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DDS的雜散對比與級聯(lián)方案的研究(一)
摘要 級聯(lián)是一種通過(guò)抑制相位舍位誤差來(lái)降低DDS輸出雜散的設計方案。本文首先對DDS的相位舍位雜散和無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散進(jìn)行了分析和仿真，通過(guò)兩者在雜散水平和頻譜特性上的對比為級聯(lián)方案的可行性提供理論依據，在此基礎上給出兩種級聯(lián)方案，并對方案進(jìn)行了研究和輸出仿真。
關(guān)鍵詞 直接數字頻率合成 相位舍位雜散 幅度量化雜散 級聯(lián)
引言
直接數字頻率合成（DDS）是現代數字信號處理理論與微電子技術(shù)相結合而產(chǎn)生的一種新的頻率合成技術(shù)，它具有頻率分辨率高、相位變換連續、頻率轉換速度快、相位噪聲低等突出優(yōu)點(diǎn)，近些年在線(xiàn)性調頻、擴頻和跳頻、多普勒響應模擬等領(lǐng)域得到了廣泛應用，并已成為宇航、通信、雷達、電子戰等系統中頻率合成的首選。但是，輸出雜散較大是DDS的一個(gè)重要不足，它限制了DDS的進(jìn)一步應用和發(fā)展，當前，雜散分析與低雜散設計是DDS研究的主要課題。雜散分析是低雜散設計的理論前提，在對相位舍位雜散的分析上，國內外學(xué)者做了大量卓有成效的工作，并得出了比較一致的結論，而關(guān)于幅度量化雜散和DAC轉換誤差雜散目前還缺乏比較系統和精確的分析。在低雜散設計方面，有兩類(lèi)方法比較典型，一類(lèi)是優(yōu)化波形存儲表法，另一類(lèi)是修正DDS結構法，這兩類(lèi)方法各有所長(cháng)并都能有效降低DDS輸出雜散，但目前DDS低雜散設計的性能仍不能滿(mǎn)足它在某些領(lǐng)域應用中的要求。
本文提出的級聯(lián)方案是一種通過(guò)限制頻率控制字的取值來(lái)抑制相位舍位誤差并利用級聯(lián)來(lái)提高可輸出頻點(diǎn)和頻率分辨率的設計方案，這一方案的理論依據有兩個(gè)：一是無(wú)相位舍位條件下幅度量化雜散的雜散水平和頻譜特性，以及它同相位舍位雜散的對比；二是DDS對時(shí)鐘相位噪聲（或時(shí)鐘雜散）的改善。文中對DDS的輸出雜散特別是無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散進(jìn)行了分析和仿真，利用得到的結論對給出的兩種級聯(lián)方案進(jìn)行了研究論證。
1 DDS的雜散對比
1.1 DDS的工作原理與雜散來(lái)源
如下圖，DDS有四個(gè)基本組成部分：相位累加器、只讀存儲器（ROM）、數模轉換（DAC）
及低通濾波器（LPF），通常DAC之前的部分被稱(chēng)為數控振蕩器（NCO）。DDS的工作實(shí)質(zhì)是用累加器以參考時(shí)鐘信號的頻率fc對正弦相位進(jìn)行可控等間隔采樣，然后通過(guò)ROM查表將相位采樣值變換為正弦幅度值，幅度值序列經(jīng)DAC轉換后成為時(shí)間連續波形，再經(jīng)LPF濾波即為輸出信號。其中頻率控制字K是每個(gè)時(shí)鐘周期內相位累加器的累加值，它決定了相位采樣間隔，設相位累加器的位數為N，，則時(shí)鐘頻率fc與輸出信號頻率f0的關(guān)系為：
f0 = fc•K/
