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參數方程在解題中的廣泛應用
參數方程在解析幾何中是一個(gè)十分重要的內容，而且是高中數學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。近幾年來(lái)高考對參數方程和極坐標的要求稍有降低，但是，可用參數方程求解的問(wèn)題和內容有所增加且與三角函數聯(lián)系緊密。本文以具體的例子闡述參數方程的廣泛應用。
一、探求幾何最值問(wèn)題
有時(shí)在求多元函數的幾何最值有困難，我們不妨采用參數方程進(jìn)行轉化，化為求三角函數的最值問(wèn)題來(lái)處理。
例1（1984年考題） 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為△ABC的內切圓的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。
解 由，運用正弦定理，可得：
∵sinA·cosA=sinB·cosB
∴sin2A=sin2B
由A≠B，可得2A=π-2B。
∴A+B=，則△ABC為直角三角形。
又C=10,，可得：
a=6,b=8,r=2
如圖建立坐標系，則內切圓的參數方程為
所以圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα
因0≤α＜2π，所以
例2 過(guò)拋物線(xiàn)�。╰為參數，p＞0）的焦點(diǎn)作傾角為θ的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，設0＜θ＜π，當θ取什么值時(shí)，｜AB｜取最小值。
解 拋物線(xiàn)�。╰為參數）
的普通方程為=2px，其焦點(diǎn)為。
設直線(xiàn)l的參數方程為：
�。é葹閰担�
代入拋物線(xiàn)方程＝2px得：
又∵0＜θ＜π
∴當θ=時(shí)，｜AB｜取最小值2p。
二、解析幾何中證明型問(wèn)題
運用直線(xiàn)和圓的標準形式的參數方程中參數的幾何意義，能簡(jiǎn)捷地解決有關(guān)與過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離有關(guān)的問(wèn)題。
例3 在雙曲線(xiàn)中，右準線(xiàn)與x軸交于A(yíng)，過(guò)A作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于B、C兩點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F作AC的平行線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。
證明 設F點(diǎn)坐標為(c,0)，
A點(diǎn)坐標為(,0)。
又，設AC的傾角為α，則直線(xiàn)AC與MN的參數方程依次為：
將①、②代入雙曲線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得：
同理，將③、④代入雙曲線(xiàn)方程整理得：
�。麱M｜·｜FN｜=
∴｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。
雙曲線(xiàn)的一條準線(xiàn)與實(shí)軸交于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引一直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，又過(guò)一焦點(diǎn)F引直線(xiàn)垂直于A(yíng)B和雙曲線(xiàn)交于C、D兩點(diǎn)，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
證明 由已知可得。設直線(xiàn)AB的傾角為α，則直線(xiàn)AB
的參數方程為
�。╰為參數）
代入，可得：
據題設得直線(xiàn)CD方程為�。╰為參數）
代入，得：，從而得，
即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
三、探求解析幾何定值型問(wèn)題
在解析幾何中點(diǎn)的坐標為(x,y)，有二個(gè)變元，若用參數方程則只有一個(gè)變元，則對于有定值和最值時(shí)，參數法顯然比較簡(jiǎn)單。
例5 從橢圓上任一點(diǎn)向短軸的兩端點(diǎn)分別引直線(xiàn)，求這兩條直線(xiàn)在x軸上截距的乘積。
解 化方程為參數方程：
�。é葹閰担�
設P為橢圓上任一點(diǎn)，則P(3cosθ,2sinθ)。
于是，直線(xiàn)BP的方程為：
直線(xiàn)的方程為：
令y=0代入BP,的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。
故截距之積為：（）·（）=9。
四、探求參數的互相制約條件型問(wèn)題
例6 如果橢圓與拋物線(xiàn)=6(x-n)有公共點(diǎn)，試求m、n滿(mǎn)足
的條件。
分析 如果本題采用常規的代入消元法，將其轉化為關(guān)于x的一元二次方程來(lái)解，極易導致錯誤，而且很難發(fā)現其錯誤產(chǎn)生的原因。若運用參數方程來(lái)解，則可“輕車(chē)熟路”，直達解題終點(diǎn)。
解 設橢圓的參數方程為
拋物線(xiàn)的參數方程為
�。╰為參數）
因它們相交，從而有：
由②得：
代入①得：
配方得：。即
∵1≤≤9 ∴-2≤n-m≤2
所以｜m-n｜≤2為兩曲線(xiàn)有公共點(diǎn)的條件。
注：特別地，當n=3/2時(shí)，即為廣東省1985年高考理科第34題。
作者：不詳
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