2017小學(xué)奧數知識點(diǎn)大全

　　奧數對青少年的腦力鍛煉有著(zhù)一定的作用，可以通過(guò)奧數對思維和邏輯進(jìn)行鍛煉，對學(xué)生起到的并不僅僅是數學(xué)方面的作用,通常比普通數學(xué)要深奧些。小學(xué)奧數有哪些需要掌握的知識點(diǎn)呢，今天為大家分享30個(gè)小學(xué)奧數必備知識點(diǎn)，希望能幫助有需要的學(xué)生學(xué)好奧數。

　　1.倍問(wèn)題

　　和差問(wèn)題 和倍問(wèn)題 差倍問(wèn)題

　　已知條件 幾個(gè)數的和與差 幾個(gè)數的和與倍數 幾個(gè)數的差與倍數

　　公式適用范圍 已知兩個(gè)數的和，差，倍數關(guān)系

　　公式 ①(和-差)÷2=較小數

　　較小數+差=較大數

　　和-較小數=較大數

　�、�(和+差)÷2=較大數

　　較大數-差=較小數

　　和-較大數=較小數

　　和÷(倍數+1)=小數

　　小數×倍數=大數

　　和-小數=大數

　　差÷(倍數-1)=小數

　　小數×倍數=大數

　　小數+差=大數

　　關(guān)鍵問(wèn)題 求出同一條件下的

　　和與差 和與倍數 差與倍數

　　2.年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征

　�、賰蓚�(gè)人的年齡差是不變的;

　�、趦蓚�(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的;

　�、蹆蓚�(gè)人的年齡的倍數是發(fā)生變化的;

　　3.歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)

　　問(wèn)題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語(yǔ)來(lái)表示。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：根據題目中的條件確定并求出單一量;

　　4.植樹(shù)問(wèn)題

　　基本類(lèi)型 在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植樹(shù)，只有一端植樹(shù) 封閉曲線(xiàn)上植樹(shù)

　　基本公式 棵數=段數+1

　　棵距×段數=總長(cháng) 棵數=段數-1

　　棵距×段數=總長(cháng) 棵數=段數

　　棵距×段數=總長(cháng)

　　關(guān)鍵問(wèn)題 確定所屬類(lèi)型，從而確定棵數與段數的關(guān)系

　　5.雞兔同籠問(wèn)題

　　基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、假設問(wèn)題，就是把假設錯的那部分置換出來(lái);

　　基本思路：

　�、偌僭O，即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：

　�、诩僭O后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少;

　�、勖總�(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現這個(gè)差的原因;

　�、茉俑鶕�這兩個(gè)差作適當的調整，消去出現的差。

　　基本公式：

　�、侔阉�有雞假設成兔子：雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數)

　�、诎阉�有兔子假設成雞：兔數=(總腳數一雞腳數×總頭數)÷(兔腳數一雞腳數)

　　關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

　　6.盈虧問(wèn)題

　　基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數或對象的總量.

　　基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量.

　　基本題型：

　�、僖淮斡杏鄶�，另一次不足;

　　基本公式：總份數=(余數+不足數)÷兩次每份數的差

　�、诋攦纱味加杏鄶�;

　　基本公式：總份數=(較大余數一較小余數)÷兩次每份數的差

　�、郛攦纱味疾蛔�;

　　基本公式：總份數=(較大不足數一較小不足數)÷兩次每份數的差

　　基本特點(diǎn)：對象總量和總的組數是不變的。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定對象總量和總的組數。

　　7.牛吃草問(wèn)題

　　基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(cháng)速度和總草量。

　　基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(cháng)速度是不變的;

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量。

　　基本公式：

　　生長(cháng)量=(較長(cháng)時(shí)間×長(cháng)時(shí)間牛頭數-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數)÷(長(cháng)時(shí)間-短時(shí)間);

　　總草量=較長(cháng)時(shí)間×長(cháng)時(shí)間牛頭數-較長(cháng)時(shí)間×生長(cháng)量;

　　8.周期循環(huán)與數表規律

　　周期現象：事物在運動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規律循環(huán)出現。

　　周期：我們把連續兩次出現所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。

　　閏 年：一年有366天;

　�、倌攴菽鼙�4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;

　　平 年：一年有365天。

　�、倌攴莶荒鼙�4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

　　9.平均數

　　基本公式：①平均數=總數量÷總份數

　　總數量=平均數×總份數

　　總份數=總數量÷平均數

　�、谄骄鶖�=基準數+每一個(gè)數與基準數差的和÷總份數

　　基本算法：

　�、偾蟪隹倲盗恳约翱偡輸�，利用基本公式①進(jìn)行計算.

