以看出：
人們頭腦中有關(guān)動(dòng)物的知識是分層次存儲的，最高層是有關(guān)動(dòng)物及其共同的本質(zhì)特征，次一層是有關(guān)魚(yú)與鳥(niǎo)的本質(zhì)屬性，而最下一層是一些具體的動(dòng)物種類(lèi)的特征。這樣，使得人類(lèi)對知識的認識過(guò)程分為兩大類(lèi)：即由一般到特殊（從上到下）和由特殊到一般（從下到上）的認識過(guò)程。[21]函數概念的演變過(guò)程經(jīng)歷了“由特殊到一般”的弱抽象過(guò)程，這種弱抽象結果使函數這一概念的包性更強，更抽象，處于命題網(wǎng)絡(luò )的頂層。（如下圖所示） 所以學(xué)生學(xué)習起來(lái)必然感到困難。
3.1.2教材中函數概念的定義敘述語(yǔ)言嚴謹、深刻,學(xué)生難于理解概念的內涵與外延。
例如，初中數學(xué)教材中的定義，這個(gè)定義是用描述性語(yǔ)言給出的，此后學(xué)生學(xué)習一些簡(jiǎn)單的具體函數：正比例函數、反比例函數、二次函數等，并了解它們的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)公式、圖像、單調性等。教材編寫(xiě)者考慮了與初中生的認知水平相適應。盡管如此，學(xué)生學(xué)起來(lái)還是比較困難。主要原因在學(xué)習變量之前，學(xué)習大多是接觸常量。這就要求學(xué)生思維上一個(gè)臺階。由常量向變量的飛躍。首先學(xué)生難于理解變量的涵義，其次，x在某一范圍內的每一個(gè)確定的值……。都有唯一確定的值與它對應中的“毎一個(gè)”，“唯一確定”，“對應”等詞都難以理解。學(xué)生還難分清“誰(shuí)是誰(shuí)”的函數。函數定義本身也存在缺陷 “y既是x的函數”,同時(shí)y又是x的函數值 ,它們之間混淆了。又如高中教材中的函數定義，突出了“對應法則”是函數的核心，它嚴格區分了函數與函數值，但什么是“對應法則”定義中沒(méi)有明確是一個(gè)缺陷。如 ， 有相同的定義域和值域，它們有不同的運算，兩個(gè)對應 與g是否相同呢？此處兩個(gè)函數中的對應還可理解為同一個(gè)對應的不同表達形式，視為同一函數。[22]又如 ，既可以說(shuō)是同一個(gè)函數，又可以說(shuō)不是同一個(gè)函數，按其本質(zhì)來(lái)說(shuō)應是同一個(gè)函數。[23]從集合“笛卡爾積”出發(fā)來(lái)定義函數，得到函數的現代定義克服了上述缺陷，但不適合在高中引入，與學(xué)生的認知水平不符。此外高中教材中的定義是在集合與映射的基礎上定義的，映射本身也是一個(gè)抽象難懂的概念，如果學(xué)生沒(méi)有完全掌握，將會(huì )阻礙后續學(xué)習。例如在問(wèn)卷2和3的調查中關(guān)于判斷是不是一個(gè)函數一題，學(xué)生中就誤認為映射的思想就是函數的本質(zhì)。而沒(méi)有抓住函數的本質(zhì)是變量之間的相倚性。函數是用來(lái)描述客觀(guān)世界變化的重要數學(xué)模型。比方說(shuō)長(cháng)方體的體積（v）是由長(cháng)、寬、高三者決定的，那就說(shuō)明它們之間存在著(zhù)相倚性，但卻很難聯(lián)系到多個(gè)集合與一個(gè)集合之間的映射。雖然映射的思想不是函數的本質(zhì)，但卻能最深刻地刻畫(huà)函數的本質(zhì)。由此我們知道學(xué)生之所以出現調查中的情況關(guān)鍵在于沒(méi)有領(lǐng)會(huì )映射思想，沒(méi)有建立概念內部與概念之間的聯(lián)系，而僅僅記住其表現形式或語(yǔ)言表述。此時(shí)他所掌握的概念是孤立的，實(shí)際上并沒(méi)有正確理解概念，不能真正解決具體問(wèn)題。
３．１．３學(xué)生的經(jīng)驗
