數學(xué)學(xué)習的抽象性和邏輯性
抽象性是任何一門(mén)科學(xué)均具有的共性。然而,數學(xué)的抽象和其他自然科學(xué)不一樣。在數學(xué)的抽象中,僅僅保留了對象的量的特征,而完全舍棄了它們的質(zhì)的內容。而且其抽象程序遠遠超過(guò)了自然科學(xué)中的一般抽象。例如對于自然數的認識:1,2,3,…,101,102,103,…,1001,1002,1003,…無(wú)限制地繼續下去時(shí),相應的數距我們越來(lái)越遠。很遠很遠的大數是決不可能由真實(shí)事物中直接抽象出來(lái)的,而只能依靠人的想象。這種想象的數,實(shí)際上是人的思維的產(chǎn)物,把它看成是一種“理想元素”。類(lèi)似地直線(xiàn)的無(wú)限性,極限,有理數的稠密性,實(shí)數的連續性等概念,也都是理性思維的結果,不可能直接為人們所感知。然而,實(shí)踐是檢驗真理的'標準,隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展和人們認識的深入,到了19世紀,高斯給出了復數(虛數)的幾何表示,幫助人們直觀(guān)地理解了它的真實(shí)意義,隨后又在流體力學(xué)中得到了應用。在數學(xué)和其他科學(xué)中復數日益起著(zhù)不可估量的作用,在19世紀中葉以后遂發(fā)展成一個(gè)龐大的數學(xué)分支——復變函數論。由此可見(jiàn),理想元素對數學(xué)及科學(xué)實(shí)踐所起的積極作用。一般說(shuō)來(lái),隨著(zhù)數學(xué)的發(fā)展,理想元素在數學(xué)中占據著(zhù)越來(lái)越重要的位置。正如數學(xué)史家M.克萊因所指出:1700年以后,越來(lái)越多的、更遠離自然界的、從人的腦子中源源不斷地涌出的概念,進(jìn)入了數學(xué)。它們逐漸取代了那些“直接觀(guān)念性”的概念,并在數學(xué)中占據了主導的地位。列寧曾指出:幻想是極其可貴的品質(zhì),有人認為,只有詩(shī)人才需要幻想,這是沒(méi)有理由的,這是愚蠢的偏見(jiàn)!甚至在數學(xué)上也需要幻想的,甚至沒(méi)有它就不可能發(fā)明微積分。由于數學(xué)研究對象的抽象性,就決定了數學(xué)學(xué)習的抽象思維特征,這種抽象性,當尚未熟悉它的思維方法時(shí),似乎感到很難把思維特征也是可以辦到的。
只要我們通過(guò)初等數學(xué)、高等數學(xué)課程的認真學(xué)習,仔細體會(huì )它的概念和論證方法的抽象特征,自覺(jué)學(xué)習、運用這種思維方法來(lái)思考和分析問(wèn)題,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓練,便可逐步培養起這種抽象思維能力。借助于邏輯學(xué)的幫助而建立起來(lái)的數學(xué)體系,具有一個(gè)突出的特點(diǎn),就是它在邏輯上的嚴密性。無(wú)論是在高等數學(xué)還是初等數學(xué)中,嚴密性都是至關(guān)重要的。雖然嚴密性是相對而言的,它隨著(zhù)科學(xué)及數學(xué)的發(fā)展在變化著(zhù)。過(guò)去被大數學(xué)家認為是嚴密的證明,今天卻因其不完善而被拋棄的情形也屢見(jiàn)不鮮。然而,嚴密性的要求畢竟在始終不斷推進(jìn)著(zhù)數學(xué)研究的向前發(fā)展,它使數學(xué)(特別是在數學(xué)基礎方面)在實(shí)質(zhì)上和面貌上發(fā)生了很大的變化;谶@種意義,可以認為,現今以一組不證明的命題、一組不定義的術(shù)語(yǔ)為基礎的公理數學(xué),才是最嚴格最廣泛最抽象的科學(xué)體系。今天,我們在大學(xué)或中學(xué)中學(xué)習數學(xué),雖然沒(méi)有必要過(guò)分強調演繹論證的訓練,但必要的邏輯推理訓練是不可少的,因為它是創(chuàng )造性數學(xué)思維中不可少的工具。
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