- 相關(guān)推薦
函數概念教學(xué)的現狀分析
函數概念教學(xué)的現狀分析
2.1教學(xué)案例及簡(jiǎn)要分析
課例1.函數的概念學(xué)習（初中）
授課地點(diǎn):湖南省漣源巿某中學(xué)初三(2)班。
教學(xué)目標:1.了解常量變量、自變量和函數的意義,并能分清實(shí)例中出現的常量與變量、自變量與函數；
2.會(huì )發(fā)現和提出函數的實(shí)例,能寫(xiě)出一些簡(jiǎn)單函數的解析式。
教學(xué)過(guò)程:
（一）常量與變量概念
1.引入
例1.一輛汽車(chē)以30千米/小時(shí)的速度行駛,行駛的路程s(千米)與行駛的時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系怎樣呢?(列出關(guān)系式s=30t)其中哪些量的數值可以保持不變,哪些量可以取不同的值?
2.練習
長(cháng)方形的面積 ,若 ,則 、 是____量, 是____量；
若 ,則 、 是____量, 是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____量。
（二）函數
1．創(chuàng )設情境引入概念
例1． ；
例2．反映一天氣溫隨時(shí)間變化的氣溫圖。（在教科書(shū)的P72）。
a.抽象概括形成概念
通過(guò)對二個(gè)實(shí)例的分析得出在變化過(guò)程中兩個(gè)變量的對應關(guān)系，引入函數的定義。
b.深入分析理解概念
分析定義中的關(guān)鍵詞：變化過(guò)程，兩個(gè)變量，唯一和對應。
c.討論練習鞏固概念
例3：圓的面積S（ ）與它的半徑R（ ）之間的關(guān)系 ，判斷S和R是不是函數關(guān)系？如果是函數，那么指出式中的自變量與函數。
例4：用總長(cháng)60米的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，求矩形面積S( )與一邊長(cháng) 之間的關(guān)系式，并指出式中的常量與變量、自變量與函數。練習：（略）
簡(jiǎn)要分析: 函數概念比較抽象，學(xué)生不容易理解，這是教學(xué)的難點(diǎn)。教師在設計時(shí)注意到遵循學(xué)生認識事物的規律，從感性到理性，從具體到抽象。首先創(chuàng )設情境，從實(shí)例引入概念。然后通過(guò)二個(gè)實(shí)例的比較，抽象概括得出函數的概念。再進(jìn)一步深入分析函數的定義，讓學(xué)生理解函數的概念，最后通過(guò)反復練習，鞏固函數的概念。從學(xué)生學(xué)習心理角度分析，學(xué)生主要經(jīng)歷了一個(gè)概念的形成的過(guò)程，即從具體事例或具體概念中抽象出了上位概念的一些關(guān)鍵特征，如變量是可以任意賦值的，以及可以不斷變化數值的量，而常量則是無(wú)法變化數值的量，整個(gè)的心理過(guò)程是分化、抽象、概括。不足之處在于教師的觀(guān)念沒(méi)有革新，先入為主。教師有意識創(chuàng )設了問(wèn)題情境引入概念，但創(chuàng )設的情境不能從內心引起同學(xué)的興趣。通過(guò)二個(gè)實(shí)例的分析函數內涵的整個(gè)過(guò)程，教師都在替學(xué)生思考，學(xué)生自己沒(méi)有經(jīng)歷一個(gè)“做”的過(guò)程，全堂課學(xué)生主動(dòng)建構過(guò)程太少，沒(méi)有變式訓練，全都是同一個(gè)類(lèi)型的例題練習。此外在初中學(xué)習階段除了學(xué)習連續函數以外，也接觸到了一些離散函數。然而課例都是連續函數，沒(méi)有為后續高中學(xué)習離散的函數做充分準備，沒(méi)有一個(gè)以函數為軸線(xiàn)的整體教學(xué)設計。