學(xué)生獲得概念的能力隨著(zhù)年齡的增長(cháng)，經(jīng)驗的增長(cháng)而發(fā)展，智力也是影響概念學(xué)習的重要因素之一。但研究表明，就智力與經(jīng)驗對概念學(xué)習的影響程度來(lái)看，經(jīng)驗的作用更大，豐富的經(jīng)驗背景是理解概念本質(zhì)的前提，否則將容易導致死記硬背概念的字面定義而不能領(lǐng)會(huì )概念的內涵。[24]這里的“經(jīng)驗”除包括學(xué)校學(xué)習的經(jīng)驗（包括數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，以及其它學(xué)科學(xué)習的經(jīng)驗）以外，還有來(lái)自日常生活而且日常生活經(jīng)驗在學(xué)習中發(fā)揮著(zhù)重要的作用。事實(shí)上，學(xué)生掌握的科學(xué)概念許多都是從日常概念發(fā)展而來(lái)的。如初中生在學(xué)習函數概念，必須準確掌握“變量”、“對應”和“運動(dòng)”的涵義，（而這幾個(gè)概念都可從日常生活經(jīng)驗中掌握）否則便不能真正獲得“函數”這個(gè)概念。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生生活經(jīng)驗越豐富，他們的已有知識越準確牢固，已有技能越熟練，掌握新概念就越有利，同時(shí)也可以看出學(xué)生形成概念之所以遇到困難，也與學(xué)生所把過(guò)去經(jīng)驗不恰當地遷移到新情境有關(guān)。[25]
3.1.4學(xué)生的認知策略
認知策略，即學(xué)生面對新概念學(xué)習所采取對策，包括注意、記憶和思維方式的選擇與修正等，也能對獲得概念產(chǎn)生重要影響[25]。在函數概念學(xué)習之前，基本上是常量數學(xué)，所學(xué)的數學(xué)概念屬于形式邏輯的范疇。函數研究變量，變量的本質(zhì)是辯證法在教學(xué)中的應用，即函數是一個(gè)辯證概念。學(xué)習時(shí)學(xué)生的思維發(fā)展水平要從具體形象思維過(guò)渡到抽象邏輯思維。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生漸漸地脫離對感性經(jīng)驗的依賴(lài)，由經(jīng)驗型抽象思維逐步上升為理論型抽象思維。初中生以形式邏輯思維為主，高中生在繼續完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展漸漸占主流。高中生的辯證思維基本上還處于形成與發(fā)展的早期階段。而函數概念的學(xué)習要求學(xué)生思維能夠進(jìn)行靜止與運動(dòng),離散與連續的相互轉化。這給學(xué)生形成了認知上的障礙。學(xué)生學(xué)習函數定義對函數的三要素（定義域、值域、對應法則）的掌握，和符號“ ”（對應法則）表示的意義學(xué)生最難理解。因為具有“隱蔽性”，它的具體內容很難從符號上來(lái)想象，即使所表示的對應法則是確定的，學(xué)生也缺乏足夠的為符號建立起具體內容的經(jīng)驗基礎。這樣一方面是學(xué)生的辯證思維發(fā)展還處于很不成熟的時(shí)期，思維水平基本上停留在形式邏輯思維范疇，只能局部地、靜止地、分割地、抽象地認識所學(xué)事物。另一方面函數概念是一個(gè)辯證概念，其特征是發(fā)展的、變化的處于其他概念相互聯(lián)系之中。形成函數概念必須沖破形式邏輯思維的局限，進(jìn)入辯證思維領(lǐng)域，這個(gè)矛盾構成了函數概念學(xué)習的認知障礙。
3．1．5學(xué)生情感
學(xué)習函數概念和學(xué)習其它知識一樣，甚至需要學(xué)習者有更強烈的學(xué)習需要，由于函數概念涉及到許多子概念，如“變量、常量、對應、唯一確定”等。另外函數概念的表述是一個(gè)相當繁雜和高度抽象概括的形式，，學(xué)習起來(lái)容易使人感到茫然，這就需要學(xué)習者有積極的學(xué)習態(tài)度和堅強的學(xué)習意志。由此可見(jiàn)，學(xué)生對函數知識持的情感會(huì )影響他學(xué)習函數概念的效果。
此外，學(xué)生的智力水平，語(yǔ)言表達能力、概括能力等對函數概念的學(xué)習都有不同程度的影響，本文不作一一探討。
3.2函數學(xué)習的認知發(fā)展
