初中數學(xué)培訓總結

　　總結是事后對某一階段的學(xué)習或工作情況作加以回顧檢查并分析評價(jià)的書(shū)面材料，它可以幫助我們總結以往思想，發(fā)揚成績(jì)，不妨坐下來(lái)好好寫(xiě)寫(xiě)總結吧。但是總結有什么要求呢？下面是小編整理的初中數學(xué)培訓總結，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

初中數學(xué)培訓總結1

　　20xx年9月7日至25日，我有幸參加了由保定學(xué)院承擔的河北省省初中數學(xué)骨干教師培訓。這次培訓對于自己收益很大，培訓時(shí)間安排合理緊湊，老師們講課精彩，教學(xué)內容豐富多彩。這次培訓給我們提供了一個(gè)再學(xué)習、再提高的機會(huì )，讓我們能聚集在一起相互交流，共同學(xué)習，取長(cháng)補短，共同提高。通過(guò)這次培訓，收獲很多，眼界開(kāi)闊了，思考問(wèn)題能站在更高的境界，許多疑問(wèn)得到了解決或者啟發(fā)。我們不僅學(xué)到了豐富的知識，進(jìn)一步提高了業(yè)務(wù)素質(zhì)�，F總結如下：

　　一、更新了教育教學(xué)觀(guān)念，以新觀(guān)念指導教學(xué)

　　時(shí)代在不斷進(jìn)步，社會(huì )在不停前行。同樣，教育教學(xué)理念也應與時(shí)俱進(jìn)。特別是隨著(zhù)新課程改革的縱深發(fā)展，很多教育教學(xué)中的深層次問(wèn)題不斷地暴露，這時(shí)候更需要理論的指示與專(zhuān)家的引領(lǐng)。對于我個(gè)人而言，這次培訓無(wú)疑是一場(chǎng)“及時(shí)雨”，不僅對理清新課改中的種種關(guān)系有幫助，而且對突破新時(shí)代教育教學(xué)中一些“瓶頸”問(wèn)題提供新的解決思路與方法。

　　首都師大博導、新課標研制組組長(cháng)王尚志教授的《整體把握新課程下的初中數學(xué)》的專(zhuān)題報告。他細致的分析了新課改的一些重大變化，如有原來(lái)常提的雙基改為了四基，兩種能力也增為四種能力，這些都對一線(xiàn)教師產(chǎn)生了深深的觸動(dòng)，并對一線(xiàn)教師提出了新的要求。如何在教學(xué)中落實(shí)成為新時(shí)期一線(xiàn)數學(xué)教師所面臨的問(wèn)題，同時(shí)也提出了初中數學(xué)教學(xué)不要僅僅局限于數學(xué)課堂，要提高各方面知識和能力。

　　二、更新了教育教學(xué)知識，結合新知識服務(wù)教學(xué)

　　教師要知識的更新與教學(xué)藝術(shù)的更新。作為數學(xué)老師，他應是始終站在科學(xué)知識岸邊的擺渡人，傳承知識與文化；他應是學(xué)生靈魂的塑造師與精神垃圾的清道夫。所以，作為數學(xué)教師必須時(shí)時(shí)保持充電的狀態(tài)，此次培訓無(wú)疑是一次良好的機會(huì )。經(jīng)過(guò)培訓，就我個(gè)人而言，不僅在學(xué)科知識方面得到一次全面的補充，而且在教學(xué)藝術(shù)方面得一次新的補充。

　　人民教育出版社中學(xué)數學(xué)室主任、課程教材研究所研究員章建躍博士《有效改進(jìn)課堂教學(xué)》的專(zhuān)題報告，對初中數學(xué)的教學(xué)目標，課堂設計進(jìn)行了深入的闡釋?zhuān)�提出這是聚焦課堂的教學(xué)研究的最直接的方式方法。保定市數學(xué)教研員徐建樂(lè )老師《進(jìn)一步理解新課程下的教與學(xué)》，保定市新市區數學(xué)教研員王衛國老師《數學(xué)復習課設計的實(shí)踐與思考》等專(zhuān)題報告都從具體教學(xué)設計、教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習的方面對初中學(xué)學(xué)教學(xué)從不同方面進(jìn)行了細致分析和講解。同時(shí)強調現在的教師需要有反思精神，需要掌握教育學(xué)知識，才能成長(cháng)為學(xué)生喜歡的教師。

　　總之，教育是一門(mén)藝術(shù)，需要老師不斷的自己更新，才能更上一層樓。

　　三、觀(guān)摩了名師教育教學(xué)，合理吸收利用于教學(xué)

　　此次培訓活動(dòng)的一大特色就是理論聯(lián)系實(shí)際。不僅聆聽(tīng)了專(zhuān)家的解讀，而且近距離地學(xué)習了名師的教育教學(xué)藝術(shù)和班級管理藝術(shù)。

　　保定三中章魏老師的《把握數學(xué)本質(zhì)，打造有效數學(xué)課堂》，他通過(guò)多達42個(gè)實(shí)際課例講授了提高數學(xué)素質(zhì)是實(shí)現有效課堂的前提及教師應具備的數學(xué)學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識等內容，通過(guò)多達幾十個(gè)實(shí)例具體講解課堂的各環(huán)節設計。讓學(xué)生發(fā)現提出問(wèn)題能力的培養，作為教師首先就要對教材細琢磨，換個(gè)角度多想想，發(fā)現提出問(wèn)題，才符合新形勢下對我們一線(xiàn)教師的要求！

　　觀(guān)摩了徐水二中許春英教師、北京九中三名教師、保定七中教師的教學(xué)，大家積極開(kāi)展研討，研討中沒(méi)有虛假的恭維，只有真知灼見(jiàn)、真實(shí)流露；沒(méi)有形式上的大話(huà)、套話(huà)，只有深入思考后的針?shù)h相對�，F場(chǎng)研討，成為思維交鋒、不同地域多元教研文化交融的平臺，感覺(jué)收獲頗豐。

　　四、理解了教師成長(cháng)，加速成長(cháng)要引領(lǐng)教學(xué)

　　教育的發(fā)展，關(guān)鍵在教師的成長(cháng)。教師是學(xué)校發(fā)展的基石，學(xué)校的軟實(shí)力來(lái)自己于擁有一只業(yè)務(wù)能力強，團結敬業(yè)的教師隊伍。對于個(gè)人而言，教師的成長(cháng)不僅是時(shí)代的要求，更是適當現代教育的需要。此次培訓，很多專(zhuān)家與同仁重點(diǎn)談了教師如何規劃自己的成長(cháng)之路，成為名師，成為教育家。

　　如保定學(xué)院韓素蘭教授的《求解中學(xué)教師科研難題》的報告中關(guān)于中學(xué)教師研究解疑的講解條理清晰，研究及書(shū)寫(xiě)論文步驟詳細，并且每點(diǎn)都聯(lián)系了大量實(shí)際案例，實(shí)際操作性強，聽(tīng)起來(lái)很清楚明白，頓時(shí)覺(jué)得課題寫(xiě)論文也并不是一件難事。保定學(xué)院常務(wù)副院長(cháng)朱紅素教授《適者生存，強者精彩———骨干教師成長(cháng)為名師的.歷程》從名師的界定、特征解讀、條件闡述、成長(cháng)路徑等四個(gè)方面進(jìn)行了講解。提出作為名師要具備或盡快培養較強的個(gè)人能力：精于教學(xué)、長(cháng)于教研、善于寫(xiě)作。保定學(xué)院數學(xué)系主任周和月教授《幾何畫(huà)板與中學(xué)數學(xué)教學(xué)》學(xué)到了利用幾何畫(huà)板達到更好的教學(xué)要求實(shí)現教學(xué)目標。

　　五、結識了全省教學(xué)名師，促進(jìn)兄弟學(xué)校聯(lián)系教學(xué)

　　此次培訓是一個(gè)很好的平臺，參加培訓的都是全省教學(xué)一線(xiàn)的精英、名師，對教育教學(xué)都是自己獨到的見(jiàn)解。所以此次培訓是一個(gè)非常好的相互學(xué)習的機會(huì )，平時(shí)大家一起學(xué)習共同交流。認識，在交流中提升；情感，在交流中深化。同時(shí)，通過(guò)此次機會(huì )，建立友誼的紐帶亦為樂(lè )事。創(chuàng )辦的qq群，成為了大家各在一方時(shí)交流的平臺。

　　六、積極發(fā)揮示范引領(lǐng)作用，促進(jìn)學(xué)校的教育教學(xué)

　　集中培訓后，我主動(dòng)將這次培訓的成果帶回單位，充分發(fā)揮骨干教師的作用，積極示范，大膽引領(lǐng)，帶領(lǐng)全校的數學(xué)教師投入到學(xué)校教育教學(xué)改革中。在教研組活動(dòng)中，我積極解答教師教學(xué)中遇到的各種難題，引導互動(dòng)和交流，促進(jìn)了大家的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)的成長(cháng)。

　　參加省級骨干教師培訓是自己成長(cháng)路上的一次重要經(jīng)歷，我格外珍惜。培訓時(shí)積極認真，回到學(xué)校，我對自己嚴格要求，事事仔細，目的就是要將學(xué)校的年輕教師都培養出來(lái)。我相信，通過(guò)這次培訓，我在初中數學(xué)教學(xué)的大路上一定會(huì )走得更穩更遠！

初中數學(xué)培訓總結2

　　“國培計劃”送教下鄉培訓在河西鄉九年一貫制學(xué)校開(kāi)班。來(lái)自全縣八鄉鎮、城區一小、二小教師，縣民族中學(xué)教師，縣教師進(jìn)修學(xué)校及縣教育局教研室工作人員共計140余人參加了此次培訓。本次培訓為期3天，培訓以專(zhuān)題講座、案例分析、同課異構等方式進(jìn)行，旨在推進(jìn)“國培計劃”實(shí)施，提升鄉村教師職業(yè)道德素養和課堂教學(xué)能力，打造一支“用得上、干得好”的高素質(zhì)鄉村教師隊伍，推進(jìn)全縣基礎教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展。

　　5月7日上午，開(kāi)班典禮在河西鄉九年一貫制學(xué)校小學(xué)部會(huì )議室舉行。儀式上，縣教師進(jìn)修學(xué)校校長(cháng)楊春雁介紹了蘭坪縣“國培計劃”送教下鄉培訓的目的、意義和日程安排，并對全體學(xué)員作了培訓紀律要求，一是在培訓期間，不忘初心，牢記使命，認真學(xué)習，掌握先進(jìn)的教育教學(xué)理論，提高自己的實(shí)踐能力，成為教育改革的奮進(jìn)者、教育扶貧的先行者；二是積極主動(dòng)參與到教學(xué)活動(dòng)，讓國培觀(guān)念真正深入人心；三是要相互關(guān)心，相互幫助，加強交流合作，強化實(shí)踐教學(xué)能力，營(yíng)造良好的培訓氛圍，為基礎教育事業(yè)的發(fā)展做出應有的貢獻。

　　隨后，楊福賢老師以圖文并茂的方式，從認識壓力、壓力的來(lái)源、壓力管理的根本等方面給全體學(xué)員講授了題為《身心如一當老師——談新時(shí)代教師的壓力與情緒管理》的講座。全體學(xué)員認真聽(tīng)講并做好學(xué)習筆記，并在課間與培訓老師積極交流教育教學(xué)。

　　下午，來(lái)自云南民族大學(xué)附屬中學(xué)的王啟兵老師給七年級（1）班上示范課《不等式及其解集》。王老師在授課中面向全體學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的深層思考和情感投入，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，獨立思考，并組織學(xué)生進(jìn)行當堂練習，學(xué)以致用。學(xué)生認真做練習，老師耐心指導。王啟兵老師結合自己多年的'教學(xué)經(jīng)驗給國培學(xué)員們分享了《怎么來(lái)備課》。

　　蘭坪縣民族中學(xué)數學(xué)老師和文勇、河西九年一貫制學(xué)校李尚寶老師、中排中學(xué)張艷梅三位老師分別給八年級的學(xué)生上同課異構《中位數和眾數》，課堂上，各位老師創(chuàng )設情境、引出新知，有效地組織和引導學(xué)生從邏輯推理中理解和區分中位數和眾數定義，課堂氛圍十活躍。通甸中學(xué)和春紅、營(yíng)盤(pán)中學(xué)和興倡兩位老師分別給七年級的學(xué)生上同課異構《加減消元法解二元一次方程組》。

　　老師們都能專(zhuān)心致志，全神貫注，認真的聆聽(tīng)和記錄。通過(guò)磨課、研課、示范課對課堂教學(xué)問(wèn)題進(jìn)行診斷與聚焦。體現人人參與，人人反思，人人總結，聽(tīng)課教師直言不諱，暢所欲言。磨課后授課教師虛心聽(tīng)取了大家的意見(jiàn)，及時(shí)改進(jìn)不足，使整個(gè)教研組形成了良好的教研氛圍。

　　為期三天的培訓圓滿(mǎn)結束，此次培訓幾個(gè)方面都給予肯定，一是培訓目的任務(wù)明確，緊緊圍繞“研課磨課”、“同課異構”，最終圓滿(mǎn)完成培訓任務(wù)，達到預期效果。二是此次培訓組織嚴密，各項工作扎實(shí)有序進(jìn)行。三是上課教師準備充分，高質(zhì)量完成上課任務(wù)，得到大多參培學(xué)員的高度認可。四是所有參培學(xué)員全勤，認真參與各項活動(dòng)。聽(tīng)課專(zhuān)心，評課用心，發(fā)言踴躍積極。他們表示：返崗后將此次培訓的知識帶到工作中，用到實(shí)踐中，不辱使命，繼續前行，用自己的行動(dòng)和成績(jì)證明我們是學(xué)到做到的數學(xué)人；我們是愛(ài)崗敬業(yè)，銳意進(jìn)取的數學(xué)人。他們表示：對數學(xué)專(zhuān)業(yè)知識和上課技能的提高只有起點(diǎn)，沒(méi)有終點(diǎn)，始終在路上……

初中數學(xué)培訓總結3

　　從20xx年8月1日起，我開(kāi)始了一段難忘的遠程網(wǎng)絡(luò )培訓歷程。通過(guò)網(wǎng)絡(luò )上的理論學(xué)習和一些老師具體的課堂案例學(xué)習、專(zhuān)家的經(jīng)典點(diǎn)評，使我認識到應該如何把握初中數學(xué)課堂教學(xué)。我認識到應該怎樣突破教材的重點(diǎn)難點(diǎn)；怎樣才能深入淺出；怎樣培養學(xué)生的探索精神和穿心能力；怎樣才能順利打通學(xué)生的思維通道、掌握一定的學(xué)習要領(lǐng)，形成良好的數學(xué)素養；怎樣才能將一根根主線(xiàn)貫穿于我們的日常教學(xué)過(guò)程之中。

　　一、培訓形式多樣，內容豐富

　　在崗研修各學(xué)員在各自任職學(xué)校進(jìn)行，在職學(xué)校按照培訓要求監督教師完成規定的學(xué)習、研究任務(wù)。培訓主要采用分散自學(xué)的形式；專(zhuān)題講座與交流討論相結合；理念研討與實(shí)踐探究相結合的方式進(jìn)行。

　　遠程集中培訓分選修課程、必修課程。選修課程包括教師職業(yè)生涯與教師幸福追求；現代教育理念與心理教育；認識的歷史發(fā)生原理及其教育意蘊。必修課程包括數學(xué)教堂的有限性；開(kāi)放題的編制與教學(xué)；優(yōu)化數學(xué)設計、幫助學(xué)生發(fā)展；新課程實(shí)踐中的`教學(xué)理論；從數學(xué)史看數學(xué)文化價(jià)值；初中數學(xué)與高中數學(xué)教學(xué)的銜接；聚焦課堂——通過(guò)研究改進(jìn)教學(xué)；文化浸潤的數學(xué)課堂教學(xué)設計與案例展示等。

　　二、培訓的主要收獲

　　這次培訓，從培訓的理念、教學(xué)方式以及授課老師的選擇，國家教育部門(mén)都經(jīng)過(guò)了精心的安排和準備。聘請特級教師、國家級學(xué)科帶頭人教師，構建“導師引領(lǐng)，師生互動(dòng)，同伴互助”科學(xué)高效的培訓模式。這些人來(lái)自一線(xiàn)，自身條件好，給成長(cháng)中的教師培訓對象以很大的啟迪，從而使培訓效果最大化。

　　1、學(xué)員參與互動(dòng)

　�。�1）組織即時(shí)性的課堂研討和交流

　　數學(xué)培訓班根據教師培訓的特點(diǎn)、任務(wù)和要求，學(xué)員們積極主動(dòng)參加各項培訓活動(dòng)，開(kāi)展教學(xué)互動(dòng)。

　�。�2）組織專(zhuān)題類(lèi)的班組研討交流

　　在集中培訓期間，組織了幾次網(wǎng)絡(luò )數學(xué)沙龍活動(dòng)，學(xué)員就新課改下的數學(xué)課堂教學(xué)，與專(zhuān)家對話(huà)。

　�。�3）組織網(wǎng)絡(luò )類(lèi)的研討交流

　　數學(xué)班簡(jiǎn)歷了QQ群、個(gè)人博客、公共郵箱，常常在網(wǎng)上相互交流。

　　2、及時(shí)進(jìn)行教學(xué)反饋

　　為保證培訓課成的質(zhì)量，班級加強了教學(xué)評估工作，及時(shí)做好教學(xué)反饋。組織學(xué)員隊每一位的講課，從專(zhuān)題選擇、講課質(zhì)量、教學(xué)方式、培訓效果等四個(gè)方面給予評分，然后結合定性分析，對每一位數學(xué)教師教學(xué)效果做出客觀(guān)評價(jià)。

　　3、實(shí)現了方法到理論的提升

　　教育教學(xué)理論的提升是本次培訓的一個(gè)重點(diǎn)，授課教師從不同層面不同角度對教育發(fā)展的歷史、現狀、和發(fā)展趨勢以及新課程改革中的焦點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行方方面面精辟獨到的剖析，“用數學(xué)的眼光觀(guān)察世界”、用熟練的教育技巧和貼切的教育案例，為學(xué)員們做了很好的示范。