課例2：函數的定義（高中）
授課時(shí)間:2004年11月1日
授課地點(diǎn):湖南省婁底市某中學(xué)高一某班
教學(xué)過(guò)程:（一）啟發(fā)引入階段
師(老師):我們在初中已經(jīng)學(xué)習了函數概念,請同學(xué)們回憶。
生(學(xué)生):回憶不起來(lái),保持沉默。
師:我們腦海里應有印象,只是敘述不清。我們并且知道函數概念比較抽象,有兩個(gè)變量。盡管函數抽象難懂,但卻是一個(gè)非常重要的概念,貫穿了高中數學(xué)學(xué)習以及大學(xué)數學(xué)學(xué)習。我們不得不重視函數概念的學(xué)習。
師、生:共同回顧了初中的函數定義。
師：我們在初中已經(jīng)學(xué)習了函數定義，并且學(xué)習了正比例函數，反比例函數、一次函數、二次函數等具體的函數，那么為什么今天我們還要繼續討論函數呢？請同學(xué)們看下面兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)?wèn)題1： 是函數嗎？
問(wèn)題2： 與 是同一個(gè)函數嗎？
生：一副困惑的表情。
師：顯然，僅用我們初中學(xué)習過(guò)的知識是很難解決這兩個(gè)問(wèn)題的，因此我們需要從新的高度來(lái)認識函數概念。
（二）傳授新課階段
師：下面我們看非空數集 、 的元素之間的一些對應關(guān)系，（ 、 為有限集）
師：觀(guān)察集合A、B有什么對應關(guān)系？
師、生（共同討論得出）：
1． 對于集合A中的任意一個(gè)數，集合B中都有唯一的實(shí)數與之對應；
2．集合A到集合B的對應法則： 分別為“ 乘2”、“求平方”、“求倒數”；
3．對應的形式“一對一”、“多對一”。
師：從上可以看到，函數實(shí)際上就是從自變量 的集合到函數值 的集合的一種對應關(guān)系。
師生：與初中函數定義比較歸納得出函數定義2。
（板書(shū)）設A,B是非空的數集，若按某個(gè)確定的對應關(guān)系 ，使得對集合A中的任意一個(gè)數x，在集合 B中都有唯一確定數 和它對應，那么稱(chēng) ：A B為從集合A 到集合B的一個(gè)函數 ，其中A的取值范圍稱(chēng)函數的定義域； 稱(chēng)函數的值域。
師：進(jìn)一步分析這個(gè)概念，定義中蘊含三個(gè)重要的因素：
1． 對應法則，又可理解為操作方法，使A B產(chǎn)生關(guān)系；
2． 定義域， 能夠取值的一切值，（強調具體問(wèn)題中要以實(shí)際背景為準）；
3． 值域，與 的值相對應的值的范圍。
師生共同討論了：一次函數： 的定義域為R，值域為R，對應法則： 的 倍的值與 的和；
反比例函數： 的定義域為 ，值域為 ，對應法則 ： 的倒數的 倍；
二次函數： 的定義域為R，值域得分情況討論：
當 時(shí)，值域為 ；當 時(shí)，值域為 。
對應法則： 的平方的 倍與 的 倍與 的和。
師：注對應法則不一定都能寫(xiě)出，可通過(guò)其它方式表述如圖像、表格等。
師：用集合與對應的語(yǔ)言敘述函數概念后，就容易回答開(kāi)始留下的問(wèn)題了，下面請同學(xué)回答。
生1：是函數， 因為對于實(shí)數集R中的任何一個(gè)數 ，按對應法則“函數值總是1”，在R中 都有唯一確定的值與它對應，所以 是 的函數。
生2： 與 不是同一個(gè)函數，因為盡管它們對應法則一樣，但 的定義域是R，而 的定義域為
師：回答得很好！
師：為了更好鞏固定義，通過(guò)下面例題進(jìn)行進(jìn)一步的研究。
例1:求下列函數的定義域。