數學(xué)本身是一門(mén)抽象性很強的學(xué)科,而函數概念又是這門(mén)學(xué)科中諸多概念中抽象性比較強的一個(gè)概念.正因為如此,大量的教育教學(xué)與調查表明函數概念是學(xué)生數學(xué)學(xué)習中最困難的概念之一.筆者在上一節中已經(jīng)詳細分析了影響學(xué)生函數學(xué)習的諸多因素.通過(guò)第二章第一部分函數教學(xué)案例及簡(jiǎn)要分析得知：就中國的函數教學(xué)而言,一般用兩種方式引入函數概念教學(xué),在初中用變量定義的方式,在高中用映射、對應的定義方式。最新版的教材直接用對應的方式定義函數。這種安排在一定的程度上遵循了函數概念的歷史發(fā)展本來(lái)的順序，也符合人們對于函數認知過(guò)程上的發(fā)展性、階段性。為了比較分析，筆者利用上一章提到的問(wèn)卷２對高二、高三學(xué)生共計２００人作了抽樣調查；利用問(wèn)卷３對非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的大四學(xué)生和數學(xué)專(zhuān)業(yè)的大四學(xué)生和部分數學(xué)教師共計２００人做了調查，通過(guò)調查發(fā)現學(xué)生形成函數概念以及理解函數的認知水平普遍偏低，對函數概念的掌握與預期的教學(xué)目標大相徑庭。
３．２．１函數定義及其表象
函數定義方式很多，在第一章第一節中列舉了一部分，因而學(xué)生對于函數概念的學(xué)習，常會(huì )遇到多個(gè)表象。如圖像、列表格形式、解析式、箭頭實(shí)例等。對于同一函數概念的多個(gè)表象在同一水平上被使用，這些表象使學(xué)生清楚潛在概念，因而影響概念的抽象過(guò)程，在問(wèn)卷２和問(wèn)卷３的調查中發(fā)現，學(xué)生只記得函數的某些表象，而對函數定義的本質(zhì)沒(méi)能很好地掌握。但同時(shí)我們也清楚地認識到在概念學(xué)習中表象比定義本身起著(zhù)更重要的作用。
通過(guò)調查發(fā)現，學(xué)生頭腦中函數概念的發(fā)展大致經(jīng)歷作為“算式”的函數，作為“變化過(guò)程”的函數，作為“對應關(guān)系”的函數。低年級的學(xué)生頭腦中“算式”的函數表征占多數。這一類(lèi)學(xué)生還沒(méi)有真正利用函數的概念定義來(lái)解決與函數有關(guān)的問(wèn)題，僅僅將知識停留在所學(xué)過(guò)的方程、不等式的代數式上。比如在問(wèn)卷１的第４題，要求學(xué)生判斷是否為一種函數關(guān)系。有部分學(xué)生認為它既不是一次函數，也不是二次函數，有另一部分人認為沒(méi)有學(xué)過(guò)。對于這個(gè)過(guò)程，很多學(xué)生只停留在表象的認知上——函數的解析式，不會(huì )利用數學(xué)形結合的思想解題。又如問(wèn)卷２中第２題，求二次函數的最大值和最小值。學(xué)生中有一部分是這樣解題的，當 時(shí)， ；當 時(shí)， 故 ，和 ，這個(gè)問(wèn)題可以看出他們僅僅將函數看成是多項式且區間知識不牢，表示混亂，這種情況同樣是他們沒(méi)有吃透“數形結合”的函數思想，以致這種混亂思想會(huì )困擾學(xué)生做其它與函數有關(guān)的問(wèn)題，如求函數的值域問(wèn)題。學(xué)生在初學(xué)階段解題往往把函數圖像與函數的解析式孤立對待，難以把圖像的特點(diǎn)與解析式所反映出來(lái)的性質(zhì)結合起來(lái)。隨著(zhù)學(xué)生閱歷的增加，學(xué)生的認知水平不斷上升。持“變化過(guò)程”的函數這一表象的這一類(lèi)學(xué)生，對問(wèn)卷２和問(wèn)卷３的第１道題的回答中，有：函數是有定義域、值域和解析式的整體；函數反映的是因變量隨著(zhù)自變量變化而變化的式子。此類(lèi)學(xué)生比前類(lèi)學(xué)生自身的認識能力即抽象能力明顯高，但還是不能對函數概念做出正確的解析，忽略了函數定義中的關(guān)鍵之處，任意一個(gè)自變量 對應唯一一個(gè)因變量 。