　　4、教學(xué)實(shí)戰能力得到加強

　　本次培訓充分關(guān)注培訓教師的實(shí)際需要，不僅在大的緯度上幫助教師構建理論體系，同時(shí)更關(guān)注新課程背景下課堂教學(xué)深層問(wèn)題。先進(jìn)的教學(xué)理念及其別具一格的教學(xué)風(fēng)格使每位參培學(xué)員在觀(guān)摩、思考、碰撞中得到提高，感動(dòng)著(zhù)學(xué)員們一顆顆驛動(dòng)的心。整個(gè)培訓活動(dòng)從實(shí)際到理論，再由理論到實(shí)際，循序漸進(jìn)，降低了學(xué)習的難度，提高了學(xué)習的實(shí)效。

　　緊張有序的培訓為我們數學(xué)班打開(kāi)了一扇窗，讓我們通過(guò)這扇窗開(kāi)辟了一片新視野。通過(guò)近兩個(gè)月來(lái)幾個(gè)階段的培訓學(xué)習，對數學(xué)班全體學(xué)員在理論和實(shí)踐上都提升了一個(gè)臺階，我們會(huì )把所學(xué)的運用到實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中去，帶動(dòng)一校，輻射一片，爭取在以后的工作中做得更好，更有成就。

初中數學(xué)培訓總結4

　　一、主要成績(jì)

　　在學(xué)校領(lǐng)導的正確領(lǐng)導下，本人按照學(xué)年初制定的輔導計劃加以實(shí)施，并不斷加以充實(shí)和完善，積極進(jìn)行輔導改革，悉心研討和實(shí)踐，旨在如何最大限度的調動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。經(jīng)過(guò)師生的共同努力，最終獲得了國家級數學(xué)三等獎，

　　二、具體做法

　　數學(xué)競賽是青少年科學(xué)素質(zhì)教育的一種不可忽視的方式，是發(fā)現人才、選拔人才、培養人才的一種有效途徑，成為現代數學(xué)課外教育的一個(gè)重要組成部分。

　�。ㄒ唬┻x苗

　　1、摸底篩選：首先，了解學(xué)生中的奧數選手和思維敏捷、解題速度快的學(xué)生，其次，在期初進(jìn)行一次摸底考試，把成績(jì)優(yōu)異者和了解到的兩類(lèi)學(xué)生結合考慮，從中選出50人組成課外興趣小組。

　　2、期中觀(guān)察篩選：由于初二到初三是一個(gè)飛躍階段，學(xué)生變化較大，初二基礎好，到初三也有右能不適應，初二不怎么好，升入初三后，隨著(zhù)環(huán)境、年齡的.改變，可能會(huì )脫穎而出，初三第一學(xué)期教師要細心觀(guān)察、分析、特色合適的人選。從第二學(xué)期開(kāi)始，對興趣小組進(jìn)行調整。人選的基本要求：（1）踏實(shí)認真肯吃苦；（2）勇于拼搏有競爭意識；（3）思維敏捷、解題速度快，（4）學(xué)習成績(jì)中等偏上。

　�。ǘ�）、擇材

　　1、所選輔導教材要求淺顯易懂，技巧性強，方法別具一格，也有一定的權威性，不斷充實(shí)一些教材，雜志作參考，以取百家之長(cháng)

　　2、競賽輔導例題、習題的選擇應注意針對性、階梯性、典型性、多解性、靈活性。

　　1）針對性：一是針對學(xué)生實(shí)際，在學(xué)生可接受的基礎上加深加寬，不能盲目拔高。

　　2）階梯性：從易到難，由基礎知識訓練到技能技巧的培養，層層遞進(jìn)。

　　3）典型性：具有代表性，能代表一類(lèi)題型，有舉一反三的作用，吃透幾個(gè)題，就能駕馭一大批題。

　　4）多解性：這里的“解”，包含兩層意思，一是一題有多種解法，從不同的角度利用不同的知識，獲得相同的結果。

　　5）靈活性：題型靈活多變，技巧性強，往往用常規的方法不能解或解法很繁，而用某種特殊方法解卻易如反掌。

　�。ㄈ�）、輔導

　　1、時(shí)間：一般每星期進(jìn)行兩次集體輔導。分散時(shí)間，分散教材，做到步步扎穩，層層落實(shí)。定時(shí)布置、檢查，批改數學(xué)競賽練習。

　　2、方法：（1）制定輔導計劃，多詢(xún)問(wèn)，多督促，多鼓勵，多指導。指導他們看一些競賽書(shū)籍與雜志，積極參加各家雜志舉辦的數學(xué)競賽；給他們指導解題方法與技巧。對這部分學(xué)生，鼓勵他們自學(xué)，提前完成課堂任務(wù)，抽出一定的時(shí)間，讓他們越級聽(tīng)課，越級參賽。

　�。�2）變式。設置變式訓練，使學(xué)生舉一反三，一題多變，多題一解，活躍課堂氣氛，提高分類(lèi)、比較、歸納能力，會(huì )收到事半功倍之效果。

　�。�3）專(zhuān)題。根據教材特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，定期設置重點(diǎn)課題進(jìn)行專(zhuān)題教學(xué)。如“應用題”、“全等三角形”、“根與系數關(guān)系”等等，以期突出重點(diǎn)，攻破難點(diǎn)。

　�。�4）、競賽。定期進(jìn)行課堂小組競賽，一是檢查學(xué)生培訓情況。二是表彰成績(jì)好的學(xué)生，以提高學(xué)生的學(xué)習興趣和競爭意識。這也可以作為一種參賽學(xué)習。

　�。�5）、參賽前進(jìn)行心理素質(zhì)、應試策略、典型的重要解題方法，數學(xué)思想、數學(xué)原理等輔導。使之有良好的心理準備，臨場(chǎng)時(shí)高水平和超水平地發(fā)揮。

　　數學(xué)競賽，作為一種智力、能力和美的競賽，豐富了學(xué)生的課外活動(dòng)內容，訓練了學(xué)生的心理素質(zhì)，激發(fā)了學(xué)生的上進(jìn)心和創(chuàng )造性思維。

初中數學(xué)培訓總結5

　　經(jīng)過(guò)幾天的初中數學(xué)培訓，我受益匪淺，感受很多。近幾年來(lái)，伴隨著(zhù)新的課程改革的實(shí)施，教材內容也不斷變化，為了適應這一變化改革的趨勢，我在教學(xué)理念和教學(xué)方法上也發(fā)生了相應的轉變，同時(shí)也產(chǎn)生了一些困惑和疑問(wèn)。而恰在這樣的時(shí)候，培訓班開(kāi)課了，我十分榮幸的成為了其中的一名成員。在培訓期間，我克服了家庭、生活上和工作中的各種困難，每天準時(shí)到校，在課堂上我們認真聆聽(tīng)了一些數學(xué)專(zhuān)家、教授和名師的講座和講課，讓我更加深入理解和掌握新課程的理念，提高了對新課程的認識。下面是我這幾天培訓的一些粗淺的體會(huì )：

　　一、經(jīng)過(guò)專(zhuān)家的講解，使我清晰地認識到初中數學(xué)新課程的大致內容

　　通過(guò)培訓學(xué)習，我清楚地認識到初中數學(xué)新課程內容的增減與知識的分布。使我不僅要從思想上認識到初中數學(xué)新課程改革的重要性和必要性，而且也要從自身的知識儲備上為初中數學(xué)新課程改革作好充分的準備。一成不變的`教材與教法是不能適應于社會(huì )的發(fā)展與需求的。哪些是中考必考內容，哪些是選講內容，應該分別講解到什么程度，都要做到心中有數。這樣才能做到面對新教材中的新內容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問(wèn)題產(chǎn)生陌生感和緊張感。通過(guò)學(xué)習，使我清楚地認識到初中數學(xué)新課程的組成模塊及知識點(diǎn)，明白了各知識點(diǎn)之間又有的聯(lián)系與區別。對于課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內容，應視學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。初中數學(xué)新課程的改革是為了更好地適應社會(huì )發(fā)展與人才需求而制定的。為了更好地適應社會(huì )發(fā)展與需求，作為教師理應先行一步，為社會(huì )的發(fā)展與變革作出自己的一份貢獻。

　　二、通過(guò)培訓學(xué)習，使我清楚地認識到整體把握初中數學(xué)新課程的重要性及其常用法

　　整體把握初中數學(xué)新課程不僅可以使我們清楚地認識到初中數學(xué)的主要脈絡(luò )，而且可以使我們站在更高層次上以一覽眾山小的姿態(tài)來(lái)面對初中數學(xué)新課程，提高教師自身的素質(zhì)，也有助于培養學(xué)生的數學(xué)素養。只有清晰地認識并把握好數學(xué)的主線(xiàn)，才能更好地將知識有機地聯(lián)系起來(lái)。較好的整體把握初中數學(xué)新課程、清晰地認識并把握好數學(xué)的主線(xiàn)，對于一個(gè)初中數學(xué)教師是非常有必要的，也是非常有意義的。

　　三、通過(guò)老師具體的課堂案例學(xué)習，使我認識到應該如何把握中數學(xué)課堂教學(xué)

　　通過(guò)專(zhuān)家的經(jīng)典點(diǎn)評剖析，明白了怎樣才能突破教材的重點(diǎn)難點(diǎn)；怎樣才能深入淺出；怎樣才能順利打通學(xué)生的思維通道、掌握一定的學(xué)習要領(lǐng)，形成良好的數學(xué)素養；怎樣才能將一根根主線(xiàn)貫穿于我們的日常教學(xué)過(guò)程之中。我們已經(jīng)認識到新的中考越來(lái)越傾向于“重視基礎，能力立意”�！爸匾暬�礎”，意思就是從最基本的知識出發(fā)。從近幾年的中考試題中不難發(fā)現，幾乎所有的試題，追根求源，都能在課本中找到它的“根”；所謂“能力立意”，意思是說(shuō)試題不是基礎知識的簡(jiǎn)單堆砌，而是精心巧妙的組裝，通過(guò)這種組裝，題目就給人一種新穎、陌生感�！爸匾暬�礎，能力立意”不但是高等學(xué)府選拔人才的需要，也是莘莘學(xué)子將來(lái)從事各種工作研究和解決生活、社會(huì )問(wèn)題的需要。因此，一個(gè)優(yōu)秀的教師應該通過(guò)把握課堂教學(xué)來(lái)達到以下兩個(gè)目標：一方面，通過(guò)我們的日常教學(xué)，能有效地幫助學(xué)生提高學(xué)習成績(jì)，以便升入理想的大學(xué)繼續深造；另一方面，從根本上提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為將來(lái)的持續發(fā)展奠定基礎。

　　總之，通過(guò)此次學(xué)習，不僅使自己的眼界得以開(kāi)闊，而且使自己對初中數學(xué)新課程有了更深層次的認識和理解，這無(wú)疑將對我今后的教學(xué)工作產(chǎn)生積極而深遠的影響。在今后的教學(xué)工作中我還會(huì )進(jìn)行不斷的反思與改進(jìn)，讓自己的教學(xué)教育工作日趨成熟。

　　同時(shí)，也希望以后經(jīng)常有機會(huì )參這樣加培訓學(xué)習。

初中數學(xué)培訓總結6

　　11月4號，在房縣實(shí)驗中學(xué)很榮幸觀(guān)摩學(xué)習了省特級教師帶來(lái)的示范課及講座！本次數學(xué)班培訓，內容豐富，形式多樣，有黃石市八中特級教師教師郭茂榮、黃石市第十四中學(xué)的特級教師查婉蘭及武漢一中骨干教師湯曉丹等教學(xué)專(zhuān)家的示范課。這一天，培訓既有理論提升又有實(shí)踐聽(tīng)課，既有專(zhuān)家講座，又有互動(dòng)交流，面對不同風(fēng)格的名師感覺(jué)是幸福而又充實(shí)的。在這里，使我更進(jìn)一步了解和掌握了新課改的發(fā)展方向和目標，從數學(xué)文化和素質(zhì)教育的角度進(jìn)一步認識了數學(xué)的價(jià)值、數學(xué)的美。反思了以往工作中的不足，使自己收獲不小，使我的教育觀(guān)念進(jìn)一步得到更新，真是受益匪淺。下面是我通過(guò)培訓獲得的點(diǎn)滴體會(huì )：

　　一、培訓內容安排豐富多彩，和專(zhuān)家面對面交流

　　本次培訓活動(dòng)，即安排了貼近我們實(shí)際教學(xué)的課堂教學(xué)活動(dòng)，又安排了生動(dòng)的知名的專(zhuān)家講座，做到了理論聯(lián)系實(shí)際，活動(dòng)內容豐富多彩。我們坐下來(lái)和知名專(zhuān)家進(jìn)行交流，有針對性地聽(tīng)課，解決了自己在課堂教學(xué)中解決不了的問(wèn)題，了解和接受最新的教育理論，課堂動(dòng)態(tài)，專(zhuān)家們理論與聯(lián)系實(shí)際的精彩講解，使我們聽(tīng)課者備受鼓舞。王國君老師的講座，讓我感到自己還停留在經(jīng)驗型教師的層面上，讓我看到自己雖然有執著(zhù)的工作信念，但教學(xué)的反思是及其不夠的，美國心理學(xué)家波斯納提出了教師成長(cháng)的公式：成長(cháng)=經(jīng)驗+反思。如果一個(gè)教師僅僅滿(mǎn)足于獲得經(jīng)驗而不對經(jīng)驗進(jìn)行深入的思考，那么、即使是有“20年的教學(xué)經(jīng)驗，也許只是一年工作的20次重復；這樣他永遠只能停留在一個(gè)新手型教師的水準上”。充分說(shuō)明了總結自己的教育，思考自己的教育行為之重要。使我的思想上受到了震撼，我要不斷地反思自己的教學(xué)，尋找自己的差距。

　　二、培訓產(chǎn)生了思維的觸動(dòng)，欲逐步更新教學(xué)行為

　　通過(guò)理論與實(shí)踐的培訓，對我來(lái)說(shuō)，受益頗多。從現場(chǎng)課中，我們感受到了濃濃課改的氣息，教師積極創(chuàng )新的意識；從專(zhuān)家的講座報告中，我們領(lǐng)略了數學(xué)最前沿的理論，怎樣才能成為研究型的教師。通過(guò)本次學(xué)習活動(dòng)給我很大的啟示。

　　一數學(xué)教師應有的教學(xué)方式：

　　新課程強調教學(xué)過(guò)程是師生交往、共同發(fā)展的互動(dòng)過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中要處理好傳授知識與培養能力的關(guān)系，注重培養學(xué)生的獨立性和自主性，引導學(xué)生質(zhì)疑、調查、探究，在實(shí)踐中學(xué)習，使學(xué)習成為在教師指導下主動(dòng)的、富有個(gè)性的過(guò)程。教師應尊重學(xué)生的人格，關(guān)注個(gè)體差異，滿(mǎn)足不同需要，創(chuàng )設能引導學(xué)生主動(dòng)參與的教育環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性，培養學(xué)生掌握和運用知識的態(tài)度和能力，使每一個(gè)學(xué)生都能得到充分的發(fā)展，為每一個(gè)學(xué)生終身發(fā)展打下良好的基礎。教師不再是權威，只是教學(xué)過(guò)程的組織者、引導者，課堂上會(huì )較多地出現師生互動(dòng)、平等參與的生動(dòng)局面，教師盡可能地組織學(xué)生運用合作、小組學(xué)習等方式，在培養學(xué)生合作與交流能力的同時(shí)，調動(dòng)每一個(gè)學(xué)生的參與意識和學(xué)習積極性，課堂教學(xué)形式多樣，經(jīng)常開(kāi)展講座交流和合作學(xué)習，讓大家共同提高，老師們多是鼓勵性的話(huà)語(yǔ)，對待學(xué)生和藹可親，盡量發(fā)現學(xué)生的閃光點(diǎn)。

　　二學(xué)生應有的學(xué)習方式：

　　在基礎教育改革下，學(xué)生學(xué)習方式開(kāi)始逐步多樣化，學(xué)生在學(xué)習中能樂(lè )于探究、主動(dòng)參與，勤于動(dòng)手，學(xué)生的學(xué)習，不再是整天處于被動(dòng)地應付、機械訓練、死記硬背、簡(jiǎn)單重復之中，不再是對于所學(xué)內容總是生吞活剝、一知半解、似懂半懂，學(xué)習內容比以前寬泛多了，經(jīng)常能夠聯(lián)系實(shí)際，接觸社會(huì )實(shí)際，從生活中來(lái)學(xué)習、思考，作業(yè)形式也豐富多了，有手工制作、寫(xiě)小論文、社會(huì )調查、查找資料等等�；顒�(dòng)性作業(yè)比書(shū)面作業(yè)有增多，讓學(xué)生學(xué)習更輕松、更喜歡上學(xué)，對學(xué)習更有興趣和積極性。

　　三新課改下的評價(jià)方式：

　　新課程的評價(jià)強調：評價(jià)功能從注重甄別與選拔轉向激勵、反饋與調整；評價(jià)內容從過(guò)分注重學(xué)業(yè)成績(jì)轉向注重多方面發(fā)展的潛能；評價(jià)技術(shù)從過(guò)分強調量化轉向更加重視質(zhì)的分析；評價(jià)主體從單一轉向多元；評價(jià)的角度從終結性轉向過(guò)程性、發(fā)展性，更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)別差異；評價(jià)方式更多地采取諸如觀(guān)察、面談、調查、作品展示、項目活動(dòng)報告等開(kāi)放的及多樣化的方式，而不僅僅依靠筆試的結果；更多地關(guān)注學(xué)生的現狀、潛力和發(fā)展趨勢。我們可通過(guò)在汲取學(xué)生時(shí)代的經(jīng)驗的同時(shí)，通過(guò)在職培訓、自身的教學(xué)經(jīng)驗與反思、和同事的日常交流、參與有組織的專(zhuān)業(yè)活動(dòng)來(lái)促進(jìn)我們自身的專(zhuān)業(yè)成長(cháng)。