(1) ； (2) ； (3) 。
解：（1）要使函數有意義， ，即 ，函數的定義域 。
（2）要使 有意義， 0，即 ，故定義域為 。
（3）要使函數有意義， 要同時(shí)滿(mǎn)足，得定義域為 。
簡(jiǎn)要分析：教師在設計時(shí)，緊扣教材，并注意前后知識的聯(lián)系，課前設置疑問(wèn)，留下了兩個(gè)懸而未解的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習的興趣。提到了函數概念的重要性，以引起同學(xué)的重視。通過(guò)三個(gè)實(shí)例的對應關(guān)系，引出了用集合與對應語(yǔ)言描述的函數定義，并細致分析了函數定義中蘊含三個(gè)重要因素（對應法則、定義域、值域）。整個(gè)課例是比較典型的講授式課例。不足之處教師對于學(xué)生不記得初中函數定義完全可以通過(guò)幾個(gè)熟悉的具體例子幫助學(xué)生回憶，再一起總結得出，這樣可讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)對函數有一個(gè)重新認識的過(guò)程。此外教師在對于為什么要繼續學(xué)習函數可從多角度來(lái)分析，如函數的重要性，人文歷史，來(lái)激起學(xué)生內在情感的學(xué)習需求。練習鞏固應盡可能取些結合學(xué)生實(shí)際生活中的函數例子，讓學(xué)生感受到數學(xué)無(wú)處不在，無(wú)處不用來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習激情！
課例3：函數概念學(xué)習（高中）
講授時(shí)間：2004年11月4日
授課地點(diǎn)：湖南婁底市某中學(xué)高一某班
教學(xué)過(guò)程：
復習：求下列函數的定義域：
1、 ； 2、 ； 3、 ；
4、 ; 5、 。
解：1）要使函數有意義，必須滿(mǎn)足 ，即函數的定義域為 。
2）要使函數有意義 ，必須滿(mǎn)足 ，即函數的定義域為 。
3）要使函數有意義 ，必須同時(shí)滿(mǎn)足 ，解得其定義域為 。
4）要使函數有意義 ，必須同時(shí)滿(mǎn)足 ，解得其定義域為 。
5）要使函數有意義 ，必須同時(shí)滿(mǎn)足 ，解得其定義域為
例1、已知 的定義域為R，求 的范圍。
分析：這里 要分情況討論，
當 時(shí)，原函數變?yōu)椋?，此時(shí)符合題意。
當 時(shí)，原函數要有意義，必須滿(mǎn)足 ，此時(shí)又得分情況討論，當 時(shí)，要使得 ，必須有 ，此時(shí) 無(wú)解。 當 時(shí)，要使得 ，必須有 ，此時(shí) 符合題意。綜上可得原函數的定義域為[0，12]。
例2、已知函數 ，求 的值。
解： ；
； ；
。
例3、已知函數 ，求 的值。
解： ； ；
； 。
例4、已知 求 。
解： ；
。
例5已知 ，求 的值。
解：設函數 ，就可觀(guān)察得： ；
同樣可得： 。（1）
拓展：能否求出 和 的值呢？
同學(xué)想想，我們可以知道：
，（2）
故可用（1）+（2）得 ，
所以 = ；同理，可得 = 。
例6、已知 是常數，又 求 的值。
分析：根據已知可列出以下方程： ，四個(gè)知數三個(gè)方程？顯然求不出來(lái)。另想其它辦法：
構造一個(gè)輔助函數，
依題意得， ； （1）
（2）；（1）+（2）得 。
布置作業(yè)，P51，4，5，P52，6。