若不考慮時(shí)鐘的影響，DDS輸出雜散的來(lái)源有以下三個(gè)：一、相位舍位。在實(shí)際DDS中，為了壓縮ROM的容量，一般只用相位累加器的高W位來(lái)對其進(jìn)行查表，而將低B位的相位值舍去（B = N - W），這樣查表得到的正弦幅度值中就會(huì )含有相位舍位誤差。二、幅度量化。由于ROM要對模擬幅度值進(jìn)行量化后才能輸出，因而會(huì )引入幅度量化誤差，ROM輸出位數L越大，此誤差越小。三、DAC的非理想特性。DAC的有限分辨率、非線(xiàn)性特征及轉換速率等非理想轉換特性都會(huì )影響DDS輸出頻譜的純度，尤其是DAC的非線(xiàn)性特征增加了f = m•f0 ± n•fc（m ，n = ±1，±2 …）處的雜散，目前國內外還沒(méi)有找到一個(gè)通用的數學(xué)模型來(lái)對DAC轉換誤差進(jìn)行精確計算。以下我們主要討論相位舍位和幅度量化引起的雜散。
1.2 DDS雜散的綜合分析與對比
首先設K = X• ， g = = = ，則上面DDS可以等效成一個(gè)頻率控制字為X ，累加器位數為M = N－r ，累加器舍去位數為A = B－r（r≥B時(shí)，A = 0）的DDS。若累加器的初始相位為零（以下均假設初始相位為零），則在t = n•Tc時(shí)刻（Tc為時(shí)鐘周期），均勻量化條件下ROM的輸出信號s（n）為：
S（n）= （1）式
S（n）中存在著(zhù)由相位舍位和幅度量化引起的兩種雜散信號，其中由相位舍位引起的雜散信號P（n）為：
P（n）= （2）式
由幅度量化引起的雜散信號e1（n）為：
e1（n）= （3）式
由相位舍位和幅度量化共同引起的雜散信號R（n）為：
R（n）= P（n） + e1（n）=
（4）式
當K = m• 時(shí)，等效DDS的累加器舍去位數A = 0，ROM的輸出中不存在相位舍位雜散信號，在t = n•Tc時(shí)刻，由幅度量化引起的雜散信號e2（n）為：
e2（n） = （5）式
當K = 時(shí)，即f0 = fc/4時(shí)，等效DDS的累加器位數M = 2，頻率控制字為 = 1， ，e2（n） = 0，可見(jiàn)，此時(shí)ROM的輸出中即不存在相位舍位雜散信號，也不存在幅度量化雜散信號。
綜上，從雜散輸出的角度來(lái)看，DDS有三種工作狀態(tài)：第一種是K任意取值時(shí)的狀態(tài)，此狀態(tài)下DDS即輸出相位舍位雜散，又輸出幅度量化雜散；第二種是K = m• 時(shí)的狀態(tài)，此狀態(tài)下DDS的輸出雜散為無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散；第三種是K = 時(shí)的狀態(tài)，此狀態(tài)下DDS無(wú)雜散輸出（若累加器的初始相位不為零，則有幅度量化雜散輸出）。由（4）式和（5）式可以看出，第一種工作狀態(tài)下的雜散信號R（n）和第二種工作狀態(tài)下的雜散信號e2（n）特性不同：R（n）的幅度通常遠大于e2（n）的幅度（R（n）的幅度主要由P（n）分量決定，e1（n）分量的幅度很小，它和e2（n）的幅度處于同一水平，兩者都在區間[0， )上取值，故第一種工作狀態(tài)下的雜散分析以分析P（n）為主），而且兩種信號在時(shí)域上的周期也不相同，R（n）中P（n）分量的周期為V = ，e1（n）分量的周期為H = ，而e2（n）的周期為U = 。
目前，在對P（n）信號的分析上，國內外提出了信號模型法，并得到了較為成熟的結論，由參考文獻[4]，P（n）在頻譜區間[0，fc/2)上的雜散分布點(diǎn)為：
1- （6）式
的幅度為： = （7）式
其中z = 1，2 …… 。
由于e1（n）的周期大（當K為奇數時(shí)，H = ），幅度小，對它的分析通常是將其值看成隨機量，通過(guò)統計分析求出雜散總能量，用這種方法得到的總信雜比為：
SNR dB = 6.02 L + 1.75 dB