　　通過(guò)本次的學(xué)習，我知道了如何更好地反思教學(xué)，如何進(jìn)行同伴互助，怎樣從一個(gè)單純的教書(shū)匠轉變成一個(gè)“經(jīng)驗型”的教師等等。這些理論對我來(lái)說(shuō)很是及時(shí)，有了這些先進(jìn)的理論，才能得出有效的實(shí)踐。正如專(zhuān)家所說(shuō)：高標準要求自己，高水平引領(lǐng)學(xué)生，高境界體現價(jià)值，真正落實(shí)“根”的教育。

　　在以后的.教學(xué)中，我要做的是：

　　第一，自我反思。從以往的實(shí)踐中總結經(jīng)驗得失。

　　第二，學(xué)習。讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路，讀書(shū)是提高自我素養的良好基奠，知識是財富，人生旅程是財富，教學(xué)經(jīng)驗、過(guò)程與感悟更是財富。

　　第三，交流。他人直言不諱的意見(jiàn)與建議可能是發(fā)現不足、認識“廬山真面目”的有效途徑。要聽(tīng)真言，要想聽(tīng)真言，更要會(huì )聽(tīng)真言，久而久之對我大有裨益。

　　問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)。培訓還將繼續，我會(huì )抓住這次難得的機會(huì )，不斷提高理論知識，填充自己。因為自己以前實(shí)在是知識面較窄、積累也很少。于是我暗暗下定決心，一定要抓緊一切有利時(shí)機來(lái)完善和提升自己，爭取再上一個(gè)臺階。

　　“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”。通過(guò)本次培訓使我深有感觸：新課程下的課堂教學(xué)，應是通過(guò)師生互動(dòng)、學(xué)生之間的互動(dòng)，共同發(fā)展的課堂。它既注重了知識的生成過(guò)程，又注重了學(xué)生的情感體驗和能力的培養。因此，在今后的教學(xué)中，要用自己學(xué)來(lái)的知識豐富自己的數學(xué)課堂教學(xué)，優(yōu)化自己的課堂教學(xué)，創(chuàng )出自己的教學(xué)特點(diǎn)。我們在教學(xué)中對教材的處理、教學(xué)過(guò)程的設計以及評價(jià)的方式都要以學(xué)生的發(fā)展為中心，以提高學(xué)生的全面發(fā)展為宗旨，這才是我的最終目標。

初中數學(xué)培訓總結7

　　參加初中數學(xué)遠程培訓二個(gè)多月時(shí)間了，通過(guò)這段培訓，我受益匪淺，感受很多。下面就是我的點(diǎn)滴體會(huì )：

　　一．對新教材有了初步了解

　　學(xué)習了義務(wù)教育新課標的理念和課例解讀后，我對于未曾變動(dòng)的舊的知識點(diǎn)，考綱上有所變化的做到了心中有數。對于新增內容，哪些是中考必考內容，哪些是選講內容，對于不同的內容應該分別講解到什么程度，也更明確了。這樣才能做到面對新教材中的新內容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問(wèn)題產(chǎn)生陌生感和緊張感。通過(guò)學(xué)習，使我清楚地認識到初中數學(xué)新課程的內容是由哪些模塊組成的，各模塊又是由哪些知識點(diǎn)組成的，以及各知識點(diǎn)之間又有怎樣的聯(lián)系與區別。專(zhuān)家們所提供的專(zhuān)業(yè)分析對我們理解教材，把握教材有著(zhù)非常重要而又深遠的意義。對于必修課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內容，應視學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。

　　二．對課堂教學(xué)設計、教學(xué)案例的編寫(xiě)方面的內容有了提高。

　　培訓活動(dòng)中，自己通過(guò)視頻觀(guān)看學(xué)習了“案例導入”、“專(zhuān)家講座”、“互動(dòng)討論”、“課例作業(yè)”等內容，使自己在教學(xué)設計、教學(xué)案例以及課堂教學(xué)等方面有了進(jìn)一步的提升和加強，特別是在課堂教學(xué)設計，令人豁然開(kāi)朗。通過(guò)視頻觀(guān)看學(xué)習了《有序數對》和《圖形的旋轉》，感覺(jué)很有收獲。如以往聽(tīng)課從未記錄過(guò)講課者教學(xué)過(guò)程各個(gè)環(huán)節的時(shí)間分配，聽(tīng)課時(shí)只注意了講課者的知識傳授情況，而沒(méi)注意欣賞、品析講課者的教學(xué)追求、洞察其教學(xué)的理論依據等。特別是聽(tīng)了

　　專(zhuān)家講座后，自己才知道還有很多不足。自己今后將認真按專(zhuān)家的指點(diǎn)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。

　　三．對初中階段“數與代數”、“ 空間與幾何”、“統計與概率”以及“應用性問(wèn)題教學(xué)”的教學(xué)方式有了進(jìn)一步的認識。

　　本次培訓活動(dòng)中，培訓的內容極具代表性，涵蓋了初中階段的“數與代數”、“ 空間與幾何”、“統計與概率”以及“應用性問(wèn)題教學(xué)”等內容，因為自己在以往的教學(xué)中對初學(xué)幾何的學(xué)生開(kāi)展教學(xué)時(shí)十分頭疼，特別是在幾何推理的教學(xué)中，學(xué)生往往不入門(mén)，通過(guò)專(zhuān)家的培訓講解，使自己在這一方面的教學(xué)中有了一定的方法。還有，對于自己在教學(xué)中遇到的一些困惑，自己將按專(zhuān)家的要求認真嚴格要求自己，提高自己。

　　四.教學(xué)實(shí)戰能力得到加強

　　本次培訓充分關(guān)注培訓教師的實(shí)際需要，不僅傳授了現代教學(xué)技術(shù)和手段，在大的`緯度上幫助教師構建理論體系，同時(shí)更關(guān)注新課程背景下課堂教學(xué)深層問(wèn)題。專(zhuān)家向我們講授了“計算機教學(xué)手段應用”“中學(xué)教師標準解讀”“教學(xué)技術(shù)及應用”“新課標解讀”等，先進(jìn)的教學(xué)理念及其別具一格的教學(xué)風(fēng)格使本人在觀(guān)摩、思考、碰撞中得到提高。整個(gè)培訓活動(dòng)從實(shí)際到理論，再由理論到實(shí)際，循序漸進(jìn)，降低了學(xué)習的難度，提高了學(xué)習的實(shí)效。

　　五．通過(guò)培訓學(xué)習，使我清楚地認識到整體把握初中數學(xué)新課程的重要性及其常用方法。

　　整體把握初中數學(xué)新課程不僅可以使我們清楚地認識到初中數

　　學(xué)的主要脈絡(luò )，而且可以使我們站在更高層次上面對初中數學(xué)新課程。整體把握初中數學(xué)新課程不僅可以提高教師自身的素質(zhì)，也有助于培養學(xué)生的數學(xué)素養。只有讓學(xué)生具備良好的數學(xué)素養才能使他們更好地適應社會(huì )的發(fā)展與進(jìn)步。與學(xué)生的總結、交流能促進(jìn)我們產(chǎn)生更多更好的授課方式、方法，產(chǎn)生更多更新的科學(xué)思維模式。這對于我們提高課堂教學(xué)質(zhì)量具有非�，F實(shí)而深遠的意義。

　　總之，此次培訓活動(dòng)，使自己的教育教學(xué)觀(guān)念、教學(xué)行為方法、專(zhuān)業(yè)化水平，教育教學(xué)理論均有了很大的提升。今后，自己充分將所學(xué)、所悟、所感的內容應用到教學(xué)實(shí)踐中去，做新時(shí)期的合格的初中數學(xué)教師。

初中數學(xué)培訓總結8

　　為期一周的的暑期初中數學(xué)骨干教師的培訓已結束，回顧幾天的培訓，時(shí)間雖不長(cháng)，但內容豐富，每天六個(gè)小時(shí)的講座（中間穿插交流互動(dòng)環(huán)節），我都邊聽(tīng)邊記，積極思考。在這次的學(xué)習中，專(zhuān)家、教授們?yōu)槲覀儙��?lái)了全新的數學(xué)思想，嶄新的教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，論文的撰寫(xiě)技巧，案例的教學(xué)與研究等等，這讓我在數學(xué)教學(xué)理念上有了更深刻的認識。數學(xué)文化，數學(xué)觀(guān)，數學(xué)哲學(xué)，課堂教學(xué)模式的多樣性等等正是我日常教學(xué)缺少的理論基礎。特別是老師關(guān)于教學(xué)模式的多樣性非常貼近我們的'實(shí)際教學(xué)。我認為，教師只有汲取豐富的教學(xué)理念，才能真正駕馭課堂。

　　開(kāi)班第一天是江蘇省教科院研究員、碩導李善良的《與數學(xué)教師談專(zhuān)業(yè)發(fā)展》，李教授從高、微、雅、逸四個(gè)方面來(lái)闡述教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展：對于每一位教師，首先要有遠大的理想，要有較高的目標，從教書(shū)匠——教師——教育家，要有自己的風(fēng)格，有自己的特色，有自己的靈魂；其次要不斷挑戰自我，不斷學(xué)習，探索教學(xué)規律，形成教學(xué)風(fēng)格，進(jìn)而形成教學(xué)思想；第三，要起點(diǎn)高，要探索，創(chuàng )新，有批判性思維，善于獨立思考；第四，學(xué)習時(shí)接觸的朋友、書(shū)籍、文章水平要高，要讀大師原著(zhù)；第五，要善于挑戰，只有為自己樹(shù)立強大的對手，才能不斷地激勵自己。我想：我們若能做到李教授提出的幾點(diǎn)，那么將會(huì )大大促進(jìn)我們的專(zhuān)業(yè)成長(cháng)。

　　南京師范大學(xué)教授喻平的《中學(xué)數學(xué)課堂教學(xué)評價(jià)理論與案例分析》告訴我們：課堂教學(xué)評價(jià)是一種價(jià)值判斷，即教師的教、學(xué)生的學(xué)和最終的課堂教學(xué)質(zhì)量及效果，是對實(shí)然的教學(xué)效果和應然的目標的評價(jià)；讓我們知道數學(xué)教學(xué)觀(guān)是數學(xué)觀(guān)和教育觀(guān)的整合，強調教學(xué)過(guò)程層面的評價(jià)，即教學(xué)方法的選擇與實(shí)施的效果，教學(xué)效果是評價(jià)的前提，也是評價(jià)的歸宿。給我們一線(xiàn)教師的教學(xué)指明了方向。

　　華東師范大學(xué)教授李士錡的講座十分精彩，讓我知道教學(xué)不僅僅是向學(xué)生傳授知識，數學(xué)是思考和解決問(wèn)題的方法和過(guò)程，有什么樣的數學(xué)觀(guān)，就有什么樣的教育觀(guān)。數學(xué)學(xué)習、數學(xué)思維就是一個(gè)反復嘗試、探究，不斷修正、改進(jìn)、完善的過(guò)程。

　　鄭毓信教授在《數學(xué)教育哲學(xué)》中指出：教師應當提倡“反思性實(shí)踐者”這樣一個(gè)關(guān)于實(shí)踐工作的新定位，應當努力做好“理論的實(shí)踐性解讀”與“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”，它是教師專(zhuān)業(yè)成長(cháng)的基本途徑；教師不應熱衷于追求某種標準答案，而應明確承認這方面觀(guān)念的多樣性，并應更加重視如何能從中吸取有益的思想和啟示，特別是，這些觀(guān)念對于我們改進(jìn)教學(xué)究竟有哪些思想和啟示。從動(dòng)態(tài)數學(xué)觀(guān)來(lái)看，數學(xué)并非事實(shí)性結論的簡(jiǎn)單積累，而主要應被看成是人類(lèi)的一種創(chuàng )造性活動(dòng)，教學(xué)中應當突出主要問(wèn)題，努力培養學(xué)生提出問(wèn)題的能力（問(wèn)題意識），應重視思維方法的教學(xué)，做到基本知識不要求全，而應求連；基本技巧不要求全，而要求變；基本思維不要求全，而應求用。做一個(gè)具有哲學(xué)思維的教學(xué)工作者，要堅持獨立思考，包括一定的批判精神；要堅持辯證思維；要有問(wèn)題意識與變革精神。教師在教學(xué)中要善于提問(wèn)，善于舉例，善于比較與優(yōu)化，才能真正發(fā)揮教師應有的指導作用。

　　通過(guò)這次培訓，我開(kāi)拓了專(zhuān)業(yè)視野，領(lǐng)悟了新課程理念，更新了教育教學(xué)觀(guān)念，升華了專(zhuān)業(yè)理論水平。在今后的教育教學(xué)中，我將運用這些理論指導自己的教學(xué)實(shí)踐，不斷提高自己的教學(xué)能力和專(zhuān)業(yè)素養，促進(jìn)自己的專(zhuān)業(yè)發(fā)展。

初中數學(xué)培訓總結9

尊敬的各位領(lǐng)導、同仁：

　　大家好！

　　根據學(xué)校安排，上學(xué)期末，我在陜西師大參加了為期20天的“美麗園丁”教師業(yè)務(wù)培訓學(xué)習，下面結合我的教學(xué)及專(zhuān)家們的教導向各位領(lǐng)導和老師做一匯報：

　　1、備課。教師要上好一節課，必須要備好課。備課過(guò)程中要考慮“教什么？怎么教？學(xué)生學(xué)什么？怎么學(xué)？”這是上好一節課的關(guān)鍵。下面結合專(zhuān)家的報告和自己的教學(xué)談?wù)勅绾蝹湔n？

　　首先要進(jìn)行教材分析。分析本節課知識與本章知識的聯(lián)系，與學(xué)過(guò)知識的聯(lián)系，與將要學(xué)習知識的聯(lián)系，明確本節課的重要性，也就是要揣摩編者的編寫(xiě)意圖，其次就是目標的確定。確定了學(xué)生“教師教什么？學(xué)生么？”這一定要慎重確定，若教師把握不準，一定要結合參考書(shū)或教學(xué)大綱，因為它關(guān)系到本節課的成敗。到底怎樣確定目標呢？我們知道，新課標要求“三維目標”即：知識與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)。我們在平時(shí)備課時(shí)只注重知識與技能目標，卻忽視了過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)這兩個(gè)目標，這樣會(huì )導致以下問(wèn)題：平時(shí)會(huì )做測試卻不會(huì )，學(xué)生看起來(lái)好想會(huì )了，但做題過(guò)程卻含糊不清，過(guò)程推理邏輯性很差等諸多問(wèn)題。這其實(shí)并不是學(xué)生的問(wèn)題，而是教師在教學(xué)中沒(méi)有很好的落實(shí)三維目標所致。再次確定重難點(diǎn)。重難點(diǎn)的確定要根據學(xué)生實(shí)際出發(fā)，不能在教學(xué)參考書(shū)上抄，要結合我們的學(xué)生確定重難點(diǎn)。最后明確教法學(xué)法。其實(shí)這也是明確“教師怎樣教？學(xué)生怎樣學(xué)？的問(wèn)題”，利用那些教具，采用什么樣的方法，采用什么樣的措施，才能使學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得愉快，這才是非常重要的。要落實(shí)好這個(gè)環(huán)節，了解學(xué)生學(xué)習生活經(jīng)驗是非常重要的，了解學(xué)生是否有此累知識的經(jīng)驗,在已有經(jīng)驗的基礎上學(xué)習新知肯定會(huì )容易一些這就要我們教師分析本節課知識與前面學(xué)過(guò)的那些知識有聯(lián)系，或學(xué)習方法相同，或學(xué)生生活中已經(jīng)接觸到相關(guān)知識，這時(shí)，我們就可以通過(guò)溫故知新，或方法類(lèi)比，或情景創(chuàng )設。讓學(xué)生通過(guò)自學(xué)、或結合已有經(jīng)驗得出結論。這就要求我們教師在備課過(guò)程中設計好每個(gè)環(huán)節，怎樣提出問(wèn)題，通過(guò)什么方式方法解決問(wèn)題。同時(shí)還要考慮設計哪些環(huán)節，準備那些教具來(lái)實(shí)現教學(xué)目標，突破重難點(diǎn)，來(lái)對知識鞏固拓展檢測。

　　2、課前互動(dòng)。課備好了，課前互動(dòng)也是同樣重要。在和學(xué)生的活動(dòng)交流過(guò)程中，可以了解學(xué)生對某些知識的理解程度，對前面學(xué)習過(guò)知識的遺忘程度，進(jìn)而調整自己的教學(xué)，也可以通過(guò)互動(dòng)交流拉近師生距離。人常說(shuō)：“親其師，信其道”這樣有助于課堂教學(xué)，也可以通過(guò)課前互動(dòng)讓學(xué)生放松。由于學(xué)生學(xué)習壓力大，部分學(xué)生下一節課都快上了，他卻仍然沉靜在上一節課的某些情境中�！拔颐髅鳑](méi)睡覺(jué)，老師就是冤枉我，這老師就是看不起我給我找茬”、“這個(gè)單詞我真的記不下，煩死了”、“這個(gè)老師真討厭，今天又罵我了”等等，這樣的狀態(tài)對本節課學(xué)習肯定有影響。這就要我們教師組織學(xué)生進(jìn)行課前活動(dòng)：如讓教室里的學(xué)生走出教室看看遠處，做一些小游戲，或者和學(xué)生交流交流，也可以在教室講講笑話(huà)，讓學(xué)生笑一笑、放松放松，盡可能讓學(xué)生以最佳的狀態(tài)走進(jìn)自己的課。

　　3、課堂教學(xué)的導入。合理的導入，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，調動(dòng)學(xué)生的積極性，集中學(xué)生的注意力。從而引導學(xué)生樂(lè )于思考，積極主動(dòng)的參與討論，始終參與到教學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效益，取得較好的教學(xué)效果。下面就談?wù)剶祵W(xué)教學(xué)中的幾種導入方法：