簡(jiǎn)要分析：本節課是函數定義學(xué)習的后續課，老師設計這堂課時(shí)花了不少心血，匯集了許多經(jīng)典高考題。先復習了定義域的求法，講授了求函數值的方法，最后講授了函數的應用。應用函數巧妙地解了兩道高考題。給我的感覺(jué)講授的內容比較多。課后詢(xún)問(wèn)學(xué)生，老師講了這么多題，能接受嗎？學(xué)生回答：“當然不能，不過(guò)先做筆記，課后再看。”教學(xué)設計顯然超出了學(xué)生的認知水平，盡管經(jīng)過(guò)長(cháng)期的訓練，牢記解題技巧，在高考中也許能考個(gè)好成績(jì)，但學(xué)生的情感、學(xué)生的創(chuàng )新能力培養了嗎？值得我們深思！像這類(lèi)教師可能還沉醉在自己 “豐富的經(jīng)驗”的光環(huán)下，不能自拔。這樣可以比較少的代價(jià)的重復勞動(dòng)完成所學(xué)的教學(xué)課時(shí)數。陷入了傳統題海中不能自拔是當前數學(xué)問(wèn)題教學(xué)中的最大危險！正如Fredenthal所說(shuō)的，數學(xué)教育的核心是學(xué)生的再創(chuàng )造，教師不應該把數學(xué)當作一個(gè)已經(jīng)完成了的形式理論來(lái)教，不應該將各種定義、規則、算法灌輸給學(xué)生，而是應創(chuàng )造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習數學(xué)的過(guò)程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng )造數學(xué)知識。
課例4：函數的定義（應用了多媒體教學(xué)）
授課地點(diǎn)：湖南郴洲臨武某中學(xué)高一某班
說(shuō)明一點(diǎn)：以上是課件的全部?jì)热�。本節可以說(shuō)是多媒體課件給合常規黑板的教學(xué),屏幕在左邊,沒(méi)有完全擋住黑板。在右邊有一大半空地方是老師講解用的。所以課件中沒(méi)有例題的解答。
簡(jiǎn)要分析：課件做得很簡(jiǎn)單，沒(méi)有動(dòng)畫(huà)，沒(méi)有任何背景。學(xué)生反映還好懂。只是留給學(xué)生自己動(dòng)手練習的時(shí)間不夠。在后來(lái)求值域和定義域的練習都很匆忙。我個(gè)人認為內容偏多，沒(méi)有很好的脫離教材原有的模式。相對于基礎中等以下的學(xué)生接受還有點(diǎn)困難，而對成績(jì)好的學(xué)生是自學(xué)也能懂的，只要老師對“函數第二定義”加以升華就可以了。課后和老師聊聊天，問(wèn)及他們的課件設計怎么沒(méi)有什么花樣，他給我的回答是，在他們這多媒體教學(xué)已成了常規教學(xué)。講求實(shí)在一點(diǎn)，想想也只用于節約了板書(shū)的時(shí)間，便于一些課外資料的補充。當然平時(shí)也方便給學(xué)生播放一些教學(xué)資料片，沒(méi)有其它作用。故函數概念教學(xué)與信息技術(shù)的整合也是值得我們探討的課題。沒(méi)有充分利用多媒體，滿(mǎn)足學(xué)生不同的需求。我們應充分利用計算機輔助教學(xué)，將現代科學(xué)技術(shù)成果作為手段在教學(xué)領(lǐng)域里運用。讓學(xué)生觀(guān)察、理解，探索研究，發(fā)現問(wèn)題的規律。給學(xué)生一個(gè)主動(dòng)建構的過(guò)程，和一個(gè)思維的空間，讓學(xué)生參與包括發(fā)現、探索在內的獲得知識的全過(guò)程。充分利用網(wǎng)絡(luò )構建一個(gè)智慧共享的平臺。將學(xué)習空間拓展到“地球村”，幫助學(xué)生尋找自已合適的學(xué)習伙伴。
２．２學(xué)生掌握函數概念的情況分析