隨著(zhù)知識的加深以及練習難度的加深。學(xué)生掌握函數也在深入。例如調查問(wèn)卷２中第２題中的第二類(lèi)解法的學(xué)生，將函數 配方后得 且 ，故當 時(shí)， 取最小值 ，當 時(shí)， 取最大值 。以及第三類(lèi)解法的學(xué)生畫(huà)出函數圖像，利用圖形求出最值 和 的解法都正確，但是比較起來(lái)兩類(lèi)學(xué)生有較大的區別。后一類(lèi)學(xué)生能活用函數圖像的功能，前一類(lèi)學(xué)生并沒(méi)有真正將數與形結合起來(lái)。已形成了作為“對應關(guān)系”的函數的學(xué)生對新知識的領(lǐng)悟能力較強，能正確地描述函數的定義。由此學(xué)生對函數概念的認知發(fā)展并不是每一個(gè)學(xué)生都能完成的。個(gè)人對概念的理解與其所具有的理解力有密切聯(lián)系。人的能力因人而異并不完全相同，對函數概念的理解也不盡相同。
３．２．２學(xué)生對函數認知發(fā)展的階段性。
初中、高中、大學(xué)課程里對函數的不同定義，以及學(xué)習者自身數學(xué)背景的變化使得不同年齡段的學(xué)生對函數的理解出現了較大的差異。如初三學(xué)生的調查中發(fā)現，學(xué)生在理解函數的過(guò)程中，首先把這一概念與自己已有的知識相聯(lián)系。如二次函數的表達式的書(shū)寫(xiě)形式“ ”與一般的表達式的書(shū)寫(xiě)形式類(lèi)似，學(xué)生容易把函數與代學(xué)式混淆，并在解題中相互替代從而導致錯誤。另外初次接觸變量，對變量的理解不透徹。如問(wèn)卷１的第２題，兩個(gè)學(xué)校都有超過(guò)半數以上的學(xué)生重新解了“新方程”。大學(xué)生與高中生的比較中發(fā)現，大學(xué)生在學(xué)習了多值函數定義后，有些學(xué)生會(huì )與中學(xué)學(xué)習的函數概念產(chǎn)生混淆。有學(xué)者曾指出，當學(xué)生第一次面對某一個(gè)數學(xué)定義時(shí)，他們將幾乎不可避免地只遇到一個(gè)極其有限的可能范圍，這就會(huì )使他們的概念表象帶上某些特定的痕跡，這會(huì )導致后來(lái)對概念的認知發(fā)展學(xué)習中產(chǎn)生沖突。在函數學(xué)習中，學(xué)生在初中接觸的函數概念與在高中學(xué)習的函數概念以及大學(xué)遇到的多值函數概念是有明顯的差異的。這就使得他們在進(jìn)一步理解函數的過(guò)程中產(chǎn)生沖突。筆者給數學(xué)專(zhuān)業(yè)的老師和數學(xué)專(zhuān)業(yè)的大四學(xué)生和非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的本科生做了相同的問(wèn)卷３。在這里給出他們對相同題目回答的正確率的對比表。
正確率
題目
非數學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生
數學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生
數學(xué)專(zhuān)業(yè)老師
９２.８％ ６０％ ９７％
８０％ ８５％ ９４％
８０％ ８５％ ９４％
小明小華小黃的對應身高 ７０％ ７５％ ９５％
從表中可以看出有些問(wèn)題數學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生還不如非數學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生。
３．２．３對內潛于現實(shí)中的函數關(guān)系的感知。