　�、诨鶞蕯捣ǎ焊鶕�給出的數之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準數;一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數;以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數;最后求這個(gè)差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式②。

　　10.抽屜原理

　　抽屜原則一：如果把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

　　例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數的和，那么就有以下四種情況：

　�、�4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

　　觀(guān)察上面四種放物體的方式，我們會(huì )發(fā)現一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

　　抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:

　�、賙=[n/m ]+1個(gè)物體：當n不能被m整除時(shí)。

　�、趉=n/m個(gè)物體：當n能被m整除時(shí)。

　　理解知識點(diǎn)：[X]表示不超過(guò)X的最大整數。

　　例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

　　關(guān)鍵問(wèn)題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進(jìn)行運算。

　　11.定義新運算

　　基本概念：定義一種新的運算符號，這個(gè)新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。

　　基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過(guò)程、規律進(jìn)行運算。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運算符號的意義。

　　注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。

　�、诿總�(gè)新定義的運算符號只能在本題中使用。

　　12.數列求和

　　等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個(gè)數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

　　基本概念：首項：等差數列的第一個(gè)數，一般用a1表示;

　　項數：等差數列的所有數的個(gè)數，一般用n表示;

　　公差：數列中任意相鄰兩個(gè)數的差，一般用d表示;

　　通項：表示數列中每一個(gè)數的公式，一般用an表示;

　　數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：等差數列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d,n,sn,,通項公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè);求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

　　基本公式：通項公式：an = a1+(n-1)d;

　　通項=首項+(項數一1) 公差;

　　數列和公式：sn,= (a1+ an)n2;

　　數列和=(首項+末項)項數2;

　　項數公式：n= (an+ a1)d+1;

　　項數=(末項-首項)公差+1;

　　公差公式：d =(an-a1))(n-1);

　　公差=(末項-首項)(項數-1);

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;

　　13.二進(jìn)制及其應用

　　十進(jìn)制：用0～9十個(gè)數字表示，逢10進(jìn)1;不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。

　　=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100

　　注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然數)

　　二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數字表示，逢2進(jìn)1;不同數位上的數字表示不同的含義。

　　(2)= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7

　　+……+A322+A221+A120

　　注意：An不是0就是1。

　　十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

　�、俑鶕�二進(jìn)制滿(mǎn)2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續去除這個(gè)數，直到商為0，然后把每次所得的余數按自下而上依次寫(xiě)出即可。

　�、谙日页霾淮笥谠摂档�2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。14.加法乘法原理和幾何計數

　　加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有m1種不同方法，在第二類(lèi)方法中有m2種不同方法……，在第n類(lèi)方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類(lèi)方法。

　　基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

　　乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。

　　基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

　　直線(xiàn)：一點(diǎn)在直線(xiàn)或空間沿一定方向或相反方向運動(dòng)，形成的軌跡。

　　直線(xiàn)特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(cháng)度。

　　線(xiàn)段：直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

　　線(xiàn)段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(cháng)度。

　　射線(xiàn)：把直線(xiàn)的一端無(wú)限延長(cháng)。

　　射線(xiàn)特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn);沒(méi)有長(cháng)度。

　�、贁稻�(xiàn)段規律：總數=1+2+3+…+(點(diǎn)數一1);

　�、跀到且幝�=1+2+3+…+(射線(xiàn)數一1);

　�、蹟甸L(cháng)方形規律：個(gè)數=長(cháng)的線(xiàn)段數×寬的線(xiàn)段數：

　�、軘甸L(cháng)方形規律：個(gè)數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數

　　15.質(zhì)數與合數

　　質(zhì)數：一個(gè)數除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數，這個(gè)數叫做質(zhì)數，也叫做素數。

　　合數：一個(gè)數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個(gè)數叫做合數。

　　質(zhì)因數：如果某個(gè)質(zhì)數是某個(gè)數的約數，那么這個(gè)質(zhì)數叫做這個(gè)數的質(zhì)因數。

　　分解質(zhì)因數：把一個(gè)數用質(zhì)數相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數。通常用短除法分解質(zhì)因數。任何一個(gè)合數分解質(zhì)因數的結果是唯一的。

　　分解質(zhì)因數的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數N的質(zhì)因數，且a1

　　求約數個(gè)數的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

　　互質(zhì)數：如果兩個(gè)數的最大公約數是1，這兩個(gè)數叫做互質(zhì)數。

　　16.約數與倍數

　　約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

　　公約數：幾個(gè)數公有的約數，叫做這幾個(gè)數的公約數;其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數的最大公約數。