　�。�1）溫故知新復習導入。通過(guò)對舊知識的復習，引入對新課的學(xué)習，使學(xué)生會(huì )感覺(jué)到今天學(xué)習的知識并不陌生，有利于對新知識的掌握，這種方法注重只是銜接，一舉多得，不僅有利于対舊知識的鞏固，而且能為新知識的學(xué)習做好鋪墊。

　�。�2）激發(fā)興趣故事導入。針對學(xué)生愛(ài)聽(tīng)有趣故事的特點(diǎn)，根據學(xué)生年齡特征編制故事，營(yíng)造情景導入新課。這樣既能提高學(xué)生的學(xué)習興趣，又能豐富學(xué)生的數學(xué)知識。

　�。�3）.聯(lián)系生活情景導入。數學(xué)源于生活用于生活，用貼近生活實(shí)際的學(xué)習素材，導入課題，不僅使學(xué)生感到親切、自然，激發(fā)學(xué)生的興趣而且能喚起學(xué)生的認知行為，促使學(xué)生主動(dòng)思考，為探究新知打下基礎。

　�。�4）.問(wèn)題前置質(zhì)疑導入。利用本節課需要解決的問(wèn)題來(lái)導入新課，調動(dòng)學(xué)生探求知識的心理，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而形成學(xué)習動(dòng)力，這種導入方式使學(xué)生有“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，變被動(dòng)為主動(dòng)，會(huì )取得很好的效果。

　　導入的方法很多，如還有類(lèi)比導入法、演示導入法、討論導入法等等。導入法的目的是通過(guò)激發(fā)學(xué)生興趣、學(xué)習動(dòng)力解決問(wèn)題，在選取導入方法是一定要結合教材知識和學(xué)生實(shí)際，力求效果最大化。

　　4、小組合作。關(guān)于小組合作，在我的教學(xué)中迷茫了好幾年，怎樣的合作最有效？什么時(shí)候組織小組合作？等問(wèn)題一直困擾著(zhù)我的課堂教學(xué)。這次培訓聽(tīng)了劉旭亮老師的講座，使我感受很深。首先我先說(shuō)說(shuō)如何分組。小組合作可分為“同質(zhì)合作”和“異質(zhì)合作”。學(xué)生的'作為可以不固定，在合作教學(xué)中，他們可以找志同道合的同學(xué)進(jìn)行討論，也可以找成績(jì)接近的同學(xué)進(jìn)行討論，這樣同質(zhì)合作便于教師分層教學(xué)，但課堂教學(xué)很難調控，這就要求教師在布置問(wèn)題是盡可能分層布置，既能使學(xué)困生“吃得消”，又能使優(yōu)等生“吃得飽”�！爱愘|(zhì)合作”便于教學(xué)同步進(jìn)行，教師如果分工、管理不當就會(huì )出現：優(yōu)等生唱獨角戲等現象，不利于學(xué)困生發(fā)展，他們只是知識的被動(dòng)接受者，長(cháng)期下去會(huì )加劇兩極分化。用“同質(zhì)合作”還是“異質(zhì)合作”要靠教師有效、合理的調控。小組合作要做到“五有”即：有問(wèn)題、有時(shí)間、有過(guò)程、有展示、有評價(jià)。有問(wèn)題就是要讓學(xué)生知道我們要在合作中解決什么問(wèn)題，帶著(zhù)問(wèn)題去合作；有時(shí)間就是當問(wèn)題出示后要給學(xué)生留有思考的時(shí)間，讓他們找到討論點(diǎn)。有過(guò)程就是要求每一位學(xué)生都要參與討論，積極發(fā)表自己的觀(guān)點(diǎn)，親身體驗知識的生成過(guò)程；有展示就是要求學(xué)生通小組合作，將自己小組的討論結果向大家展示，這樣達到檢測督促作用，同時(shí)也給學(xué)生展示自己的機會(huì )；有評價(jià)就是要對學(xué)生的活動(dòng)參與率、匯報結論的正確率進(jìn)行評價(jià)，對知識點(diǎn)進(jìn)行強調，對表現突出的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P。

　　5、做個(gè)“懶”教師。課堂上盡可能把時(shí)間還給學(xué)生，在學(xué)生明確目標的基礎上，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦自己得出結論，讓學(xué)生通過(guò)親自參與將知識內化。我們平時(shí)經(jīng)常會(huì )說(shuō)，這道題或這個(gè)知識點(diǎn)我講了好多遍學(xué)生還是做錯了，這是為什么呢？也許我們將解釋學(xué)生根本沒(méi)有聽(tīng)或者是聽(tīng)了，由于無(wú)法理解沒(méi)過(guò)多久就忘了，這樣我們教師可以說(shuō)是出力不討好，何苦呢？在課堂教學(xué)中，盡可能做一名“懶”教師學(xué)生自己能解決的或講了也無(wú)法接受的堅決不講，講了也只有少數學(xué)生能聽(tīng)懂，盡可能讓部分學(xué)生通過(guò)討論自己解決，或者進(jìn)行個(gè)別輔導，知識點(diǎn)、易錯點(diǎn)教師要通過(guò)典型題精講。

　　6、課堂上允許學(xué)生犯錯誤。這里的犯錯誤并不是上課允許學(xué)生睡覺(jué)、玩手機等，而是知識方面可以犯錯誤。把這作為教學(xué)案例，讓學(xué)生參與糾錯活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現問(wèn)題，改正問(wèn)題，達到知識的強化。其實(shí)這個(gè)過(guò)程可以培養學(xué)生發(fā)現問(wèn)題的能力，改正問(wèn)題的能力，其實(shí)也培養了學(xué)生應試能力。通過(guò)這個(gè)糾錯活動(dòng)，讓學(xué)生在關(guān)鍵時(shí)刻（測試）不出錯。

　　學(xué)困生板演→中等生糾錯→優(yōu)等生講解

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　　允許出錯→發(fā)現問(wèn)題→解決問(wèn)題

　　7、數形結合教幾何。很多學(xué)生討厭幾何學(xué)習，有很多性質(zhì)、定理、判定記不下，遇到證明題就頭痛。其實(shí)，這也是個(gè)事實(shí)問(wèn)題，學(xué)生每天需要記憶的知識太多了：語(yǔ)文老師要求背誦文言文，英語(yǔ)老師要求記單詞、短語(yǔ)等等，數學(xué)性質(zhì)、定理、判定又很難記憶，有時(shí)候記下也用不上或不會(huì )用。如果我們數學(xué)老師再讓背誦性質(zhì)、定理、判定的話(huà)，學(xué)生能喜歡我們的數學(xué)嗎？說(shuō)句實(shí)話(huà)，我在教學(xué)中，幾乎不背這些，通過(guò)圖形來(lái)回顧性質(zhì)、定理、判定。如學(xué)習垂徑定理時(shí)，我畫(huà)了一個(gè)圓畫(huà)了一條直徑和一條與直徑垂直的弦（不是直徑）。我把其中的五個(gè)條件成為五要素，這五要素中存在“知其二得其三”。這樣數型結合讓學(xué)生理解記憶。那特殊銳角三角函數值怎樣辦呢？可以畫(huà)圖證明。

　　總之，通過(guò)本次教師的培訓，自己收獲頗多，感受頗深，是我對初中數學(xué)教學(xué)有了更深層次的認識，我會(huì )在今后教學(xué)中堅持學(xué)習，力求是自己的課堂教學(xué)效率更上一層樓。

初中數學(xué)培訓總結10

　　我有幸參加了這次數學(xué)培訓，在學(xué)習過(guò)程中，我認真聽(tīng)取了三位專(zhuān)家的精彩講演，自己無(wú)論在思想認識及教育觀(guān)念、教育理論和方法、教師業(yè)務(wù)素質(zhì)及業(yè)務(wù)修養、新課程改革等各方面都學(xué)到了很多東西，這對于改進(jìn)我自身的教育教學(xué)工作有很大的幫助�？偨Y如下：

　�。�1）認識到教師的任務(wù)不僅只是教學(xué)，教育科研更不僅是專(zhuān)家們的“專(zhuān)利”。先進(jìn)的教育理念和教育模式都離不開(kāi)教師的教學(xué)實(shí)踐，我們不能總是把別人的或原有的理論和經(jīng)驗用于自己的教學(xué)。

　�。�2）重視問(wèn)題解決與研究。在教育教學(xué)活動(dòng)中能及時(shí)發(fā)現問(wèn)題、分析問(wèn)題，并努力探求解決問(wèn)題的途徑與方法，使教育教學(xué)過(guò)程得到及時(shí)的調整，從而有效提高教學(xué)的質(zhì)量和效益。

　�。�3）在推進(jìn)新課改的過(guò)程中，必然會(huì )遇到一些前所未有的新問(wèn)題、新情況，要能在變遷與復雜的教育教學(xué)情景中進(jìn)行獨立思考和判斷，并通過(guò)自己的研究尋找出最佳的教育教學(xué)行動(dòng)策略和方案。

　�。�4）善于與同行交流，學(xué)習借鑒他人經(jīng)驗。不斷學(xué)習新知識，加深對數學(xué)的理解，并把成果應用到教學(xué)設計和教學(xué)實(shí)踐，不斷吸收、篩選符合學(xué)生需要的觀(guān)念和方法。改變學(xué)生學(xué)習方式，提高學(xué)生靈活的數學(xué)應用能力

　�。�5）知道一般概念和推理方法對使用數學(xué)工具的重要意義，利用對數學(xué)中各種概念之間相互關(guān)系的深刻理解和廣知識，幫助學(xué)生在掌握基本概念和推理方法的基礎上，建立一套他們自己的數學(xué)方法。

　　總之，通過(guò)本次骨干教師的培訓，自己收獲頗多，感受頗深，但我覺(jué)得最重要的是在今后的教學(xué)工作中如何把本次培訓所學(xué)到的理論始終如一的貫徹下去，使自己的教學(xué)工作不斷完善、不斷提高。

　　5月10日在興福中學(xué)進(jìn)行了“全縣數學(xué)教師培訓”，主要是針對初三復習講了兩節匯報課：一節是試卷講評課，一節是專(zhuān)題復習課，然后是備課教師談自己的備課過(guò)程，然后是部分教師談自己的看法或觀(guān)點(diǎn)，最后還有兩處學(xué)校介紹了自己學(xué)校對畢業(yè)班教學(xué)的處理。通過(guò)這一天的學(xué)習，對這個(gè)第一年教畢業(yè)班的我來(lái)說(shuō)收獲太多太多。

　　一、在教學(xué)過(guò)程中要注意數學(xué)思想的滲透和學(xué)習方法的引導。我們教學(xué)不能是機械的教學(xué)，應該通過(guò)一個(gè)題的'講解，教師從中提煉出題中蘊含的思想、規律和方法。要讓學(xué)生通過(guò)我們的講解能融會(huì )貫通，舉一反三。

　　二、學(xué)生是學(xué)習活動(dòng)的主體，教師在教學(xué)過(guò)程中只是起“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用。把課堂教給學(xué)生，給學(xué)生一個(gè)展示自我的機會(huì )，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，更重要的是提高了學(xué)生的能力，而且有時(shí)候學(xué)生會(huì )有更好、更適合學(xué)生的解題方法，何樂(lè )而不為呢？

　　三、一節課成功與否不在教師講多少內容，而在學(xué)生會(huì )多少。如果一個(gè)問(wèn)題學(xué)生徹底理解了、吃透了，變式問(wèn)題只是鞏固與應用。

　　四、處理問(wèn)題要找準突破口，基礎知識要抓牢。復習一個(gè)知識點(diǎn)要把它放到一個(gè)問(wèn)題中，以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生在解決應用的基礎上理解體會(huì )，達到復習的目的。

　　總之，通過(guò)這次學(xué)習，我學(xué)到的很多。我會(huì )細細品味，把學(xué)到的應用到自己的教學(xué)中，不斷提高自己的教學(xué)水平。

初中數學(xué)培訓總結11

　　參加完3月29日的考試，回想去年8月暑期開(kāi)始的浦東新區數學(xué)教師專(zhuān)項培訓，感觸很深。首先，這對于我來(lái)說(shuō)是一個(gè)極好的機會(huì )，作為一個(gè)年輕教師，除了第一年有過(guò)一次新教師培訓，這樣系統有針對性的培訓從沒(méi)有接觸過(guò)。我參加的是初級班培訓，主要是針對初中教師存在的一些常見(jiàn)的問(wèn)題如：進(jìn)一步提高教師的教學(xué)能力、師生溝通的技巧、怎樣寫(xiě)教育案例、如何做教學(xué)反思等課程，也有提高數學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的如：數學(xué)命題試卷分析、初中函數與分析、數學(xué)課堂教學(xué)設計、數學(xué)思想與方法論等課程。本次培訓共開(kāi)展了21次活動(dòng)，主要分了3個(gè)階段，每一個(gè)階段的都各有收獲，現總結如下：

　　第一階段是專(zhuān)家和骨干教師的講座和交流，之間聽(tīng)了一些生動(dòng)的報告。黃俊嶺老師的師生溝通技巧讓我知道了和學(xué)生交流方式的重要性，在平時(shí)的教育教學(xué)中，我總覺(jué)得和學(xué)生的溝通不是最有效，而通過(guò)黃俊嶺老師的講座，我了解到師生間不良的溝通方式，師生有效溝通的原則，教師課堂管理解決問(wèn)題的策略，優(yōu)秀教師的幾條人格魅力等等。確實(shí)使我受益匪淺。；顧志躍老師的進(jìn)一步提高教師的教學(xué)能力讓我了解當前一名教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的各方面要求；惲敏霞老師的教學(xué)反思研究，讓我理解了教學(xué)反思就是教師自覺(jué)地把自己的課堂教學(xué)實(shí)踐，作為認識對象進(jìn)行全面而深入的冷靜思考和總結，從而進(jìn)入更優(yōu)化的`教學(xué)狀態(tài)，使學(xué)生得到更充分的發(fā)展，它是一種有益的思維活動(dòng)和再學(xué)習活動(dòng)。教師的成長(cháng)應該是經(jīng)驗加反思。教學(xué)反思可以激活教師的教學(xué)智慧，是我們教師成長(cháng)的“催化劑”，是教師發(fā)展的重要基礎；是區別經(jīng)驗型教師與學(xué)者型教師的主要指標之一。她從七個(gè)方面給我們講了如何做好教學(xué)反思，讓我們能更好的做好教學(xué)反思。這讓我深深體會(huì )到一個(gè)教師寫(xiě)一輩子教案難以成為名師，但如果寫(xiě)三年反思則有可能成為名師這句話(huà)。還有一節課老師列出了一系列的初中數學(xué)解題典型錯誤，很遺憾我不記得老師的名字，但這卻讓我在這些方面引起了重視。在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，預先了解學(xué)生的典型錯誤，能進(jìn)行有針對性地教學(xué)，同時(shí)也能選擇更好地教學(xué)方法和手段進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生的這些典型錯誤能進(jìn)行糾正，學(xué)生的錯誤率有所降低。這些可以使我們從預備初一等低年級就把握住中考的方向，還能在低年級時(shí)，給學(xué)生慢慢體會(huì )很多重要的數學(xué)方法和數學(xué)思想。最讓我印象深刻的是呂飛老師的幾何畫(huà)板，在這之前我基本只會(huì )簡(jiǎn)單的運用這個(gè)軟件，而1天的課程讓我掌握了幾個(gè)關(guān)鍵的技術(shù)，真正感受數學(xué)多媒體運用的實(shí)用性和魅力之處，可惜時(shí)間太短，有機會(huì )真希望還能進(jìn)一步的深入學(xué)習。幾位數學(xué)教研員或骨干教師的數學(xué)命題分析和試題講解讓我也感觸頗多。聽(tīng)了各位專(zhuān)家的講座，我覺(jué)得在今后的教學(xué)生涯中，我們不應僅僅著(zhù)眼于一些短期利益，而應把眼光放長(cháng)遠一些；課堂教學(xué)中應重視數學(xué)思想方法的滲透，而不局限于單一解答方法的教學(xué)；不要盲目地迷信新課程標準，而應辨證地看待它�？傊�，通過(guò)這些理論的學(xué)習實(shí)踐的指導使我深刻的領(lǐng)會(huì )到要成長(cháng)為一名優(yōu)秀的教師所要付出的努力以及必經(jīng)之路。

　　第二階段是聽(tīng)課評課，對于初級班的學(xué)員，我們20位老師分成一組，每人上交一張教學(xué)光盤(pán)，無(wú)論中青年教師，大家都非常認真的觀(guān)看，其中好幾位老師的課讓人眼前一亮。課后的交流中大家暢所欲言，各抒己見(jiàn)，教學(xué)中經(jīng)歷的困惑、感受產(chǎn)生了許多共鳴。其實(shí)教師之間經(jīng)�；ハ嗦�(tīng)課和評課是教師提高自身教學(xué)水平的一條重要途徑。作為一名年輕教師，能夠經(jīng)常聽(tīng)聽(tīng)其他老師、特別是優(yōu)秀教師的課，有利于學(xué)習他們良好的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)作風(fēng)和教學(xué)經(jīng)驗。在這次的活動(dòng)中，我們就有了很多這樣的機會(huì )。最后回到實(shí)際來(lái)評價(jià)組內每一位教師的課，來(lái)提高自己的評課水平，加上導師的點(diǎn)評，起到了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。

　　第三階段是培訓評價(jià)，最重要的當然是3月29日剛結束的考核，在復習過(guò)程中，又一次把第一階段的講座知識經(jīng)過(guò)了歸納和梳理，我感受到雖然是條件性性知識是開(kāi)卷考試，但整理材料的過(guò)程中我已經(jīng)不知不覺(jué)了解了許多知識。而本體性知識的考核也讓我深刻體會(huì )到提升基本功的重要性。作為一名年輕教師，我目前最高只帶過(guò)初一年級，這次本體性知識題目我做起來(lái)感到非常的陌生和不適應，讓我深深體會(huì )到教師解題能力的重要性，要教給給學(xué)生一碗水老師必須要有一桶水甚至更多，而這對于我未來(lái)的發(fā)展是非常重要的。

　　在幾年的教學(xué)中有許多困惑，說(shuō)實(shí)話(huà)，這次培訓許多問(wèn)題還沒(méi)有得到根本上的解決，但卻給了我許多啟示。培訓結束了，但學(xué)習的道路是永遠沒(méi)有止境的。真心感謝上級能給我這一個(gè)寶貴的學(xué)習機會(huì )，使我認識了許多其他兄弟學(xué)校的老師和名師，使我從中學(xué)到了很多理論和實(shí)際知識，希望自己能得到更多老師的幫助。

初中數學(xué)培訓總結12

　　我們來(lái)自農村的教師得以與眾多專(zhuān)家、學(xué)者面對面地座談、交流，傾聽(tīng)他們對數學(xué)教學(xué)的理解，感悟他們的教育教學(xué)思想方法。這次培訓內容豐富，安排合理，使學(xué)員們受益匪淺。

　　一.理論學(xué)習，飛的更高。

　　(一)專(zhuān)家講座，思想理念的提升!

