數學(xué)學(xué)習的抽象性和邏輯性
抽象性是任何一門(mén)科學(xué)均具有的共性。然而，數學(xué)的抽象和其他自然科學(xué)不一樣。在數學(xué)的抽象中，僅僅保留了對象的量的特征，而完全舍棄了它們的質(zhì)的內容。而且其抽象程序遠遠超過(guò)了自然科學(xué)中的一般抽象。例如對于自然數的認識：1，2，3，…，101，102，103，…，1001，1002，1003，…無(wú)限制地繼續下去時(shí)，相應的數距我們越來(lái)越遠。很遠很遠的大數是決不可能由真實(shí)事物中直接抽象出來(lái)的，而只能依靠人的想象。這種想象的數，實(shí)際上是人的思維的產(chǎn)物，把它看成是一種“理想元素”。類(lèi)似地直線(xiàn)的無(wú)限性，極限，有理數的稠密性，實(shí)數的連續性等概念，也都是理性思維的結果，不可能直接為人們所感知。然而，實(shí)踐是檢驗真理的'標準，隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展和人們認識的深入，到了19世紀，高斯給出了復數（虛數）的幾何表示，幫助人們直觀(guān)地理解了它的真實(shí)意義，隨后又在流體力學(xué)中得到了應用。在數學(xué)和其他科學(xué)中復數日益起著(zhù)不可估量的作用，在19世紀中葉以后遂發(fā)展成一個(gè)龐大的數學(xué)分支——復變函數論。由此可見(jiàn)，理想元素對數學(xué)及科學(xué)實(shí)踐所起的積極作用。一般說(shuō)來(lái)，隨著(zhù)數學(xué)的發(fā)展，理想元素在數學(xué)中占據著(zhù)越來(lái)越重要的位置。正如數學(xué)史家M.克萊因所指出：1700年以后，越來(lái)越多的、更遠離自然界的、從人的腦子中源源不斷地涌出的概念，進(jìn)入了數學(xué)。它們逐漸取代了那些“直接觀(guān)念性”的概念，并在數學(xué)中占據了主導的地位。列寧曾指出：幻想是極其可貴的品質(zhì)，有人認為，只有詩(shī)人才需要幻想，這是沒(méi)有理由的，這是愚蠢的偏見(jiàn)！甚至在數學(xué)上也需要幻想的，甚至沒(méi)有它就不可能發(fā)明微積分。由于數學(xué)研究對象的抽象性，就決定了數學(xué)學(xué)習的抽象思維特征，這種抽象性，當尚未熟悉它的思維方法時(shí)，似乎感到很難把思維特征也是可以辦到的。
只要我們通過(guò)初等數學(xué)、高等數學(xué)課程的認真學(xué)習，仔細體會(huì )它的概念和論證方法的抽象特征，自覺(jué)學(xué)習、運用這種思維方法來(lái)思考和分析問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓練，便可逐步培養起這種抽象思維能力。借助于邏輯學(xué)的幫助而建立起來(lái)的數學(xué)體系，具有一個(gè)突出的特點(diǎn)，就是它在邏輯上的嚴密性。無(wú)論是在高等數學(xué)還是初等數學(xué)中，嚴密性都是至關(guān)重要的。雖然嚴密性是相對而言的，它隨著(zhù)科學(xué)及數學(xué)的發(fā)展在變化著(zhù)。過(guò)去被大數學(xué)家認為是嚴密的證明，今天卻因其不完善而被拋棄的情形也屢見(jiàn)不鮮。然而，嚴密性的要求畢竟在始終不斷推進(jìn)著(zhù)數學(xué)研究的向前發(fā)展，它使數學(xué)（特別是在數學(xué)基礎方面）在實(shí)質(zhì)上和面貌上發(fā)生了很大的變化�；谶@種意義，可以認為，現今以一組不證明的命題、一組不定義的術(shù)語(yǔ)為基礎的公理數學(xué)，才是最嚴格最廣泛最抽象的科學(xué)體系。今天，我們在大學(xué)或中學(xué)中學(xué)習數學(xué)，雖然沒(méi)有必要過(guò)分強調演繹論證的訓練，但必要的邏輯推理訓練是不可少的，因為它是創(chuàng )造性數學(xué)思維中不可少的工具。
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