同e1（n）相比，e2（n）的周期要小得多（U ，目前DDS芯片中W值范圍為8至15），它的頻譜在區間[0，fc)上至多有 根譜線(xiàn)，完全可以通過(guò)對它作U點(diǎn)的離散付里葉變換精確求出每根譜線(xiàn)的頻譜系數，我們用FFT算法對e2（n）頻譜進(jìn)行了程序仿真，得到了以下關(guān)于其雜散水平和頻譜特性的幾個(gè)結論：
一 e2（n）的雜散水平很低，它的雜散總能量和e1（n）的雜散總能量處于同一量級，且主要由L值決定，受U值變化的影響較小。L每增加兩位，e2（n）的雜散總能量對應的信雜比約增加12dB；當L 12時(shí)，此信雜比大于70dB。
二 e2（n）頻譜中雜散頻點(diǎn)的分布是有規律的，當U值較小時(shí)（U ，L = 12）, 雜散能量最大的頻點(diǎn)分布在輸出頻率f0的最小的幾個(gè)奇次諧波點(diǎn)處，即3f0，5f0，7f0……處；當U的值較大時(shí)（ 左右），雜散頻點(diǎn)密集分布在f0的最小的幾個(gè)奇次諧波點(diǎn)周?chē)?br />
三 e2（n）頻譜中能量最大的雜散頻點(diǎn)處的能量隨U和L的增大呈減小趨勢（在不同K值對應同一U值的情況下，此能量并不隨K值變化），當L = 10，U 時(shí)，此能量對應的信雜比大于80 dB；當L = 12，U 時(shí)，此能量對應的信雜比大于90 dB。
圖1是L = 10, K = 3277• ,U = （N = 24，B = 9）時(shí)e2（n）的仿真頻譜圖，圖中縱坐標表示雜散能量，單位為dB（設輸出主頻f0處的能量為0dB），橫坐標表示輸出頻率，單位為Hz，此時(shí)f0 = fc / 10 = 0.1Hz�？梢钥闯�，雜散頻點(diǎn)集中在f0，3f0，5f0……周?chē)�，雜散頻點(diǎn)處最大的能量處在-80 dB至-90 dB之間。
為了便于對比分析，我們同樣用FFT算法對R（n）的頻譜進(jìn)行了仿真，圖2是N = 24，B = 15，L = 10，K = 3277• ，V = ，H = 時(shí)R（n）的頻譜仿真圖，此時(shí)f0 = fc /10 = 0.1Hz。圖中密集分布在f0，3f0，5f0……周?chē)念l點(diǎn)是e1（n）分量對應的頻點(diǎn)，其余雜散能量很大的頻點(diǎn)是P（n）分量對應的頻點(diǎn)。通過(guò)對比圖1和圖2可以看出，R（n）的雜散水平遠高于e2（n）的雜散水平，且R（n）在整個(gè)頻域周期[0，fc)上較均勻地分布著(zhù)許多雜散能量很大的頻點(diǎn)。由于DDS在實(shí)際應用中大都需要工作在第一種狀態(tài)，R（n）的這種雜散特性就限制了它在某些場(chǎng)合下的應用�；谏厦娣治龅玫降慕Y論，以下就給出通過(guò)抑制相位舍位雜散輸出來(lái)降低DDS輸出雜散的級聯(lián)方案。
2 兩種DDS級聯(lián)方案
DDS級聯(lián)是指用兩級DDS完成頻率合成，把前一級DDS的輸出用作后一級的時(shí)鐘。設前級DDS為DDS1，后級DDS為DDS2，DDS1的時(shí)鐘頻率和輸出信號頻率分別為f1和f2，DDS2的時(shí)鐘頻率和輸出信號頻率分別為f2和f3，DDS1和DDS2的頻率控制字分別為K1、K2，則有 f2 = f1•K1/ ；f3 = f2•K2/ ，故f3 = f1•K1•K2/ 。下面介紹兩種DDS級聯(lián)方案：
第一種方案：保持DDS2的頻率控制字K2 = ，使f2/f3 = 4，通過(guò)改變頻率控制字K1（K1可任意取值）來(lái)調整f2和f3的變化從而獲得所需頻率。這一方案的優(yōu)點(diǎn)在于：