我們這次培訓班名稱(chēng)是：“國培計劃”——初中數學(xué)骨干教師培訓班，班主任是易才鳳老師，副班主任是劉詠梅和虞秀云老師，班主任助理是周玲芳和陳艷鳳。本次培訓，聽(tīng)了專(zhuān)家胡惠閔教授《基于學(xué)生經(jīng)驗的學(xué)習活動(dòng)設計研究》等講座14個(gè)，從師德、當前教育教學(xué)改革動(dòng)向、教科研、課堂教學(xué)專(zhuān)題、教材解讀、現代教育技術(shù)應用等多方面進(jìn)行，各位知名專(zhuān)家、學(xué)者、特級教師從自己切身的經(jīng)驗體會(huì )出發(fā)，暢談了他們對師德以及教學(xué)等教育教學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的獨特見(jiàn)解。讓我們更清晰地意識到作為一個(gè)農村教師該如何看待自己所處的位置，該如何去提升自己的專(zhuān)業(yè)水平。在知識方面，我們深感知識學(xué)問(wèn)浩如煙海，也深深地體會(huì )到教學(xué)相長(cháng)的深刻內涵。教師要有精深的學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識，廣博的科學(xué)文化知識，豐富的教育和心理科學(xué)知識。知識結構要合理，當今的自然科學(xué)，社會(huì )科學(xué)和人文科學(xué)互相滲透，相互融合，只懂自己專(zhuān)業(yè)的知識是遠遠不夠的，這一點(diǎn)我們在學(xué)習中體會(huì )很深。精深的專(zhuān)業(yè)知識是教師擔任教學(xué)工作的.基礎。這就要求教師要扎實(shí)的掌握本學(xué)科的基礎理論，基礎知識以及相應的技能，并運用自如。熟悉本學(xué)科的學(xué)習方法和研究方法，同時(shí)還要具備一定的與本學(xué)科相關(guān)的知識。學(xué)員們在這次培訓中發(fā)現自己專(zhuān)業(yè)知識還很欠缺。只有掌握全面的學(xué)科知識才能在教學(xué)過(guò)程中高屋建瓴的處理好教材，把握住教材的難點(diǎn)，才能有對教材內容深入淺出的講解。從而保證教學(xué)流暢地進(jìn)行，使學(xué)生既學(xué)到知識，又掌握學(xué)習方法和發(fā)展能力。

　　(二)學(xué)員論壇，思想交流的園地!

　　在理論培訓階段，為了提升每位學(xué)員自身的理論水平，安排了三次小組交流。在小組討論中，學(xué)員們暢所欲言，許多提出的觀(guān)點(diǎn)和問(wèn)題，都是農村數學(xué)教學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題，引起全體學(xué)員的一致共鳴的同時(shí)，也得到專(zhuān)家們的重視，他們的回答也給了我們很好的啟示，對于我們今后的教學(xué)有著(zhù)積極的促進(jìn)作用。對每一個(gè)專(zhuān)題進(jìn)行總結，有了自己的看法，有了自己的思想，有些觀(guān)點(diǎn)非常精髓，有獨到的見(jiàn)解，我們有些學(xué)員開(kāi)玩笑的說(shuō)：“我們自己也有一些專(zhuān)家的天份!”。

　　(三)反思，理論水平提高的源泉!

　　這次培訓要求每個(gè)學(xué)員每天都要做筆記，寫(xiě)反思學(xué)習日志，寫(xiě)心得體會(huì )，提出困惑。也為我們學(xué)習和交流提供了一平臺。認識到繼續教育的重要性，樹(shù)立終身學(xué)習的目標，這次培訓，就自身更新優(yōu)化而言，使學(xué)員們樹(shù)立了終身學(xué)習的思想。通過(guò)培訓，感覺(jué)以前所學(xué)的知識太有限了，看問(wèn)題的眼光也太膚淺了。教師只有樹(shù)立“活到老，學(xué)到老”的終身教育思想，才能跟上時(shí)代前進(jìn)和知識發(fā)展的步伐，才能勝任復雜而又富有創(chuàng )造性的教育工作�！皢�(wèn)渠那得清如許，唯有源頭活水來(lái)�！敝挥胁粩鄬W(xué)習，不斷充實(shí)自己的知識，不斷更新自己的教育觀(guān)念，不斷否定自己，才能不斷進(jìn)步，擁有的知識才能像‘泉水”般沽沽涌出，而不只是可憐的“一桶水”了。

　　二、同行交流，取長(cháng)補短!

　　本次培訓，匯聚了全省各地的骨干教師，每位培訓教師都有豐富的教學(xué)經(jīng)驗，教學(xué)的外部條件也非常相似，但也存在著(zhù)許多的差異，為我們之間的相互交流提供了很好的一個(gè)交流平臺。因此，成員之間的互動(dòng)交流成為每位培訓人員提高自己教學(xué)業(yè)務(wù)水平的一條捷徑。在培訓過(guò)程中，學(xué)員們在交流過(guò)程中，了解到各區縣的新課程開(kāi)展情況，并且注意到他們是如何處理新課程中遇到的種種困惑，以及他們對新課程教材的把握與處理。在培訓中，我們不斷地交流，真正做到彼此之間的相互促進(jìn)，共同提高。

　　三、教學(xué)實(shí)踐，飛得更遠!

　　(一)教學(xué)實(shí)踐，本身就是一種環(huán)境的體驗。

在職研修自主學(xué)習安排三個(gè)月，12月18日開(kāi)始，我們回到學(xué)校進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐分散學(xué)習。通過(guò)教學(xué)策略的修正，對比教學(xué)，使我感觸到自身課堂教學(xué)中最本源的東西，在教學(xué)中反思，在反思中成長(cháng)。同時(shí)，在教學(xué)實(shí)踐的過(guò)程中，積極參與學(xué)校的校本教研活動(dòng)，經(jīng)常聽(tīng)一些優(yōu)秀教師講課，學(xué)習他們規范的組織方式，感受他們濃厚的教研氛圍，積極尋找差距所在，當然，也積極報名參加上公開(kāi)課，接受自我反思和導師與同伴的診斷，使我對于校本教研有了更好的認識與把握。

　　(二)校本教研，診斷提高。

　　在集體備課的前提下，采用“示范—診斷—提升”的實(shí)踐模式：指定教師上示范課，其余教師觀(guān)摩——我和同伴聽(tīng)課診斷——我指導教師進(jìn)行診斷性說(shuō)課、評課——我指導教師修改教案—指定教師上第二次課(提高課)、我和同伴聽(tīng)課——我指導教師進(jìn)行教學(xué)反思和總結。通過(guò)實(shí)實(shí)在在的行為，加深教師對教學(xué)的理解，加深對課堂的掌控，加深對細節的把握，從而提高課堂教學(xué)藝術(shù)。

　　四個(gè)月的培訓是短暫的，但是留給我的記憶與思考是永恒的，通過(guò)這次培訓，使我提高了認識，理清了思路，找到了自身的不足之處以及與一名優(yōu)秀教師的差距所在，對于今后如何更好的提高自己必將起到巨大的推動(dòng)作用，我將以此為起點(diǎn)，讓“差距”成為自身發(fā)展的原動(dòng)力，不斷梳理與反思自我，促使自己不斷成長(cháng)。

初中數學(xué)培訓總結13

　　短短90學(xué)時(shí)的數學(xué)培訓給我留下了深刻的印象。此次培訓分為理論學(xué)習和實(shí)踐活動(dòng)兩個(gè)階段，回味這兩次的學(xué)習生活，雖然緊張而忙碌，但也因收獲而豐潤。

　　一、理論學(xué)習感悟：

　　作為一名普通的數學(xué)老師，我們最渴求知道的還是“如何上好一節課？”要真正上好一節課確實(shí)很難，所以這方面的理論學(xué)習是我們最需要的。通過(guò)幾天的理論培訓，讓我深深體會(huì )到作為一線(xiàn)教師，只有深入的研讀和挖掘教材中所提供的豐富的信息資源，才能合理、有效地使用好教材；每天聽(tīng)著(zhù)專(zhuān)家們的精彩講演，他們的每一句話(huà)每一個(gè)觀(guān)點(diǎn)，都值得我推敲，我在收獲甜甜果實(shí)的同時(shí)，我心里也有酸酸的感覺(jué)，他們厚實(shí)的文化底蘊，執著(zhù)的教育追求，嚴謹的治學(xué)態(tài)度，讓我感到汗顏�；仡欁约旱慕虒W(xué)，才發(fā)現自己實(shí)踐的不少，但思考太少。常以工作忙為借口懶于反思、總結，通過(guò)這次學(xué)習，我才發(fā)現在不經(jīng)意間我錯失了許多。這幾天的理論學(xué)習讓我親身體驗到了專(zhuān)家、名師們身上所散發(fā)的各具特色的人格魅力，他們的敬業(yè)精神和專(zhuān)業(yè)精神以及淵博的學(xué)識，讓我明白了什么才是充滿(mǎn)魅力的課堂。

　　二、實(shí)踐活動(dòng)感悟：

　　剛剛結束的一星期的實(shí)踐活動(dòng)，領(lǐng)略了3位教師的課堂教學(xué)風(fēng)采，不同的理念，不同的設計思路讓我真實(shí)感受到她們的扎實(shí)的基本功，同時(shí)也為我下一步的發(fā)展指明了方向。課堂教學(xué)是一個(gè)“仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智”的話(huà)題，在我看來(lái)，不同的教師演繹不同的風(fēng)采，卻展現同樣的精彩。通過(guò)聽(tīng)課讓我學(xué)到了很多新的教學(xué)方法和新的教學(xué)理念。教師沒(méi)有利用課本上的例題，而是從學(xué)生生活的情景海貝貝沖浪誰(shuí)最棒作為切入點(diǎn)，用以吸引學(xué)生的注意力，同時(shí)也密切了數學(xué)與現實(shí)生活的聯(lián)系。在本課中教師通過(guò)安排學(xué)生動(dòng)手操作的環(huán)節，讓學(xué)生通過(guò)擺一擺、畫(huà)一畫(huà)等活動(dòng)，讓學(xué)生在學(xué)習中邊學(xué)邊練，加深了對所學(xué)知識的理解與運用。課堂教學(xué)對教師而言，不只是為學(xué)生成長(cháng)所做的付出，不只是別人交付任務(wù)的完成，他同時(shí)也是我們自身生命價(jià)值的體現。讓課堂走進(jìn)生活，將課堂教學(xué)當作學(xué)生的生命經(jīng)歷，自覺(jué)地尊重學(xué)生，尊重學(xué)生的這段經(jīng)歷，課堂才會(huì )顯得樸實(shí)而又睿智。在這短短幾天的.時(shí)間里，讓我深切體會(huì )到優(yōu)秀的數學(xué)課堂是情智共生的課堂，要以情促智，以智生情，讓學(xué)生心靈閘門(mén)不斷開(kāi)啟，讓學(xué)生智慧的火花不斷點(diǎn)燃。評課交流可以使人的思考更加廣闊，內容更加豐富。作為一線(xiàn)教師，我想我更應該勇敢地、虛心地、隨時(shí)地與其他老師交流，交流教學(xué)中的問(wèn)題與困惑等。通過(guò)每次課后的交流產(chǎn)生思想碰撞與思考，解決困惑，從中也讓我獲得很多啟發(fā)與收益。

　　通過(guò)這次培訓，讓我深深體會(huì )到只有不斷的學(xué)習，才能有不斷的提升，對如何做好一名出色的數學(xué)教師有了更多的努力目標。我將反思著(zhù)自己的差距與不足，尋找著(zhù)自己應該努力的方向，相信本次培訓活動(dòng)對我今后的教學(xué)一定會(huì )產(chǎn)生積極而深遠的影響。雖然培訓已結束，但是在培訓過(guò)程中我受到的思想振蕩將伴隨我今后的教學(xué)生涯。

初中數學(xué)培訓總結14

　　一直以來(lái)，在試卷講評課的上法上總存在著(zhù)一些困惑。例如，試卷上的錯題因人而異，如何上能照顧到全體，將每位學(xué)生出錯的問(wèn)題解決？通過(guò)這次培訓我認識到，我們沒(méi)有足夠的時(shí)間面面俱到的講解，在一定的時(shí)間內想面面俱到，那么每個(gè)題目也只是蜻蜓點(diǎn)水，一節課下來(lái)真正沉淀到頭腦中的知識寥寥無(wú)幾。今后的試卷講評課我打算按照下面的思路來(lái)上，請劉老師多批評指正。

　　一、考試之后教師要做好測試分析，并充分備課。

　　通過(guò)測試分析，首先,弄清學(xué)生集中出錯的題目，找出學(xué)生的`共性問(wèn)題，并針對這些共性的問(wèn)題展開(kāi)備課。備課要備學(xué)生出錯的原因，試卷講評時(shí)如何對這些問(wèn)題講解與完善。其次，弄清每位學(xué)生的得分，對于成績(jì)波動(dòng)大的同學(xué)通過(guò)談話(huà)等方式及時(shí)了解情況并幫助解決困難。

　　二、下發(fā)試卷，學(xué)生自己糾錯。

　　給學(xué)生自己糾錯的機會(huì )，將能自己改正或通過(guò)小組合作改正的題目在試卷講評前改過(guò)來(lái)。

　　三、訂正答案，進(jìn)一步改錯。

　　給學(xué)生標準答案，在答案的引導下，學(xué)生進(jìn)一步尋找解題思路，完善解題步驟，查找丟分原因，加深對知識的理解。

　　四、重點(diǎn)題、錯題重點(diǎn)講解。

　　經(jīng)過(guò)兩輪的改錯之后學(xué)生存留下的問(wèn)題已經(jīng)很少，教師試卷講評時(shí)就要解決這些遺留問(wèn)題、重點(diǎn)題、錯題。對于這些問(wèn)題可以通過(guò)分類(lèi)講解、同類(lèi)知識串講、變式訓練、一題多解、多個(gè)知識點(diǎn)上串下聯(lián)等方式講透。經(jīng)過(guò)尋根問(wèn)底，可使學(xué)生對不明確的知識點(diǎn)加深理解，再認識，然后鞏固練習。這個(gè)過(guò)程下來(lái)同時(shí)可復習到多個(gè)知識點(diǎn)，建立知識體系，拓展學(xué)生思維。

　　五、方法總結。

　　圍繞一個(gè)知識點(diǎn)講解之后，要讓學(xué)生總結解題思想、方法，掌握答題技巧。需要時(shí)可讓學(xué)生簡(jiǎn)記。

　　六、解答疑問(wèn)。

　　通過(guò)學(xué)生提出疑問(wèn)，大家共同解答，完善學(xué)生對知識的認識。

　　近幾年教基礎年級，所以感覺(jué)上章節復習課較多，專(zhuān)題復習課很少。我們學(xué)校的章節復習課與劉老師的“出示問(wèn)題，引出知識”是一致的。通過(guò)問(wèn)題的解決實(shí)現知識點(diǎn)的復習。

　　通過(guò)聽(tīng)兩位韓老師的課我感覺(jué)有幾處大的收獲：

　　一、要想實(shí)現高效課堂，教師首先高效備課。從兩位老師對題目的選取上能看到她們備課的用心。值得學(xué)習。

　　二、充分放手給學(xué)生，讓學(xué)生思考、解決問(wèn)題、總結方法。教師適時(shí)點(diǎn)撥。

　　三、重要知識點(diǎn)、思想、方法及時(shí)簡(jiǎn)記�！昂媚X子不如爛筆頭”，的確如此。根據艾賓浩斯的遺忘規律，一節課下來(lái)學(xué)到的知識點(diǎn)總在慢慢遺忘，如果課堂上不把關(guān)鍵點(diǎn)記錄下來(lái)的話(huà)，回過(guò)頭來(lái)復習時(shí)頭腦中的知識漏洞難以得到修繕。

　　通過(guò)這次學(xué)習我感覺(jué)收獲很大，希望劉老師多組織類(lèi)似活動(dòng)幫助年輕教師成長(cháng)。同時(shí)對于這次培訓的膚淺認識希望劉老師多批評指正。謝謝！

初中數學(xué)培訓總結15

　　數”的產(chǎn)生成為人類(lèi)文明發(fā)展的一個(gè)重要的標志。人類(lèi)從識別事物多寡的原始的數覺(jué)能力，到抽象的“數”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過(guò)程。

　　第一次擴充：分數的引進(jìn)；第二次擴充：0的引進(jìn)；第三次擴充：負數的引進(jìn)；第四次擴充：無(wú)理數的引進(jìn)；第五次擴充：復數的引進(jìn)。