　　最大公約數的性質(zhì)：

　　1、 幾個(gè)數都除以它們的最大公約數，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數。

　　2、 幾個(gè)數的最大公約數都是這幾個(gè)數的約數。

　　3、 幾個(gè)數的公約數，都是這幾個(gè)數的最大公約數的約數。

　　4、 幾個(gè)數都乘以一個(gè)自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個(gè)數的最大公約數乘以m。

　　例如：12的約數有1、2、3、4、6、12;

　　18的約數有：1、2、3、6、9、18;

　　那么12和18的公約數有：1、2、3、6;

　　那么12和18最大的公約數是：6，記作(12，18)=6;

　　求最大公約數基本方法：

　　1、分解質(zhì)因數法：先分解質(zhì)因數，然后把相同的因數連乘起來(lái)。

　　2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

　　3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個(gè)余數，就是所求的最大公約數。

　　公倍數：幾個(gè)數公有的倍數，叫做這幾個(gè)數的公倍數;其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數的最小公倍數。

　　12的倍數有：12、24、36、48……;

　　18的倍數有：18、36、54、72……;

　　那么12和18的公倍數有：36、72、108……;

　　那么12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36;

　　最小公倍數的性質(zhì)：

　　1、兩個(gè)數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

　　2、兩個(gè)數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個(gè)數的乘積。

　　求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數;2、分解質(zhì)因數的方法

　　17.數的整除

　　一、基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個(gè)整數a，除以一個(gè)自然數b，得到一個(gè)整數商c，而且沒(méi)有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;

　　二、整除判斷方法：

　　1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各個(gè)數位上數字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　�、倌┤�位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

　�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩底植�減去末位數字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　�、倌┤�位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

　�、谄鏀滴簧系臄底趾团c偶數位數的數字和的差能被11整除。

　�、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩底植�減去末位數字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　�、倌┤�位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

　�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩底植�減去末位數字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性質(zhì)：

　　1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

　　2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

　　18.余數及其應用

　　基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余數的性質(zhì)：

　�、儆鄶敌∮诔龜�。

　�、谌鬭、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

　�、踑與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

　�、躠與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

　　19.余數、同余與周期

　　一、同余的定義：

　�、偃魞蓚�(gè)整數a、b除以m的余數相同，則稱(chēng)a、b對于模m同余。

　�、谝阎�三個(gè)整數a、b、m，如果m|a-b，就稱(chēng)a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質(zhì)：

　�、僮陨硇裕篴≡a(mod m);

　�、趯ΨQ(chēng)性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m);

　�、蹅鬟f性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m);

　�、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　�、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m);

　�、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m);

　�、咄�倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡b×c(mod m×c);

　　三、關(guān)于乘方的預備知識：

　�、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b

　�、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數特征：

　�、僖粋�(gè)自然數M，n表示M的各個(gè)數位上數字的和，則M≡n(mod9)或(mod 3);

　�、谝粋�(gè)自然數M，X表示M的各個(gè)奇數位上數字的和，Y表示M的各個(gè)偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　　五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

　　20.分數與百分數的應用

　　基本概念與性質(zhì)：

　　分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

　　分數的性質(zhì)：分數的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。

　　分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

　　百分數：表示一個(gè)數是另一個(gè)數百分之幾的數。

　　常用方法：

　�、倌嫦蛩季S方法：從題目提供條件的反方向(或結果)進(jìn)行思考。

　�、趯�應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關(guān)系。

　�、坜D化思維方法：把一類(lèi)應用題轉化成另一類(lèi)應用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉換成比例和轉換成倍數關(guān)系;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　�、芗僭O思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進(jìn)行調整，求出最后結果。

　�、萘坎蛔兯季S方法：在變化的各個(gè)量當中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

　�、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

　�、咄�倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進(jìn)行處理。

　�、酀舛扰浔确ǎ阂话銘�用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

　　21.分數大小的比較

　　基本方法：

　�、偻ǚ址肿臃ǎ菏顾�有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關(guān)系比較。

　�、谕ǚ址帜阜ǎ菏顾�有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關(guān)系比較。

　�、刍鶞蕯捣ǎ捍_定一個(gè)標準，使所有的分數都和它進(jìn)行比較。

　�、芊肿雍头帜复笮”容^法：當分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分數值越大。

　�、荼堵时容^法：當比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數的大小。(具體運用見(jiàn)同倍率變化規律)

　�、揶D化比較方法：把所有分數轉化成小數(求出分數的值)后進(jìn)行比較。

　�、弑稊当容^法：用一個(gè)數除以另一個(gè)數，結果得數和1進(jìn)行比較。

　�、啻笮”容^法：用一個(gè)分數減去另一個(gè)分數，得出的數和0比較。

　�、岬箶当容^法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

　�、饣鶞蕯当容^法：確定一個(gè)基準數，每一個(gè)數與基準數比較。

　　22.分數拆分

　　一、 將一個(gè)分數單位分解成兩個(gè)分數之和的公式：

　�、� 1/n=1/n*(n+1)+1/(n+1);