首先，級聯(lián)后降低了輸出雜散。由于f2/f3 = 4，由前面分析可知，DDS2處于第三種工作狀態(tài)，此時(shí)DDS2不輸出相位舍位雜散，當累加器初始相位為零時(shí)也不輸出幅度量化雜散。不過(guò)，由于DDS2的時(shí)鐘信號（即DDS1的輸出信號）中存在雜散，這會(huì )影響其輸出信號頻譜的純度。我們知道，時(shí)鐘是以觸發(fā)形式使相位累加器進(jìn)行相位累加的，DDS1的輸出信號中含有的雜散會(huì )影響其時(shí)域觸發(fā)特性，用它作為時(shí)鐘信號會(huì )導致DDS2相位累加器的相位采樣時(shí)間發(fā)生偏移，破壞采樣時(shí)間的等間隔性，從而使DDS2輸出信號中產(chǎn)生相位噪聲和雜散。然而，DDS的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就在于它對時(shí)鐘信號中含有的雜散和相位噪聲有改善作用（由于只考慮時(shí)鐘信號的時(shí)域觸發(fā)特性，我們可以將DDS1輸出信號中含有的雜散視為一類(lèi)特殊的相位噪聲）。根據理論分析，設DDS時(shí)鐘信號中相位噪聲能量（或雜散能量）為Ec，輸出信號中相位噪聲和雜散總能量為E0，則有關(guān)系 。因DDS2的頻率控制字 K2 = ，故DDS2輸出信號中相位噪聲和雜散總能量相對DDS1輸出信號中的雜散能量約降低了12 dB，我們是以較低水平的相位噪聲為代價(jià)抑制了較高水平的輸出雜散。
其次，級聯(lián)后提高了頻率分辨率，增強了頻率穩定度。單級DDS的頻率分辨率為f1/ ，而級聯(lián)后頻率分辨率為f1/ ；若因f1頻率偏移引f2的頻偏值為f，則引起f3的頻偏值為f/4 。
這種方案的缺點(diǎn)在于減小了輸出帶寬：一級DDS的輸出帶寬為f1/2，級聯(lián)情況下的輸出帶寬為f1/8。下面介紹另一種級聯(lián)方案。
第二種方案：取K1 = x• ，K2 = y• ，其中x、y為區間[1， ]內的任意整數，當x、y都為奇數時(shí)（或具有相同偶數因子時(shí)），要求x y。輸入輸出頻率關(guān)系為：f2 = f1•K1/ = f1•x/ ；f3 = f2•K2/ = f2•y/ ；故f3 = f1•x•y / = f1•λ/ ，從此式可以看出，級聯(lián)后兩級DDS在輸入輸出頻率關(guān)系上可等效成一個(gè)累加器位數為2W，頻率控制字為λ的DDS（λ的取值區間為[1， ]）。由于K1和 K2取值受限，根據前面分析，這種方案中DDS1工作在第二種狀態(tài)，輸出雜散為無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散，DDS2也工作在第二種狀態(tài)，輸出中含有無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散和由時(shí)鐘信號（DDS1輸出信號）引起的相位噪聲。和第一種方案相比，這種方案的特點(diǎn)在于：
方案在保證DDS2低雜散輸出的前提下，通過(guò)抑制DDS1相位舍位雜散的輸出降低了DDS2輸出信號中的相位噪聲。在第一種方案中，DDS1輸出信號中含有相位舍位雜散，由于相位舍位雜散水平通常遠高于幅度量化雜散水平，這時(shí)DDS1輸出信號的時(shí)域觸發(fā)特性并非特別理想，用它作時(shí)鐘信號就難以把DDS2輸出信號中的相位噪聲降到很低的水平；而在這種方案中，DDS1的輸出雜散為無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散，此雜散不僅水平很低，而且雜散能量主要集中在3f2，5f2，7f2……附近，不會(huì )過(guò)分影響DDS1輸出信號對DDS2相位累加器觸發(fā)時(shí)間的等間隔性，這樣，相對第一種方案就會(huì )大大降低DDS2輸出信號中的相位噪聲，加上DDS2也工作在無(wú)相位舍位雜散的狀態(tài)，因而這種方案同時(shí)保證了輸出的低相噪和低雜散。