　　從原有數集擴充到新數集所遵循的原則：原數集是擴充后新數集的真子集；原數集定義的元素間的關(guān)系和運算在新數集中同樣地被定義；原數集中的元素在新數集中定義的運算結果與在原數集中的運算結果一致，且基本運算律保持；在原數集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數集中能夠施行；新數集是滿(mǎn)足上述四條的數集中的最小數集。擴充方法：一種是把新引進(jìn)的數加到已建立的數系中而擴充。另一種是從理論上創(chuàng )造一個(gè)集合，即通過(guò)定義等價(jià)類(lèi)來(lái)建立新數系，然后指出新數系的一個(gè)部分集合與以前數，一種新的數，也就實(shí)現了數系的一次擴張。引入了負數，就實(shí)現了這個(gè)數系關(guān)于加減運算的自封閉。

　　有理數有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋在一條水平的直線(xiàn)上，確定一段線(xiàn)段為單位長(cháng)度，把它的左、右端點(diǎn)分別標設為0和1。正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。對于分母q的有理數，就可以用把單位區間q等分的那些分點(diǎn)表示。每一個(gè)有理數都可以找到數軸上的一點(diǎn)與之對應。

　　無(wú)理數的引入正方形的邊長(cháng)和對角線(xiàn)不可公度。實(shí)現了數系的又一次擴張，可以滿(mǎn)足數學(xué)上開(kāi)方運算的需要，實(shí)現了實(shí)數系關(guān)于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個(gè)有理數都將全部有理數分為兩類(lèi)，使得第一類(lèi)中每個(gè)數都小于第二類(lèi)中的任一個(gè)數，這個(gè)分類(lèi)的有理數可以算在兩類(lèi)的任何一類(lèi)中。利用這個(gè)分割法可以得到無(wú)理數的定義。

　　所建立的數系是同構的。

　　自然數的兩大基本理論：基數理論和序數理論

　　基數理論當我們把所有表示數量的符號放在一起就得到了一個(gè)集合，我們稱(chēng)之為“數集”，為了度量“數集”當中表示數量的符號個(gè)數，我們首先要定義一個(gè)概念就是“基數”。19世紀中葉，數學(xué)家康托以集合理論為基礎提出了自然數的基數理論。等價(jià)集合的共同特征稱(chēng)為基數。對于有限集合來(lái)說(shuō)，基數就是元素的個(gè)數。自然數就有有限集合A的基數叫做自然數。記作“”。當集合是有限集時(shí)，該集合的基數就是自然數�？占�的基數就是0。而一切自然數組成的集合，我們稱(chēng)之為自然數集，記為N。

　　序數理論皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論，進(jìn)而完全確立了數系的理論。是根據一個(gè)集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來(lái)。

　　定義非空集合N中的元素叫做自然數,如果N的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿(mǎn)足下列公理：

　�。�1）0∈N；

　�。�2）0不是N中任何元素的后繼元素；

　�。�3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

　�。�4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

　�。�5）（歸納公理）如果MN，而且滿(mǎn)足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構成的系統稱(chēng)為皮亞諾公理系統，它就是自然數系。

　　自然數0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數法中的空位，在位置制記數中是不可缺少的。

　　自然數系所蘊含的思想

　　對應思想（可數的集合）自然數建立在對應概念之上，而且對應的思想也成為自然數的一個(gè)重要性質(zhì)。一一對應關(guān)系是集合論中建立兩個(gè)集合“相等”關(guān)系的一個(gè)重要概念。（導致了俗稱(chēng)“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會(huì )產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過(guò)德國弗芝克爾改進(jìn)形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統（ZF公理系統）。數位思想

　　位置制記數法，就是運用少量的符號，通過(guò)它們不同個(gè)數的排列，以表示不同的數。用十個(gè)記號來(lái)表示一切的數，每個(gè)記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進(jìn)位位置制記數之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開(kāi)的。

　　負數的數學(xué)含義至少包括如下幾個(gè)方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負

　　數學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數學(xué)符號的意義在于：有了數學(xué)符號，才使得抽象的數學(xué)概念有了具體的表現形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數學(xué)思維能以直觀(guān)的、簡(jiǎn)約的形式表現出來(lái)。

　　字母代表數代數，原意就是指“文字代表數”的學(xué)問(wèn)。使得許多算術(shù)問(wèn)題可以轉換為代數方程問(wèn)題求解。根本的內涵是“未知數的符號x可以和數一樣進(jìn)行四則運算。文字代表數的真正價(jià)值在于：字母能夠和數字一起進(jìn)行四則運算和乘方、開(kāi)方，進(jìn)行指數、對數、三角等運算，乃至對字母進(jìn)行微分、積分運算等等。

　　解析式數字、字母、運算符號按照一定規律有意義地結合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規律和變形規則。解析式可以區分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是只含有代數運算的解析式叫代數式，沒(méi)有開(kāi)方運算的代數式稱(chēng)為有理式，否則稱(chēng)為無(wú)理式；沒(méi)有除法運算的有理式稱(chēng)為整式，否則稱(chēng)為分式；沒(méi)有加、減運算的整式稱(chēng)為單項式，否則稱(chēng)為多項式。另一類(lèi)是包含初等超越運算的解析式統稱(chēng)為初等超越式，簡(jiǎn)稱(chēng)超越式。它包括指數式、對數式、三角函數式、反三角函數式。

　　解析式的恒等變形把一個(gè)給定的解析式變換為另一個(gè)與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫(xiě)的，因為它們對一切數，代入式都相等。但是，解方程時(shí)的同解變形，不是恒等變形，。代數式數學(xué)的符號語(yǔ)言

　　代數式是在數系基礎上發(fā)展起來(lái)的。在初等代數中，所涉及的運算可分為兩大類(lèi)：1代數運算2初等超越運算：指數是無(wú)理數的乘方、對數、三角、反三角運算。

　　定義，在一個(gè)解析式中，如果對字母只進(jìn)行有限次代數運算，那么這個(gè)解析式就稱(chēng)為代數式；如果對字母進(jìn)行了有限次的初等超越運算，那么這個(gè)解析式就稱(chēng)為初等超越式，簡(jiǎn)稱(chēng)超越式。還可以進(jìn)一步分類(lèi)：只含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式稱(chēng)為有理式；其余的代數式稱(chēng)為無(wú)理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱(chēng)為整式（或多項式），其余的有理式稱(chēng)為分式。

　　“數”發(fā)展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數系的擴大化問(wèn)題。將抽象的符號運算應用到更一般的對象上，開(kāi)辟了構造數學(xué)的新方向，為抽象代數學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數學(xué)的顯著(zhù)特征。

　　數學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個(gè)重要的屬性在于它的形象性。數學(xué)符號不但精確地表示數學(xué)抽象，而且是抽象內涵的簡(jiǎn)約形象。等式和方程

　�。ㄒ唬┓匠痰暮�義“含有未知數的等式叫方程”。這個(gè)定義簡(jiǎn)單明了，為大家所習用。不過(guò)，這個(gè)定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�，在未知數和已知數之間建立起來(lái)的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r(jià)值提出來(lái)了，即為了尋求未知數。

　　判斷一個(gè)代數式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數。方程的概念一般用于兩個(gè)領(lǐng)域：“求某個(gè)未知數的數”和“曲線(xiàn)與方程”在這兩個(gè)領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒(méi)有變化，而是研究的問(wèn)題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個(gè)數（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

　　方程的分類(lèi)依照方程解的個(gè)數分，可將方程分為無(wú)解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個(gè)解、有無(wú)窮多個(gè)解和全體實(shí)數解等。方程按照它所含有的未知數的個(gè)數來(lái)分類(lèi)：集。兩個(gè)不等式的解集相同，則稱(chēng)這兩個(gè)不等式是同解的。

　　不等式有三個(gè)基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實(shí)際應用在運動(dòng)變化過(guò)程中，如果用函數模型刻畫(huà)運動(dòng)變化的兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫(huà)的是x、y變化過(guò)程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫(huà)的是變化過(guò)程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問(wèn)題上具有廣泛的應用。不等式蘊含的思想

　�。ㄒ唬┠Ｐ退枷肱c相等現象相比，不等現象是現實(shí)世界中更為普遍的現象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

　　方程借助用字母表示數的代數思想，將未知數同已知數一起描述問(wèn)題的代數表達形式，形成了方程的基本思想。

　　方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習方程內容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會(huì )解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀(guān)規律都表現為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來(lái)往往就是一個(gè)方程式。初中方程的教學(xué)不能過(guò)分地停留在數學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會(huì )到數學(xué)與現實(shí)生活密不可分的聯(lián)系。體會(huì )方程是一種用數學(xué)符號提煉現實(shí)生活中的特定關(guān)系的過(guò)程。必須學(xué)會(huì )抽象將關(guān)系抽象為數學(xué)符號。

　　方程設計思想的思路先進(jìn)行生活中的提煉，然后到數學(xué)表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問(wèn)題。

　　初中數學(xué)方程的常見(jiàn)解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

　　等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來(lái)完成的。方程是一種特殊的等式，是在說(shuō)明相等是怎么回事，等式可以是數字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫(huà)的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式

　　學(xué)習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個(gè)區域。

　　不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨立的，也是相互統一的。不等關(guān)系往往可以等價(jià)地轉化為相等關(guān)系加以解決。

　　不等式的含義兩個(gè)實(shí)數或代數式用符號連接起來(lái)的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實(shí)數代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內的實(shí)數代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實(shí)數值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數式時(shí)，稱(chēng)為代數不等式；兩邊的解析式至少有一個(gè)是超越式時(shí)，稱(chēng)為超越不等式。不等式解集表示方法

　　不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過(guò)程叫解不等式。不等式組中每一個(gè)不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

　　一個(gè)不等式的解集表示方法1數軸表示法即在數軸上把不等式的解集表示出來(lái)。2集合表示法即用集合來(lái)表示不等式的解集。3區間表示法即用區間來(lái)表示不等式的解

　　刻畫(huà)不等現象的有力模型。通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中的數量關(guān)系，列出不等式，通過(guò)解不等式得到實(shí)際問(wèn)題的答案，這就體現了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫(huà)現實(shí)世界中量與量之間變化規律的重要模型，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數學(xué)模型。（二）辯證思想通過(guò)c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價(jià)”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當地運用這種思想可以輕松地化解相當多的問(wèn)題。（三）數形結合思想根據題意可列出不等式組，運用數軸表示不等式組的解集，可以直觀(guān)形象地解決問(wèn)題。這種思想正是數形結合思想。函數

　　函數是描述客觀(guān)世界變化規律的重要數學(xué)模型。

　　1755年，歐拉首次給出了函數變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當后面的變量變化時(shí)，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱(chēng)之為后一些變量的函數�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮档摹白兞空f(shuō)”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個(gè)變量，如果對它的每一個(gè)值，都有未知量W的每一個(gè)值與之對應，則稱(chēng)W是Z的函數�！�。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進(jìn)而定義函數：

　　1）對

　　中每一個(gè)元素

　　，存在

　　，使

　��；

　�。�2）若且，則。函數記作：”分別稱(chēng)以上函數定義為變量說(shuō)、對應說(shuō)和關(guān)系說(shuō)。函數概念的核心思想

　　數學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系。函數研究的是兩個(gè)變量之間的數量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號表示函數。函數的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

　　解析式是最常用的方法，適用于表示連續函數或者分段函數。解析式有利于研究函數性質(zhì)，構建數學(xué)模型，但對初學(xué)者來(lái)說(shuō)也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀(guān)地表述函數的形態(tài)，有利于分析函數的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數可因題而議。中學(xué)數學(xué)研究的函數性質(zhì)

　　數學(xué)中研究函數主要是研究函數的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數的周期性，也涉及

　　奇偶性；在高中階段主要研究函數的單調性、周期性，也討論某些函數的奇偶性。（一）函數的周期性周期性反映了函數變化周而復始的規律。是中學(xué)階段學(xué)習函數的一個(gè)基本的性質(zhì)。周期函數是刻畫(huà)周期變化的基本函數模型，使我們集中研究函數在一個(gè)周期里的變化，了解函數在整個(gè)定義域內的變化情況。

　�。ǘ�）函數的奇偶性函數的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習函數時(shí)要研究的函數的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應了函數圖形的對稱(chēng)性質(zhì)，可以幫助我們用對稱(chēng)思想來(lái)研究函數的變化規律。

　�。ㄈ�）函數的單調性單調性是討論函數“變化”的一個(gè)最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數圖像走勢的變化規律。函數與其它內容的聯(lián)系

　�。ㄒ唬┖瘮蹬c方程用函數的觀(guān)點(diǎn)看待方程可以把方程的根看成函數與x軸交點(diǎn)的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實(shí)現了點(diǎn)與數對的對應，將圓錐曲線(xiàn)用含有兩面三刀個(gè)求知數的方程來(lái)表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了�，F代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　人們不斷發(fā)現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數學(xué)課程中的幾何學(xué)內容

　�。ㄒ唬┲庇^(guān)幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀(guān)地表示出來(lái)，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強調幾何直觀(guān)。

　�。ǘ�）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無(wú)限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀(guān)實(shí)驗的方法，標，即零點(diǎn)的橫坐標。方程可看作函數的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數圖形與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。

　�。ǘ�）函數與數列數列是特殊的函數。它的定義域一般是指非負的正整數集，有時(shí)也可以為自然數集，或者自然數集的子集。數列通常稱(chēng)為離散函數。等差數列是線(xiàn)性函數的離散化，而等比數列是指數函數的離散化。

　�。ㄈ�）函數與不等式我們首先確定函數圖像與x軸的交點(diǎn)（方程f(x)=0的解），再根據函數的圖像來(lái)求解不等式。

　�。ㄋ模┖瘮蹬c線(xiàn)性規劃是最優(yōu)化問(wèn)題的一部分，從函數的觀(guān)點(diǎn)看，首先，要確定目標函數，用目標函數來(lái)刻畫(huà)“好、壞”或“大、小”等，接著(zhù)，需要確定目標函數的可行域。最后，討論目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問(wèn)題。

　　解線(xiàn)性規劃問(wèn)題，可歸結為以下算法：第一步，確定目標函數；第二步，確定目標函數的可行域；第三步，確定目標函數在可行域內的最值。函數模型

　　函數是對現實(shí)世界數量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎，具有良好的普適性和代表意義�，F實(shí)生活中，普遍存在著(zhù)最優(yōu)化問(wèn)題----最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問(wèn)題，通過(guò)建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數建模的思想進(jìn)行解決。在運用一次函數知識和方法建模解決時(shí)，有時(shí)要涉及到多種方案，通過(guò)比較，從中挑選出最佳的方案。

　　在實(shí)際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習的函數在現實(shí)生活中有豐富的“原型”之外，還應通過(guò)實(shí)例介紹或讓學(xué)生通過(guò)運算來(lái)體驗函數模型的多樣性。

　　通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì )、感受數據擬合在預測、規劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會(huì )用數學(xué)的知識、思想方法、數學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，提高運用數學(xué)的能力．要鼓勵學(xué)生收集一些社會(huì )生活中普遍使用的函數模型的實(shí)例進(jìn)行探索實(shí)踐．第二章圖形與幾何四個(gè)基本階段。

　　實(shí)驗幾何的形成和發(fā)展

　　人們在觀(guān)察、實(shí)踐、實(shí)驗的基礎上積累了豐富的幾何經(jīng)驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

　　柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統編寫(xiě)的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

　　以一些原始概念和公理為出發(fā)點(diǎn)，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進(jìn)行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀(guān)和少量代數公理，但是，主要立足邏輯進(jìn)行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

　�。ㄈ�）度量幾何對一些圖形進(jìn)行度量，包括長(cháng)度，面積，體積，角度等，適當的延伸。（四）變換幾何也叫運動(dòng)幾何。這個(gè)領(lǐng)域主要討論平移、旋轉、反射等剛體運動(dòng)，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱(chēng)等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數、幾何關(guān)系和函數之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關(guān)系的研究了。

　　經(jīng)驗幾何所謂經(jīng)驗幾何，通常是直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何的通稱(chēng)，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動(dòng)經(jīng)驗的積累，以及幾何直覺(jué)的發(fā)展。經(jīng)驗幾何的作用

　　幾何學(xué)是研究現實(shí)世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結構、圖形關(guān)系的學(xué)科。

　�。ㄒ唬┙�(jīng)驗幾何則是發(fā)現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺(jué)思維和創(chuàng )造性思維方面起著(zhù)重大的作用，而論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著(zhù)重要作用。（二）經(jīng)驗幾何是學(xué)習推理論證幾何的必要前提。

　　學(xué)習的內容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過(guò)直觀(guān)幾何與實(shí)驗幾何的充分學(xué)習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺(jué)性的了解、操作性的了解，進(jìn)而形成幾何推理。

　　另一方面，我們用來(lái)作為推理基礎的幾何性質(zhì)，一部分是利用實(shí)驗歸納的方法得來(lái)的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進(jìn)行“推論”而導出的結果。

　�。ㄈ�）實(shí)驗幾何是幾何學(xué)習的一個(gè)階段和一種認知水平，更是一種幾何學(xué)習方法�？傊�，實(shí)驗幾何作為幾何學(xué)習的一個(gè)階段，在學(xué)生幾何學(xué)習過(guò)程中起到承上啟下的銜接作用；同時(shí)，實(shí)驗幾何是貫穿從直觀(guān)幾何到論證幾何學(xué)習的一種有益于發(fā)現真理、幾何直觀(guān)幾何直觀(guān)具有發(fā)現功能，同時(shí)也是理解數學(xué)的有效渠道。數學(xué)概念經(jīng)過(guò)多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀(guān)可信的數學(xué)對象為基礎進(jìn)行理性重建，從而達到思維直觀(guān)化的理想目標和可應用性要求,這要求數學(xué)的直觀(guān)與形式的統一，才使得數學(xué)的完美。

　　幾何直觀(guān)及其作用《數學(xué)課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述

　　和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。

　　幾何直觀(guān)對于學(xué)生的數學(xué)發(fā)展非常重要：

　　首先，幾何直觀(guān)是一種創(chuàng )造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現過(guò)程中起到不可磨滅的作用。對于數學(xué)中的很多問(wèn)題，靈感往往來(lái)自于幾何直觀(guān)。數學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題盡量變成可借用的幾何直觀(guān)問(wèn)題，使他們成為數學(xué)發(fā)現的向導，隨著(zhù)現代科技的發(fā)展，幾何直觀(guān)在計算機圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