　�、�1/n=1/n*(n+d)+1/(n+d)(d為自然數);

　　23.完全平方數

　　完全平方數特征：

　　1. 末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

　　2. 除以3余0或余1;反之不成立。

　　3. 除以4余0或余1;反之不成立。

　　4. 約數個(gè)數為奇數;反之成立。

　　5. 奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。

　　6. 奇數平方個(gè)位數字是奇數;偶數平方個(gè)位數字是偶數。

　　7. 兩個(gè)相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

　　平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

　　完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

　　比：兩個(gè)數相除又叫兩個(gè)數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫比的后項。

　　比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

　　比的性質(zhì)：比的前項和后項同時(shí)乘以或除以相同的數(零除外)，比值不變。

　　比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

　　比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項積等于兩個(gè)內項積(交叉相乘)，ad=bc。

　　正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍(AB的商不變時(shí))，則A與B成正比。

　　反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時(shí))，則A與B成反比。

　　比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

　　按比例分配：把幾個(gè)數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

　　25.綜合行程

　　基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.

　　基本公式：路程=速度×時(shí)間;路程÷時(shí)間=速度;路程÷速度=時(shí)間

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定運動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。

　　相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程(請寫(xiě)出其他公式)

　　追及問(wèn)題：追及時(shí)間=路程差÷速度差(寫(xiě)出其他公式)

　　流水問(wèn)題：順水行程=(船速+水速)×順水時(shí)間

　　逆水行程=(船速-水速)×逆水時(shí)間

　　順水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2

　　水 速=(順水速度-逆水速度)÷2

　　流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運動(dòng)的速度，參照以上公式。

　　過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運動(dòng)的路程，參照以上公式。

　　主要方法：畫(huà)線(xiàn)段圖法

　　基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時(shí)間(相遇時(shí)間、追及時(shí)間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

　　26.工程問(wèn)題

　　基本公式：

　�、俟ぷ骺偭�=工作效率×工作時(shí)間

　�、诠ぷ餍�率=工作總量÷工作時(shí)間

　�、酃ぷ鲿r(shí)間=工作總量÷工作效率

　　基本思路：

　�、偌僭O工作總量為“1”(和總工作量無(wú)關(guān));

　�、诩僭O一個(gè)方便的數為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數)，利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

　　關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對應關(guān)系。

　　經(jīng)驗簡(jiǎn)評：合久必分，分久必合。

　　27.邏輯推理

　　基本方法簡(jiǎn)介：

　�、贄l件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過(guò)程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。

　�、跅l件分析—列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個(gè)長(cháng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀(guān)察表格內的題設情況，運用邏輯規律進(jìn)行判斷。

　�、蹢l件分析——圖表法：當兩個(gè)對象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線(xiàn)表示兩個(gè)對象之間的關(guān)系，有連線(xiàn)則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線(xiàn)則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線(xiàn)表示認識，沒(méi)有表示不認識。

　�、苓壿嬘嬎悖涸谕评淼倪^(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應的計算，根據計算的結果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。

　�、莺�(jiǎn)單歸納與推理：根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。

　　28.幾何面積

　　基本思路：

　　在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變?yōu)橐巹t的圖形進(jìn)行計算;另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。

　　常用方法：

　　1. 連輔助線(xiàn)方法

　　2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

　　3. 大膽假設(有些點(diǎn)的設置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設置在特殊位置上)。

　　4. 利用特殊規律

　�、俚妊�直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)

　�、谔菪螌�角線(xiàn)連線(xiàn)后，兩腰部分面積相等。

　�、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。

　　29.立體圖形

　　長(cháng) 方 體

　　8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;相對的面相等;12條棱;相對的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh

　　正 方 體

　　8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;所有面相等;12條棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3

　　圓柱體

　　上下兩底是平行且相等的圓;側面展開(kāi)后是長(cháng)方形;S=S側+2S底 S側=Ch V=Sh

　　圓錐體

　　下底是圓;只有一個(gè)頂點(diǎn);l:母線(xiàn)，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離; S=S側+S底

　　S側=rl V=Sh

　　球體 圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。S=4r^2 V=r^3

　　30.時(shí)鐘問(wèn)題—快慢表問(wèn)題

　　基本思路：

　　1、 按照行程問(wèn)題中的思維方法解題;

　　2、 不同的表當成速度不同的運動(dòng)物體;

　　3、 路程的單位是分格(表一周為60分格);

　　4、 時(shí)間是標準表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間;

　　合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系。

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