筆者分別對初中、高中、大學(xué)的部分學(xué)生和相應的一些老師做了如下的幾個(gè)調查，從中了解到學(xué)生對函數概念的認知水平的大體情況。由于各個(gè)調查中所選取的樣本容量較小，可能不能全面真實(shí)的反映情況，但是能反映部分情況，以供科學(xué)研究分析。
調查１：（問(wèn)卷１見(jiàn)附件一）
調查對象：湖南漣源巿斗立山鎮第二中學(xué)初三某班和婁底市三中初三某班，抽取樣本120人。
調查的目的：了解初三學(xué)生對函數概念的認識水平。（在學(xué)生學(xué)習完了第十三章函數及其圖像后進(jìn)行了此次測試。）
調查結果統計表明：對一個(gè)現實(shí)背景下的函數關(guān)系，初次接觸函數的學(xué)生理解兩個(gè)量之間的關(guān)系有些困難。這主要體現在問(wèn)卷的第１道題，兩個(gè)學(xué)校分別有21%和19%的學(xué)生搞不清余油量與行駛時(shí)間，誰(shuí)為自變量，誰(shuí)為因變量。第２道題解方程考察學(xué)生對變量的理解。令人吃驚的兩個(gè)學(xué)校分別有７２％和６９％的學(xué)生重新解了“新”方程。Ｗagner(1981)在<<Advanced Mathematics Thinking>>一書(shū)中談到對變量的理解:一部分學(xué)生接受,認為數保持相同時(shí),字母變化不會(huì )對數造成影響；另一部分學(xué)生把改變變量字母的問(wèn)題看作一個(gè)新問(wèn)題，并不發(fā)生學(xué)習上的遷移。因此調查的結果表明沒(méi)有發(fā)生學(xué)習遷移的學(xué)生比例偏高。第３道考察學(xué)生數形結合的能力，兩個(gè)學(xué)校分別有７５％和６５％的學(xué)生把它作為類(lèi)似于多項式求值問(wèn)題，求出兩個(gè)端點(diǎn)的函數值，有些學(xué)生還寫(xiě)出了一些可笑的答案，如：“ ”，不能很好地結合圖像來(lái)解答。第４道題考查學(xué)生用所學(xué)知識判斷函數圖像的能力。學(xué)生對此題中沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的函數圖像不會(huì )用正確的方法判斷。在學(xué)生對函數圖像的概念表象中，他們認為函數圖像要么是直的一條線(xiàn)，要么是彎得像碗一樣。而給出解析式去判斷是否為函數的正確率要高。對第５道題，考查學(xué)生利用函數知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力。對此題大部分學(xué)生受以往“唯一標準答案的影響”，胡亂的猜測一種就交差了。學(xué)生對從實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題和建構數學(xué)模型的能力相當欠缺。同時(shí)深刻地反映出我國傳統教育的弊端：從小到大，太習慣于尋找一個(gè)標準答案了，不用說(shuō)數學(xué)、物理、化學(xué)，就是語(yǔ)文填空，都只有一個(gè)標準答案，慢慢地我們的學(xué)生的思維就被統一了，被限制在同一種固定的模式里。讓人頓悟為什么我們的產(chǎn)品缺乏核心競爭力？沒(méi)有差異的教育模式怎么能教育出有差異的人才？沒(méi)有差異的人才怎么能設計制造出有差異的產(chǎn)品？確實(shí)如此，在一個(gè)固定的教學(xué)模式中，在所有思維指向“標準答案唯一”的框框內，學(xué)生是不會(huì )產(chǎn)生出創(chuàng )新意識的，也不會(huì )有創(chuàng )新能力的，我們的一些陳舊的教育觀(guān)念已經(jīng)到了不得不改的地步。筆者提倡有不同層次答案的非終結性問(wèn)題是突破口之一。在我們的數學(xué)思考中必須有非程式、非算法、非形式化的成分，只有把“雙基”與其相結合，才能培養出充滿(mǎn)生機與活力的智者。