幾個(gè)年級的學(xué)生都對給出解析式的函數關(guān)系較為熟悉，而對于函數關(guān)系不很明顯或以一個(gè)較為熟悉的生活現象出現時(shí)，學(xué)生對做出的答案顯得明顯不夠自信。而讓學(xué)生自己舉出一些生活中接觸到的函數時(shí)，學(xué)生覺(jué)得更困難了。舉出來(lái)的例子大都是平時(shí)教科書(shū)或習題中出現得比較多的與生活有聯(lián)系的問(wèn)題。這說(shuō)明學(xué)生對于內潛于現實(shí)生活中的函數現象不敏感。不善于將生活問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題。分析其中的原因，可能之處在于以往的學(xué)校函數教學(xué)中，雖然讓學(xué)生明確了函數的形式化定義。但給學(xué)生提供的函數例子多為以解析形式給出，從已有的函數關(guān)系出發(fā)，去加以研究，學(xué)生較小經(jīng)歷或沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)在已有實(shí)驗數據的基礎上，自己總結出來(lái)的函數關(guān)系的過(guò)程。因此這樣的函數教育都是在沒(méi)有背景下學(xué)習函數，很少把函數知識一開(kāi)始就鑲嵌于生活現象中，這樣的教育已不適應當今數學(xué)教育改革的潮流了。正如丁爾升教授所提出的：各年齡段的學(xué)生都必須經(jīng)常探索學(xué)校數學(xué)中學(xué)到的比較原始的模式與紊亂的現實(shí)世界實(shí)際資料數學(xué)據間的關(guān)系，現實(shí)數據比編造的更可信。
３．２．４專(zhuān)家——新手對函數問(wèn)題解答的對比分析。
隨著(zhù)學(xué)習的發(fā)生和勝任能力的獲得，人的知識和各個(gè)部分將會(huì )日益相聯(lián)系起來(lái)。專(zhuān)家對記憶中的這些信息作了因果順序的組塊處理，由此將問(wèn)題情境中的目標與子目標相互聯(lián)系起來(lái)，這樣便能在下一步的行動(dòng)中提供反饋。[25]專(zhuān)家型的個(gè)體遇到問(wèn)題時(shí)便能提取一些具有內在條理性的信息組塊，而不是一些支離破碎的信息。在不同的學(xué)科領(lǐng)域里，新手型個(gè)體（或初學(xué)者）的知識前后不聯(lián)貫,頭腦中只是一些孤立的定義和對核心術(shù)語(yǔ)及概念的膚淺理解。具體到面對有關(guān)函數這一知識問(wèn)題來(lái)說(shuō)，專(zhuān)家型個(gè)體馬上就可提取出函數是一種特殊的對應關(guān)系，特殊在任一自變量都對應而且只對應唯一的因變量。因而在判斷問(wèn)卷３中的第３題和第４題時(shí)，專(zhuān)家型個(gè)體能迅速抓住“任一個(gè)“ ”只有在都對應唯一個(gè)“ ””的情況下，才是函數。問(wèn)題就變得非常容易了。而對于新手型個(gè)體，頭腦中的知識結構模糊，有些同學(xué)只記得定義中有“ ”，因而誤認為“ ”不是函數，因為根本就沒(méi)有“ ”的出現，同樣對判斷是否存在函數與圖像對應時(shí)，也是瞎猜。有些人頭腦中有一些錯誤的函數定義的表征，因為函數的表示法中有圖像法，錯誤地認為凡是圖像都有相應的函數與之對應。故專(zhuān)家型個(gè)體的正確率明顯高于新手型個(gè)體。在平時(shí)的教學(xué)中我們應該注意促使學(xué)生頭腦中的知識具有條理性和相互聯(lián)系并成為易于提取的較大的知識組塊，便于在解題時(shí)迅速提取。
對問(wèn)題的一定的表征形式總是同人是否能夠發(fā)現任務(wù)中的蛛絲馬跡，或執行一系列的解題步驟相關(guān)聯(lián)。通過(guò)對比分析充分認識到專(zhuān)家型個(gè)體在接觸到問(wèn)題或任務(wù)時(shí)則能作出推論，并能鑒別出能統率這些表面結構的一些原理。而新手型個(gè)體只依照問(wèn)題或任務(wù)中的一些表面特征在進(jìn)行運作。如在問(wèn)卷３的第６題的調查結果發(fā)現，相當于新手型的高中生很難選全，其實(shí)問(wèn)題并不難，只要抓住了切入點(diǎn)。新手型個(gè)體容易被問(wèn)題中一些假象所迷糊，甚至有人定勢地認為題中給出的圖像就是螞蟻行走的折線(xiàn)圖,沒(méi)有完全弄清題意，仔細思考。
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