　　其次，幾何直觀(guān)是認識論問(wèn)題，是認識的基礎,有助于學(xué)生對數學(xué)的理解。

　　借助于幾何直觀(guān)、幾何解釋?zhuān)�能啟迪思�?可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀(guān)念、形式化語(yǔ)言的直觀(guān)背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng )造了一個(gè)自己主動(dòng)思考一般地，周長(cháng)指封閉曲線(xiàn)一周的長(cháng)度。（二）面積

　　物體的表面是一個(gè)二維的圖形，直觀(guān)地感覺(jué)它所占有的區域具有一定的大小，對一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數”標志它的大小，稱(chēng)這個(gè)數為該圖形的面積。人們約定，將邊長(cháng)為1米的正方形的面積規定為1平方米。

　　于是，對于邊長(cháng)為整數a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個(gè)邊長(cháng)為1米的正方形，進(jìn)而，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數）。如果矩形的邊長(cháng)A，B是無(wú)理數，而且仍用邊長(cháng)為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過(guò)程，用一列有理數逼近無(wú)理數，an→A,bn→B。依據anbn→AB，以及有理數邊長(cháng)的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

　　這個(gè)過(guò)程實(shí)際上論證了“邊長(cháng)相等的兩個(gè)矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長(cháng)度的的機會(huì )，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng )設不同的數學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內部源泉入手，通過(guò)自主探索、發(fā)現和再創(chuàng )造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數學(xué)發(fā)現的過(guò)程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺(jué)相互作用與矛盾中形成數學(xué)觀(guān)。

　　最后，幾何直觀(guān)是揭示現代數學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀(guān)和方法論。借助幾何直觀(guān)，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數學(xué)創(chuàng )造性工作歷程，能夠開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng )造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

　　直觀(guān)幾何主要包含哪些內容

　　以大量豐富的實(shí)例為背景，通過(guò)觀(guān)察、操作來(lái)探索認識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點(diǎn)、線(xiàn)、面、角、平行線(xiàn)、相交線(xiàn)、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規作圖、視圖和投影等。這些內容構成直觀(guān)幾何的重要組成部分。經(jīng)驗幾何的具體研究?jì)热?/p>

　　初中幾何的主要課程教學(xué)目標在于，“積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀(guān)、空間觀(guān)念，進(jìn)一步感受幾何推理的魅力，體會(huì )幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀(guān)、積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗、培養空間觀(guān)念，則是經(jīng)驗幾何的核心目標。按照初中階段的經(jīng)驗幾何認識過(guò)程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗幾何的學(xué)習內容，分成認識圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉換、在運動(dòng)與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱(chēng)為長(cháng)度，而將二維圖形的大小用面積來(lái)表示，體積則是標志三維圖形大小的數。線(xiàn)段長(cháng)度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。

　　長(cháng)度的含義線(xiàn)段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長(cháng)度中的波長(cháng)數。1960年以后，用激光定義“米”。

　　目前，國際上采用的長(cháng)度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權度大會(huì )重新把國際標準制（SI）中的長(cháng)度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內在真空中所走的長(cháng)度，稱(chēng)為“米”。

　　如果可以用一個(gè)線(xiàn)段e衡量?jì)蓷l線(xiàn)段M，N，使得M，N都是e的整數倍，我們稱(chēng)兩個(gè)線(xiàn)段M，N是可公度的。

　　輾轉相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長(cháng)的那個(gè)線(xiàn)段減去短的那個(gè)線(xiàn)段，如此輾轉截取，直到兩個(gè)線(xiàn)段一樣長(cháng)，這個(gè)長(cháng)度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，發(fā)現正方形的邊與其對角線(xiàn)不可公度3.周長(cháng)“圓、橢圓或其它閉合的曲線(xiàn)的周界長(cháng)度�！�

　　比”。

　　海倫-秦九韶公式

　　劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無(wú)窮小分割引入了數學(xué)證明。將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差越來(lái)越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個(gè)相等的圓，把它們等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們沿半徑剖開(kāi)（但扇形的圓弧仍然連著(zhù)）、展平成鋸齒條形然后，把兩個(gè)鋸齒形互相嵌入即成一個(gè)近似的矩形。份數分得愈多，其結果愈接近矩形，這個(gè)矩形的高為圓半徑r，底為圓周長(cháng)c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

　�。�1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內，如果被度量的幾何體恰好被a個(gè)正方體填滿(mǎn)，那么這個(gè)幾何體的體積就等于幾個(gè)單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線(xiàn)段的長(cháng)度，再利用有關(guān)公式計算出這個(gè)幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理

　　既然圖形是一個(gè)集合，而相應的圖形的面積是一個(gè)數，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數。這個(gè)集合函數顯然是非負函數，而且正方形的面積是1。當然，兩個(gè)不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個(gè)圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)、旋轉、反射，其面積應該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內容。對于周長(cháng)一定的矩形來(lái)說(shuō)，邊長(cháng)相等時(shí)矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來(lái)說(shuō)，邊長(cháng)相等時(shí)矩形周長(cháng)最小，即正方形的周長(cháng)最小。事實(shí)上，這個(gè)結論可以推廣為：在周長(cháng)相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節變換幾何

　　變換就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射。幾何變換、變換群的概念

　　幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過(guò)程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。

　　變換群。實(shí)際上是滿(mǎn)足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個(gè)群，就有相應的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應幾何學(xué)的主要內容。

　　在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

　　全等變換

　　如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點(diǎn)A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個(gè)映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個(gè)圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個(gè)全等的圖形上每?jì)蓚�(gè)對應三角形有相反的方向，并且每?jì)蓚�(gè)對應的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個(gè)圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個(gè)相似圖形的每對對應三角形有同一的方向,每對對應角有同一方向。反演變換

　　在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)P，將其變從認知規律看，幾何學(xué)習的基本途徑,主要是四步：直觀(guān)感知→操作確認→演繹推理→度量計算。

　　歐幾里得與演繹幾何

　　公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

　　希臘數學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書(shū)。這本書(shū)內容豐富，結構嚴謹，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說(shuō)有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀(guān)、演繹推理進(jìn)行處理的利弊得失

　　《原本》作為教科書(shū)使用了兩千多年。在形成文字的教科書(shū)之中，無(wú)疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類(lèi)似的東西黯然失色。該書(shū)問(wèn)世之后，很快取代了以前的幾何教科書(shū)，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線(xiàn)OP上一點(diǎn)P/，且使OP/OP=R，這個(gè)變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過(guò)反演中心的射線(xiàn)變成自身，且在此射線(xiàn)上建立對合對應，它使位于圓內的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內的點(diǎn)，反演中心變成平面內的無(wú)限遠點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過(guò)反演中心的直線(xiàn)或平面，分別變成過(guò)反演中心的圓或球面；將不過(guò)反演中心的圓或球面，分別變成另一個(gè)不過(guò)反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線(xiàn)（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉，反射平移、旋轉與反射的初步描述

　　圖形相似的思想方法體現在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問(wèn)題的手段之中。我們可以將其歸結為如下五個(gè)方面：

　�。�1）圖形相似問(wèn)題的核心往往在于三角形相似與成比例線(xiàn)段，體現出化歸思想

　�。�2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個(gè)窗口，圖形相似在自然、社會(huì )和人類(lèi)生活中具有廣泛的普適性。

　�。�3）結構相同，即“同構”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來(lái)研究整體。

　�。�4）圖形相似提供了認識三角形的另一個(gè)途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構成元素的認識。

　�。�5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┢揭�、旋轉、反射變換是全等變換

　�。ǘ�）平移、旋轉都可以由若干次反射（軸對稱(chēng)）的復合而得到。

　　對于平移、旋轉和軸對稱(chēng)（反射）來(lái)說(shuō)，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現，其中，軸對稱(chēng)（變換）更為基本。

　�。�1）對同一個(gè)圖形連續進(jìn)行兩次軸對稱(chēng)，如果兩個(gè)對稱(chēng)軸互相平行，那么，這兩次軸對稱(chēng)的結果等同于一次平移；

　�。�2）對同一個(gè)圖形連續進(jìn)行兩次軸對稱(chēng)，如果兩個(gè)對稱(chēng)軸相交，那么，這兩次軸對稱(chēng)的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱(chēng)軸的交點(diǎn)。反過(guò)來(lái)，對一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過(guò)連續的兩次軸對稱(chēng)來(lái)替代完成；對一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉，可以通過(guò)連續的兩次軸對稱(chēng)來(lái)完成。

　�。�3）任意一個(gè)合同變換至多可表示為三個(gè)反射的乘積。第五節演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著(zhù)作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因為如此，自本書(shū)問(wèn)世以來(lái)，思想家們?yōu)橹�而傾倒。公正地說(shuō)，歐幾里得的這本著(zhù)作是現代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素�？茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過(guò)細心觀(guān)察的東西和小心概括出來(lái)的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗同試驗進(jìn)行結合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理�？梢钥隙ǖ卣f(shuō)，這并非偶然。毫無(wú)疑問(wèn)，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類(lèi)拔革的人物都出現在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來(lái)的數學(xué)知識。對于歐洲人來(lái)講，只要有了幾個(gè)基本的物理原理，其他都可以由此推演而來(lái)的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。

　　歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學(xué)原理》一書(shū)，就是按照類(lèi)似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫(xiě)成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說(shuō)明他們的結論是如何從最初的幾個(gè)假設邏輯地推導出來(lái)的。許多數學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個(gè)世紀以來(lái)，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來(lái)沒(méi)有出現一個(gè)可以同歐幾里得對應的中國數學(xué)家。其結果是，中國從未擁有過(guò)歐洲人那樣的數學(xué)理論體系（中國人對實(shí)際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來(lái)。此后，又用了幾個(gè)世紀的時(shí)間，他的演繹幾何體系才在受過(guò)教育的中國人之中普遍知曉。

　　如今，數學(xué)家們已經(jīng)認識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設計出來(lái)的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過(guò)去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng )立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛(ài)因斯坦的廣義相對論被接受以來(lái)，人們的`確已經(jīng)認識到，在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周?chē)�，引力�?chǎng)極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無(wú)法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現實(shí)世界的結論。不管怎樣，人類(lèi)知識的這些最新進(jìn)展都不會(huì )水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會(huì )因此貶低他在數學(xué)發(fā)展和建立現代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛(ài)因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家�！庇纱丝梢�(jiàn)，《原本》一書(shū)對人類(lèi)科學(xué)思維的影響是何等巨大。

　　從數學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結構是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節都那么重要，一節學(xué)不好，繼續前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒(méi)有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線(xiàn)，從而幾何被公認為難學(xué)的一門(mén)課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數學(xué)課程教學(xué)改革的焦點(diǎn)�！对�本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習的平面幾何、立體幾何的全部?jì)热�。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最為激進(jìn)的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄?jiàn)W東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來(lái)改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學(xué)數學(xué)幾何部分的主要內容。有人稱(chēng)之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學(xué)的視角，提供了現實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀(guān)地反映了我們人類(lèi)的生存空間，刻畫(huà)了我們視覺(jué)所觀(guān)察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的基本內容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比三種幾何的關(guān)系

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個(gè)嚴密的公理體系，各公理之間滿(mǎn)足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀(guān)實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準確一些。

　　義務(wù)教育階段幾何課程內容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設計的特點(diǎn)簡(jiǎn)析義務(wù)教育階段幾何課程設計的特點(diǎn)與以往的綜合幾何課程設計風(fēng)格相比，《數學(xué)課程標準》下的幾何已經(jīng)將直觀(guān)幾何和實(shí)驗幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時(shí)歐氏幾何的體系和內容整體上還是基本保留的。只不過(guò)，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習，也有利于引導中小學(xué)生從形的角度去認識我們周?chē)�的物體和生活空間。

　　盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習價(jià)值，但在以往的教學(xué)中，它又確實(shí)逐步暴露出一些問(wèn)題，例如，內容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大等等。①這些問(wèn)題需要數學(xué)課程的設計者與數學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內容的精簡(jiǎn)與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對繼續學(xué)習發(fā)揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應用，重視幾何直觀(guān)，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現代數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動(dòng)變換觀(guān)點(diǎn)就是這樣的重要觀(guān)點(diǎn)之一。

　　從國際上數學(xué)課程改革的歷程來(lái)看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學(xué)”改革的浪潮中，將運動(dòng)觀(guān)點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問(wèn)題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動(dòng)起來(lái)，有助于發(fā)現圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗，有的因觀(guān)點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱(chēng)、中心對稱(chēng)等觀(guān)念已被不少?lài)�家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說(shuō)，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術(shù)與代數注入了新的血液，那么，運動(dòng)變換觀(guān)點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學(xué)觀(guān)點(diǎn)和更新的研究視野。

　　對第五公設是否獨立的研究導致了非歐幾何的發(fā)現。

　　非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門(mén)大的數學(xué)分支，一般來(lái)講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

　　家羅巴切夫斯基發(fā)現非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設與歐氏系統的其余公理是獨立無(wú)關(guān)的。黎曼幾何

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內任何兩條直線(xiàn)都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認平行線(xiàn)的存在，它的另一條公設講：直線(xiàn)可以無(wú)限延長(cháng)，但總的長(cháng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當“改進(jìn)”的球面。制，另一方面體現在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時(shí)，弱化了的部分也還會(huì )在高中繼續出現。

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設計的突出特點(diǎn)體現為：以“立體平面立體”為主要線(xiàn)索，強調與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當地拓寬活動(dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡(jiǎn)單推理為具體處理方式，強調學(xué)生的直觀(guān)體驗學(xué)習的方法；注重發(fā)展的空間觀(guān)念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發(fā)現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀(guān)和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗基礎之上的幾何推理的學(xué)習。

　　幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。幾何直觀(guān)不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習中，而且在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中都發(fā)揮著(zhù)重要作用。

　　推理能力的發(fā)展應貫穿在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中。推理是數學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路，發(fā)現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。

　　直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程設計特點(diǎn)與綜合幾何的差異

　　與綜合幾何相比，直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何有著(zhù)更現實(shí)的意義和課程設計的特色：

　　1．不同的課程目標和價(jià)值取向

　　從課程設計的角度看，直觀(guān)幾何與實(shí)驗幾何更接近于認知發(fā)展取向的課程設計模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價(jià)值取向的課程設計模式。

　　2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎和不同的師生關(guān)系

　　以論證為主的綜合幾何課程設計，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程設計觀(guān)認為，有意義的幾何教學(xué)應當建立在學(xué)生的主觀(guān)意愿和知識、經(jīng)驗基礎之上，依賴(lài)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應該定位在學(xué)習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應該努力構建一種和諧、互動(dòng)的新關(guān)系。

　　3．不同的課程設計風(fēng)格

　　在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗型課程外，大多數課程介于兩者之間。直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何屬于典型的經(jīng)驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當前，我國實(shí)行的義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之間，只不過(guò)，有的更靠近后者，即比較“前衛”，而有的更靠近前者，“中規中矩”。

　　4．不同的教學(xué)要求

　　在直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生的直觀(guān)感受和幾何活動(dòng)經(jīng)驗是學(xué)習的基本出發(fā)點(diǎn)和必不可少的載體，而且直觀(guān)教學(xué)變得十分重要。在這種課程設計時(shí)，有的是在抽象的學(xué)科主線(xiàn)中不斷閃現出內容豐富的情景問(wèn)題，有的是把豐富的情景問(wèn)題沿幾何的主線(xiàn)逐步鑲嵌與展開(kāi)。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節。因而，在直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程設計模式下，采用直觀(guān)教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開(kāi)始便進(jìn)入到直觀(guān)教學(xué)所創(chuàng )設的情盡管全國初中數學(xué)課程標準實(shí)驗教科書(shū)彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀(guān)與推理

　　能力是普遍趨勢。第三章統計與概率

　　準確理解數學(xué)、概率、統計之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┭芯繂�(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同數學(xué)研究的對象是從現實(shí)生活中抽象出來(lái)的數和圖形。數學(xué)研究問(wèn)題必須有定義，即數學(xué)研究問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒(méi)有定義無(wú)法進(jìn)行數學(xué)的研究。統計研究所依賴(lài)的是模型，構建一些模型的基礎上進(jìn)行研究。但是，統計與數學(xué)有著(zhù)密切的聯(lián)系，我們拿來(lái)數學(xué)的很多知識、思想方法作為統計分析的工具。

　�。ǘ�）研究問(wèn)題的立論基礎不同從數量和數量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數學(xué)是建立在概念和符號的基礎上的。而統計學(xué)是建立在數據和模型的基礎上，雖然概念和符號對于統計學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統計學(xué)在本質(zhì)上是通過(guò)數據和模型進(jìn)行推斷的。

　　境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀(guān)，便可展現情景，給學(xué)生以鮮明生動(dòng)的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設計的突出特點(diǎn)體現為：以“立體平面立體”為主要線(xiàn)索，強調與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當地拓寬活動(dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡(jiǎn)單推理為具體處理方式，強調學(xué)生的直觀(guān)體驗（幾何課與實(shí)際活動(dòng)課有天然的聯(lián)系）學(xué)習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀(guān)念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發(fā)現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀(guān)和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗基礎之上的幾何推理的學(xué)習。

　　初中階段屬于從直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何逐步過(guò)渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何，但包含一點(diǎn)點(diǎn)說(shuō)理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

　　在義務(wù)教育數學(xué)課程標準下，“圖形與幾何”主要內容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類(lèi)和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱(chēng)、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動(dòng)。

　　在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀(guān)念，注重培養學(xué)生的幾何直觀(guān)與推理能力。