調查２：（問(wèn)卷２見(jiàn)附件二）
調查對象：婁底三中高一某兩個(gè)班部分學(xué)生共抽取樣本100人，(兩個(gè)班分別隨機抽取樣本50人)
調查目的：了解高一學(xué)生對函數的理解情況與認知水平。（此次調查是學(xué)生學(xué)習完“函數的單調性”后進(jìn)行的。）
調查結果：在問(wèn)卷２中第１題是考察學(xué)生對函數定義的理解程度，要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言寫(xiě)出函數的定義，調查結果并不令人滿(mǎn)意。大部分同學(xué)是記得書(shū)上原定義的部分內容。而沒(méi)有完全理解好函數的本質(zhì)。例如：有人寫(xiě)的是“兩個(gè)量的關(guān)系表達式，應用很廣的東西。” “用 表示 的一個(gè)等式”。這些只知道函數的外在表現形式，其它大部分同學(xué)是將初中和高中的函數定義的一部分內容寫(xiě)在答卷上。問(wèn)卷中的第２道是考察學(xué)生數形結合的能力，盡管學(xué)生在學(xué)習了“函數的單調性”這一部分內容時(shí)接觸的函數主要是以圖像表示，學(xué)生利用圖像作為表象的能力應有明顯的進(jìn)步，但對于處理函數最值這類(lèi)問(wèn)題仍習慣于函數的解析式。例如在此題中，學(xué)生中大致有３類(lèi)典型的解法。
解法１：因為 ，所以 即 ，即可求出最值分別為１３和１５。
解法２： 且 ， ，當 或６時(shí)， 取最大值， 。
解法３：畫(huà)出 的圖像，由圖形求出最值。
而問(wèn)卷２中的第３題是考察學(xué)生對變量的理解，75％的學(xué)生回答正確，有２０％的學(xué)生答案為［０，１］。其中部分學(xué)生是因為聯(lián)不等式“ ”解錯了，剩下的同學(xué)是沒(méi)有完全理解定義域的本質(zhì)。第４題考察學(xué)生對函數定義的理解，第（１）（２）小題給出了具體的表達式，學(xué)生判斷的正確率高，而對第（３）小題學(xué)生雖然對分段函數有了初步認識，而此題特殊在定義域沒(méi)有明確給出，有２５％的學(xué)生回答錯誤，而對于第（４）小題，３５％的學(xué)生回答錯誤，表明學(xué)生對生活中函數現象不太敏感。第５題是作的順便調查，關(guān)于學(xué)生對數學(xué)史知識是否重視和掌握。只有少部分學(xué)生注意了書(shū)上旁邊的注解，能夠回憶起來(lái)。答卷中有人這樣寫(xiě)道：“這東西誰(shuí)關(guān)心，不知道。”這從一方面也反映我們的老師沒(méi)有引起足夠重視。第６題全班只有一個(gè)人是作出函數圖像來(lái)解題的。這說(shuō)明學(xué)生習慣于代數式的求解，數形結合的能力有待加強。像這樣一道題只要做出了如下圖像A4.1，問(wèn)題都迎刃而解。第７題是一道不定項選擇題，有一定難度，學(xué)生中答對的不多，說(shuō)明學(xué)生思考問(wèn)題還不周全。第８題是要求學(xué)生寫(xiě)出生活中的一些函數現象。大致寫(xiě)出了：銀行利率與時(shí)間，水電費與用水量，電話(huà)費與打電話(huà)的多少，上網(wǎng)費與上網(wǎng)時(shí)間，人的身高與體重分別與時(shí)間，一天的氣溫與時(shí)間的變化情況，個(gè)人所得稅與工資，騎車(chē)的路程與時(shí)間等等，學(xué)生所舉的例子還是停留在書(shū)本出現過(guò)的一些生活中的現象。
調查３：（問(wèn)卷３見(jiàn)附件三）
調查對象：本校數學(xué)專(zhuān)業(yè)一批即將成為中學(xué)數學(xué)教師的四年級本科生，共抽取樣本