從DDS對時(shí)鐘相位噪聲和雜散的改善關(guān)系公式 可知， K2值越小，DDS2對時(shí)鐘雜散的改善狀況就越好，為了同時(shí)使DDS2輸出雜散信號e2（n）的周期U盡可能大（根據前面結論，U越大，e2（n）頻譜中能量最大的雜散頻點(diǎn)處的能量就越�。�，當x、y都為奇數或具有相同偶數因子時(shí)，方案中要求x y。
這種方案的不足之處在于：一 可輸出頻點(diǎn)的個(gè)數比非級聯(lián)情況下要少。由于λ不能取盡區間[1， ]內的所有整數（大于 的質(zhì)數和一些因子大于 的合數是取不到的），故可輸出頻點(diǎn)數小于 。二 頻率分辨率不是一個(gè)定值。級聯(lián)后在低頻輸出區間頻率分辨率可達f1/ 量級，但因λ的取值特點(diǎn)所限，它隨輸出頻率的增大而降低。
在對無(wú)相位舍位條件下的幅度量化雜散進(jìn)行仿真的基礎上，我們對第二種方案中的輸出雜散和相位噪聲進(jìn)行了仿真，表1給出N = 24，B = 9，K1 = 6555• 時(shí)的一組仿真數據，表中值為DDS2輸出頻譜中能量最大的雜散頻點(diǎn)處能量對應的信雜比（dB）。
表1：雜散頻點(diǎn)處能量對應的最大信雜比
L K2 = 23•
K2 = 552•
K2 = 2208•
K2 = 8832•
10 83.26 82.19 74.29 72.93
12 99.33 92.12 87.51 83.35
表2給出另一組仿真數據（參數同上），表中值為DDS2輸出頻譜中幅度量化雜散和相位噪聲總能量對應的信雜（噪）比（dB）。
表2：雜散和相位噪聲總能量對應的信雜（噪）比
L K2 = 23•
K2 = 552•
K2 = 2208•
K2 = 8832•
10 61.70 61.52 61.59 61.35
12 73.91 74.02 73.76 73.55
結束語(yǔ)：DDS對時(shí)鐘相位噪聲和雜散的改善是DDS級聯(lián)方案的理論依據之一，文中給出了理論上的改善關(guān)系公式： ，但實(shí)際中DDS的輸出相位噪聲是達不到這一指標的，這是因為DDS的相位噪聲還決定于芯片內部的集成工藝水平和外圍電路噪聲，所以在實(shí)際DDS的設計中，應仔細考慮印制板的布線(xiàn)布局，盡量避免電源和數字切換噪聲與時(shí)鐘輸出信號的耦合。如果以上問(wèn)題能夠解決，我們甚至可以將兩級DDS集成在一個(gè)芯片上，開(kāi)發(fā)新的DDS產(chǎn)品。
參考文獻：
[1] HenryT.Nicholas and Henry Samueli. ”An Analysis of the Output Spectrum of Direct Digital Frequency Synthesizers in the Presence of Phase-Accumulator Trunction”. Proc.41st Annual Frequency Control Symposium，1987：495—502.
[2] 田新廣，張爾揚，羅倫，王松. DDS的幅度量化雜散分析. 無(wú)線(xiàn)電工程，1999.29（4）：57—60.
[3] 田新廣. DDS的頻譜研究及降低雜散的方案. 學(xué)位論文，國防科技大學(xué)電子工程學(xué)院，1998.
[4] 蔣興才，褚人乾，張浩. 直接數字頻率合成的頻譜研究. DDS技術(shù)與應用研討會(huì )論文集（合肥），1997.12.
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