１００人。
調查目的：了解經(jīng)過(guò)８年的函數學(xué)習后學(xué)生的認知水平。
調查結果：第１題是用自己的語(yǔ)言寫(xiě)出函數的定義，由于大部分同學(xué)不記得書(shū)上定義了，所以沒(méi)有像高中同學(xué)那樣取書(shū)上定義的部分內容作為自己的語(yǔ)言。而是從函數定義中蘊含的三要素出發(fā)來(lái)回答的，有人這樣回答的：“函數包括三部分：定義域，對應法則，值域。這三個(gè)部分構成了函數。”有人這樣回答的：“對于定義域下的任何一個(gè) ，在對應法則 下，都有唯一的 值與它對應的一種特殊映射。”還有人是這樣寫(xiě)的：“一個(gè)或多個(gè) 值，均有唯一的一個(gè) 與之對應的一種關(guān)系。”等等。大都集中在對函數表現形式上寫(xiě)定義。第２題第（１）小題有６０％的人回答是同一函數，而對（２）小題１００％的人回答不是同一函數。第３題的第（１）小題有２８％的回答是函數，其中有人簡(jiǎn)單地認為“只要是表達式就是函數”。還有些人認為能畫(huà)出圖像的都是函數，而 的圖像是一個(gè)圓非常熟悉，理所當然是函數。而對于第（２）小題“ 是不是函數一題”，有４０％的人認為是函數，其中有人認為直線(xiàn)都是函數，而“ ”是表示一成直線(xiàn)，理所當然是函數，還有人認為是常量函數。而對第（３）小題有３６％的人回答不是函數，其中大部分錯誤地認為根本沒(méi)有 的出現，不可能表示函數，還有部分同學(xué)是認為不存在對應法則，故不可能表示函數。對第４題的回答，有人認為只要能表示成圖像的都是函數，所以有部分同學(xué)認為全部存在與之對應的函數。上題全部答對占４４％。沒(méi)有答對的大都沒(méi)有抓住一個(gè) 值只有在都對應而且只對應一個(gè) 值時(shí)才能構成函數。錯誤地認為只要能表示成圖像的都是函數。第５題，考慮周全的人不多。有人簡(jiǎn)單的認為是一條上升的直線(xiàn)。如：
圖1. 圖2.
圖3. 圖4.
圖１，這類(lèi)學(xué)生沒(méi)有弄清題意，飛機著(zhù)陸之前必須繞北京機場(chǎng)幾圈；圖２，這類(lèi)學(xué)生錯誤地認為在北京機場(chǎng)繞圈時(shí)距離保持不變。這樣認為的人占多數，說(shuō)明對現實(shí)生活的感受能力不強；圖３，這類(lèi)學(xué)生，認為繞圈，距離變成了圓圈。只有幾位同學(xué)畫(huà)對了，繞圈時(shí)距離應為圖4的振動(dòng)圖像。第６題回答的正確率也不高，主要是不定項選擇，選不全，考慮問(wèn)題欠周全。第７題同學(xué)們想到了：對號入座；一夫一妻；買(mǎi)賣(mài)中的錢(qián)與重量，寄放包時(shí)每個(gè)人一個(gè)密碼等比高中生對生活中的函數現象感知能力強。
2．3近幾年中考、高考考查函數知識統計分析
近三年婁底市初中畢業(yè)會(huì )考數學(xué)試卷考查函數知識情況統計分析如下表1:
表1
時(shí)間 填空題 選擇題 運算題 應用題 占總分的百分比
2002年 4分 0分 6分 8分 18%
2003年 6分 3分 6分 8分 23%
2004年 4分 3分 7分 9分 23%
近十年高考試卷中考查函數知識統計情況 如下表2
表2
時(shí)間 選擇題 填空題 綜合題 占總分的百分比
1992年 16分 0分 12分 18.7%
1993年 8分 8分 12分 18.7%
1994年 17分 0分 12分 19.3%
1995年 13分 4分 12分 19.3%
1996年 8分 0分 34分 28%
1997年 12分 4分 24分 26.7%
1998年 14分 0分 24分 25.3%
1999年 20分 0分 26分 30.7%
2002年 17分 0分 24分 27.3%
2003年 13分 0分 24分 24.6%
由以上兩表可以看出,函數知識一直是中考、全國高考考查的重點(diǎn)。近十多年來(lái),一直分別占中考、高考總分的20%左右。而通過(guò)統計發(fā)現學(xué)生對這類(lèi)函數概念的考核和建立函數關(guān)系題得分率比較低。從統計中還發(fā)現一些考題確實(shí)讓人拍手叫好!例如:1998年高考選擇題中,有這樣一道題:
向高為H的水中注水,瓶注滿(mǎn)為止, 如果注水量V與深H的函數關(guān)系的圖像如上圖所示,那么水瓶的形狀是( )。
回答此問(wèn)題,學(xué)生需要理解函數及其圖像的概念,從而能夠通過(guò)函數圖像讀懂注水量與水深這兩個(gè)變量之間的關(guān)系,根據水瓶的形狀想象在注水過(guò)程中,隨著(zhù)水位的升高注水量增長(cháng)速度的變化,從此做出判斷。函數知識除了在中考和高考中是考查的重點(diǎn)以外，一些競賽活動(dòng)和一些測試評價(jià)題目中也經(jīng)常出現。如PISA（The Programme For International Student Assessment ）2000年數學(xué)測試題。PISA是世界經(jīng)濟合作與發(fā)展組織(The Organization for Economic Co-operation and Development)的一項國際學(xué)生評價(jià)項目。有這樣一道題，一輛賽車(chē)在一個(gè)周長(cháng)為3千米的封閉跑道上高速行駛。下圖反映了它在整個(gè)第二圈的行駛過(guò)程中速度與行駛路程之間的關(guān)系：
這個(gè)題有多問(wèn)，其中的兩問(wèn)是：
問(wèn)題一：賽車(chē)在第二圈的行駛過(guò)程中有時(shí)沿直線(xiàn)行駛，并且有一段直線(xiàn)路程最長(cháng)。則當它開(kāi)始走這段路程的時(shí)候，它與起點(diǎn)的距離大約是多少？
（A）0．5千米 （B）1.5千米
（C）2．3千米 （D）2.6千米
問(wèn)題二:根據題中所給的圖形,下面五條曲線(xiàn)中哪一條最能反映賽車(chē)的運動(dòng)軌跡?
這也是一個(gè)典型的函數問(wèn)題,反映了賽車(chē)在行駛過(guò)程中速度與行駛路程的關(guān)系。但問(wèn)題并未以一個(gè)函數表達式的形式給出,而是用直觀(guān)圖像來(lái)反映。學(xué)生通過(guò)讀圖，理解問(wèn)題中速度與路程的依存關(guān)系。第一個(gè)問(wèn)題并非要求學(xué)生得出精確的答案，而是通過(guò)觀(guān)察函數圖像，根據問(wèn)題中的“時(shí)刻”，判斷賽車(chē)“大約”行駛的路程，滲透了近似估算。同時(shí)要求學(xué)生對路況變化和車(chē)速變化之間的關(guān)系有一個(gè)合理的、常識性的分析。第二個(gè)問(wèn)題則更要求學(xué)生聯(lián)系實(shí)際和生活經(jīng)驗做出思考，拐彎處車(chē)速自然要慢一些，而且彎拐得越急（曲率越大），車(chē)速越需降低。再聯(lián)系起始點(diǎn)，共有幾個(gè)彎、幾段直線(xiàn)路程等信息，與函數圖像做一對比分析自然不難得出答案。這個(gè)問(wèn)題所要評價(jià)學(xué)生的是對函數本質(zhì)的理解，而不是細枝末節。［20］
【函數概念教學(xué)的現狀分析】相關(guān)文章：
函數概念的“源”與“流03-29
我國設計素描教學(xué)現狀分析03-28
卦象之概念分析03-24
康德的綜合和分析概念03-26
當代知識論：概念、背景與現狀03-06
公司治理現狀分析12-08