　　如何理解初中幾何的核心目標發(fā)展幾何直觀(guān)與推理能力

　　在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應幫助學(xué)生建立空間觀(guān)念，注重培養學(xué)生的幾何直觀(guān)與推理能力�？臻g觀(guān)念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動(dòng)和變化；依據語(yǔ)言描述畫(huà)出圖形等。幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。幾何直觀(guān)不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習中，而且在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中都發(fā)揮著(zhù)重要作用。推理能力的發(fā)展應貫穿在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中。推理是數學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，按照規定的法則證明結論。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路，發(fā)現結論；演繹推理用于證明結論的正確性�；�于此，《數學(xué)課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線(xiàn)索展開(kāi)空間與圖形的內容。

　�。ㄈ�）研究問(wèn)題的方法不同與概念和符號相對應，數學(xué)的推理依賴(lài)的是公理和假設，是一個(gè)從一般到特殊的方法，而統計學(xué)的推斷依賴(lài)的是數據和數據產(chǎn)生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。

　�。ㄋ模┭芯繂�(wèn)題的判斷原則不同數學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結果的判斷標準是對與錯，從這個(gè)意義上說(shuō)，數學(xué)是一門(mén)科學(xué)，而統計學(xué)是通過(guò)數據來(lái)推斷數據產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果，統計學(xué)對結果的判斷標準是好與壞，從這個(gè)意義上說(shuō)，統計學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué)，也是一門(mén)藝術(shù)。

　　數理統計方法的基本步驟建立數學(xué)模型，收集整理數據，進(jìn)行統計推斷、預測和決策。當然，這些環(huán)節不能截然分開(kāi)，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯的。

　�。�1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規定一定的類(lèi)型。建立模型要依據概率的知識、所研究問(wèn)題的專(zhuān)業(yè)知識、以往的經(jīng)驗以及從總體中抽取的樣本。

　�。�2）數據的收集。其方法主要包括全面觀(guān)測、抽樣觀(guān)測和安排特定的實(shí)驗3種方式。全面觀(guān)測又稱(chēng)普查，即對總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀(guān)測，測定所需要的指標。抽樣觀(guān)測又稱(chēng)抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標值。這方面的研究?jì)热輼嫵蓴道斫y計的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調查。

　�。�3）安排特定實(shí)驗以收集數據，這些特定的實(shí)驗要有代表性，并使所得數據便于進(jìn)行分析。

　�。�4）數據整理。目的是把包含在數據中的有用信息提取出來(lái)。一種形式是制定適當的圖表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數據中的粗略的規律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數字特征，以刻畫(huà)樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡(jiǎn)單描述性統計量。

　�。�5）統計推斷。指根據總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數據的收集和整理是進(jìn)行統計推斷的必要準備，統計推斷是數理統計學(xué)的主要任務(wù)。

　�。�6）統計預測。統計預測的對象，是隨機變量在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設想在某種條件下對該變量進(jìn)行觀(guān)測時(shí)將取的值。

　�。�7）統計決策。依據所做的統計推斷或預測，并考慮到行動(dòng)的后果而制定的一種行動(dòng)方案。初中統計與概率的課程內容主要內容包括：

　　描述統計的進(jìn)一步擴展----描述統計的基本目標在于以最簡(jiǎn)單而直觀(guān)的形式最大限度地容納有用的數據。

　　滲透數理統計思想----數理統計與描述統計的根本區別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過(guò)對樣本的分析來(lái)推斷總體的特性。這部分的一個(gè)核心的內容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過(guò)程、樣本的多少是收集數據的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。學(xué)習概率的初步內容-----包括運用列表、畫(huà)樹(shù)狀圖、制作面積模型、簡(jiǎn)單計算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過(guò)實(shí)驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復實(shí)驗時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值；通過(guò)大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對概率的認識，并能解決一些實(shí)際的問(wèn)題。

　　普查：為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調查，稱(chēng)為普查.總體：所考察對象的全體稱(chēng)為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對象稱(chēng)為個(gè)體。抽樣調查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調查，這種調查稱(chēng)為抽樣調查。樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間

　　在一定條件實(shí)現后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現象，人們稱(chēng)之為隨機現象。具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗稱(chēng)為隨機試驗：

　　信息。眾數只與其在數據中重復的次數有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數據信息，而且當各個(gè)數據的重復次數大致相等時(shí)，眾數往往沒(méi)有特別的意義。數據的離散程度

　　極差是指一組數據中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數據的變化范圍。方差是指一組數據中的平均數與每一個(gè)數據之差的平方和的平均數。

　　樣本數據的方差和標準差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動(dòng)就越大。加權平均數的概念

　　加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來(lái)計算，即一組數據的每個(gè)數乘以它的權重后所得積的總和。平均數稱(chēng)之為算術(shù)平均數，是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術(shù)平均數，

　　(1)可在相同條件下重復進(jìn)行；

　　〔2)每次試驗可出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定；

　　(3)事先知道試驗可能出現的全部結果。隨機事件隨機試驗的每一個(gè)可能的結果稱(chēng)為一個(gè)隨機事件

　　樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件。數據的收集

　　數據收集方法有兩種：調查和實(shí)驗。在現實(shí)生活中原來(lái)就有的數據，人們通過(guò)調查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調查；抽樣調查，即為一特定目的而對部分考察對象作調查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統抽樣法。

　　數據的隨機性主要有兩層涵義：

　　一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會(huì )是不同的；

　　另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規律。數據的整理和分析

　　數據分析觀(guān)念主要體現在三個(gè)方面：

　　第一，了解在現實(shí)生活中有許多問(wèn)題應當先做調查研究，收集數據，通過(guò)分析作出判斷，體會(huì )數據中是蘊含著(zhù)信息的；

　　第二，了解對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問(wèn)題的背景選擇合適的方法；

　　第三，通過(guò)數據分析體驗隨機性。

　　理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來(lái)估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）和離散程度（極差、方差、標準差）來(lái)估計總體的集中程度和離散程度。頻數和頻率

　　我們稱(chēng)每個(gè)對象出現的次數為頻數，也稱(chēng)次數。頻數也稱(chēng)“次數”，對總數據按某種標準進(jìn)行分組，統計出各個(gè)組內含個(gè)體的個(gè)數。而頻率則每個(gè)小組的頻數與數據總數的比值。數據的集中趨勢在統計學(xué)中是指一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點(diǎn)的位置所在。反映數據集中趨勢的度量包括平均數、中位數、眾數等。平均數一組數據的平均數就是用這組數據的總和除以這組數據的總個(gè)數得到的值。中位數，就是將這組數據從小到達排列后，位于正中間的數（或中間兩個(gè)數的平均數）。眾數，是指一組數據的眾數就是這組數據中出現頻數最多的數。平均數、中位數和眾數的聯(lián)系與區別

　　聯(lián)系：從不同角度描述了一組數據的集中趨勢。區別：計算平均數時(shí)，所有數據都參加運算，它能充分利用數據所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應用最為廣泛。中位數的優(yōu)點(diǎn)是計算簡(jiǎn)單，只與其在數據中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數據當加權平均數中的權相等時(shí)，就是算術(shù)平均數。

　　統計表不僅反映某一類(lèi)事物的具體數據，而且還能說(shuō)明有關(guān)數據之間的關(guān)系。統計圖是借助于幾何線(xiàn)、形(線(xiàn)段、長(cháng)方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數據信息，直觀(guān)地反映其規模、水平、構成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據統計數據所繪制的圖形。條形圖是以簡(jiǎn)單的幾何圖形，即等寬條形的長(cháng)短或高低來(lái)比較數據所隱含信息的統計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱(chēng)條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

　　直方圖有兩種，頻數直方圖和頻率直方圖。頻數直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區別。

　　扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分數據的統計圖叫做扇形統計圖。扇形圖能直觀(guān)地、生動(dòng)地反映各部分在總體中所占的比例。

　　扇形統計圖具有四個(gè)特點(diǎn)：

　　一是利用圓和扇形來(lái)表示總體和部分的關(guān)系，

　　二是圓代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；

　　三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

　　四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統計圖中，不能簡(jiǎn)單地根據百分比的大小來(lái)比較部分量的大小。折線(xiàn)統計圖

　　用一個(gè)單位長(cháng)度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線(xiàn)段順次連接起來(lái)，折線(xiàn)統計圖不但可以表示出數量的多少，還能夠清楚地表示出數量的增減變化情況，并且可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的預測。折線(xiàn)統計圖可分為單式折線(xiàn)圖或復式折線(xiàn)圖。統計是對隨機現象統計規律歸納的研究，而概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

　　隨機事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀(guān)世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數量刻畫(huà)。

　　概率的定義

　　頻率是指事件發(fā)生的次數在全部試驗次數中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復進(jìn)行同一試驗時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點(diǎn)全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率

　�。�1）隨機性和規律性。

　�。�2）概率和機會(huì )。從某種意義說(shuō)來(lái)，概率描述了某件事

　　情發(fā)生的機會(huì )

　�。�3）有些概率是無(wú)法精確推斷的。

　�。�4）有些概率是可以估計的。隨機結果也具有規律，而且有可能通過(guò)試驗等方法來(lái)推測其規律。我們就是要通過(guò)觀(guān)測數據，在隨機性中尋找用概率和數學(xué)模型描述的規律性

　　小概率原理是統計檢驗（統計中的反證法）的基礎和依據。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊祵W(xué)課程標準》認為，“統計與概率”應當是初中課程內容的重要組成部分。不僅如此，《數學(xué)課程標準》將“統計與概率”內容從第一學(xué)段連續編排到初中，并且規定，在初中，學(xué)生將從事數據的收集、整理與描述的過(guò)程，體會(huì )抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進(jìn)一步學(xué)習描述數據的方法，進(jìn)一步體會(huì )概率的意義，能計算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率�！洞缶V》沒(méi)有涉及“概率”內容，僅僅在初中階段引入“統計初步”，并且將“統計初步”放入“代數的第（十三）部分”在《大綱》中，“統計初步”的定位是：使學(xué)生了解統計的展這一活動(dòng)，有以下幾個(gè)步驟：

　　第一，學(xué)生觀(guān)察一件物體或一種現象，或者操作某些學(xué)具。

　　第二，學(xué)生在研究所觀(guān)察的物體或現象的過(guò)程中進(jìn)行思考，與同伴進(jìn)行討論和交流，以彌補他們在單純的觀(guān)察和操作活動(dòng)中的不足。

　　第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動(dòng)，學(xué)生可從中作出選擇并實(shí)施這些活動(dòng)，學(xué)生在選擇中有較強的自主性。

　　第四，這一活動(dòng)可以以課內外相結合的形式進(jìn)行，學(xué)生每周至少花兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行同一個(gè)主題的活動(dòng)，并應保證這些活動(dòng)在整個(gè)學(xué)習進(jìn)程中的持續性和穩定性。

　　第五，每個(gè)學(xué)生都記錄活動(dòng)過(guò)程。通過(guò)這一活動(dòng)，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì )操作，同時(shí)加強和鞏固口頭和書(shū)面表達能力，發(fā)展解決問(wèn)題的能力，增進(jìn)對數學(xué)的理解力。如何理解數學(xué)研究性學(xué)習

　　思想，掌握一些常用的數據處理方法，能夠用統計的初步知識解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。簡(jiǎn)單的平均數和加權平均數

　　所謂加權平均數，是指各個(gè)數據的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權重”表示，即加上各個(gè)數據在全體數據中占有的比例（頻率）再作和。數學(xué)期望的定義事前預期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實(shí)踐與綜合

　　設置“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現其橋梁作用（即，數學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價(jià)值，綜合運用數學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現實(shí)問(wèn)題，幫助學(xué)生積累直接的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實(shí)踐與綜合”的教育價(jià)值和課程目標

　　教育價(jià)值實(shí)踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現實(shí)世界中的數學(xué)與課堂上的數學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應用數學(xué)解決問(wèn)題也必將給學(xué)生的學(xué)習方式帶來(lái)改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運用數學(xué)進(jìn)行思考和交流的能力。

　　課程目標《全日制義務(wù)教育數學(xué)課程標準》對這個(gè)領(lǐng)域的課程設計提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰性和綜合性的問(wèn)題，以發(fā)展他們解決問(wèn)題的能力，加深對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”內容的理解，體會(huì )各部分內容之間的聯(lián)系�！皩�(shí)踐與綜合”在不同階段不同的呈現形式第一學(xué)段以“實(shí)踐活動(dòng)”為主題，第二學(xué)段以“綜合應用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習”為主題。

　　在初中數學(xué)中，課題學(xué)習的主要形式有三種基本方式：

　　數學(xué)小調查。數學(xué)小調查是指學(xué)生在教師指導下，從學(xué)習生活和社會(huì )生活中選擇和確定調查專(zhuān)題，主動(dòng)獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習活動(dòng)。數學(xué)調查可以包括三個(gè)階段，第一，進(jìn)入問(wèn)題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動(dòng)具有開(kāi)放性、問(wèn)題性和社會(huì )性的特點(diǎn)。

　　小課題研究�；顒�(dòng)基本過(guò)程如下：各小組確定活動(dòng)目標；根據目標確定本組活動(dòng)內容；在老師指導下實(shí)際調查。合作交流。

　　動(dòng)手做(Handson)的活動(dòng)。意思是動(dòng)手活動(dòng)，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習知識，尤其強調對學(xué)生學(xué)習方法、思維方法、學(xué)習態(tài)度的培養�；�本過(guò)程是：提出問(wèn)題動(dòng)手做實(shí)驗觀(guān)察記錄解釋討論得出結論表達陳述。具體地說(shuō)，開(kāi)

　　數學(xué)研究性學(xué)習主要針對我國中學(xué)教育中出現的若干弊端，為實(shí)施以創(chuàng )新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育而提出來(lái)的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過(guò)程，獲得對客觀(guān)世界的體驗和正確認識，通過(guò)自由、自主的探究過(guò)程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習的重點(diǎn)在“學(xué)習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數學(xué)研究性學(xué)習的內涵

　　以培養學(xué)生的數學(xué)創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力為目的，它主要通過(guò)與數學(xué)學(xué)科內容相關(guān)的課題，在教師的指導下，學(xué)生為主體地參與、體驗問(wèn)題提出和解決的全過(guò)程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數學(xué)科學(xué)研究的基本過(guò)程和方法，提高學(xué)生的科數學(xué)研究性學(xué)習的目的

　　1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過(guò)程，獲得親身參與研究和探索的體驗。

　　2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

　　3.學(xué)會(huì )與人溝通和合作，學(xué)會(huì )分享。合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習提供了一個(gè)有利于人際溝通與合作的良好空間。

　　4.增強探究和創(chuàng )新意識，培養科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習的過(guò)程中，學(xué)生不可避免地會(huì )遇到一系列的問(wèn)題和困難，學(xué)生必須學(xué)會(huì )從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)認真踏實(shí)地探究，事實(shí)求是地得出結論，并且養成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時(shí)培養不斷追求的進(jìn)取精神、嚴謹的科學(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。

　　5.培養學(xué)生對社會(huì )的責任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。

　　6.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習，掌握和運用一種現代學(xué)習方式。

　　7.激活各科學(xué)習中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運用。8.促進(jìn)教師教學(xué)觀(guān)念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養學(xué)生創(chuàng )新精神和實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。

　　初中數學(xué)研究性學(xué)習主題分為建模探究型、圖表探究型、調查探究型、開(kāi)放探究型四種類(lèi)型。

　�。�1）建模探究型：以學(xué)生動(dòng)手操作、合作探討、設計制作模型為主，教師給予指導、總結、評價(jià)。

　�。�2）圖表探究型：以學(xué)生觀(guān)察、分析數學(xué)圖表、探究解決問(wèn)題的方法為主，教師提示結合相關(guān)知識分析、探究、解決問(wèn)題。例如，數學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。

　�。�3）開(kāi)放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數學(xué)問(wèn)題：猜想、證明、拓廣。

　�。�4）調查探究型：以學(xué)生調查實(shí)踐、自主分析、探究實(shí)踐的方式和方法為主，教師適時(shí)引導、提示、總結。數學(xué)研究性學(xué)習的特點(diǎn)

　　1.探究性。探究是人類(lèi)認識世界的一種基本方式，處于基礎教育階段的初中生對外部

　　世界仍充滿(mǎn)強烈的新奇感和探究欲，數學(xué)研究性學(xué)習正好適應學(xué)習者個(gè)體發(fā)展的需要和認識規律。

　　2.全員參與性。研究性學(xué)習主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習的組織形式是獨立學(xué)習與合作學(xué)習的結合，其中合作學(xué)習占有重要的地位。

　　3.開(kāi)放性。數學(xué)研究性學(xué)習是一種開(kāi)放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數學(xué)問(wèn)題或從數學(xué)角度對其它學(xué)科中出現的問(wèn)題進(jìn)行研究。

　　4.過(guò)程性。要求學(xué)生把自己所得出的結論運用到現實(shí)生活中去，解決現實(shí)生活中涉及到的數學(xué)問(wèn)題，強調學(xué)生參與的過(guò)程。

　　5.應用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習的又一基本特征。研究性學(xué)習重在知識技能的應用，而不在于掌握知識的量。

　　6.體驗性。研究性學(xué)習不僅重視學(xué)習過(guò)程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學(xué)習的體驗。數學(xué)研究性學(xué)習的實(shí)施保持和進(jìn)一步提高學(xué)習數學(xué)的積極性。

　�。�3）在實(shí)施過(guò)程中，要采取有效的手段對學(xué)習活動(dòng)進(jìn)行監控；指導學(xué)生寫(xiě)好研究數學(xué)日記，及時(shí)記載研究情況，真實(shí)記錄個(gè)體體驗，為以后進(jìn)行和評價(jià)提供依據。

　�。�4）要爭取家長(cháng)和社會(huì )有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開(kāi)發(fā)對實(shí)施研究性學(xué)習有價(jià)值的校內外教育資源，為學(xué)生開(kāi)展研究性學(xué)習提供良好條件。

　�。�5）能夠根據學(xué)校與班級實(shí)施研究性學(xué)習的不同目標定位和主客觀(guān)條件，在不同時(shí)段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點(diǎn)。

　　數學(xué)模型一般是指由數字、字母或其它數學(xué)符號組成的，描述現實(shí)對象(原型)數量規律和空間特征的數學(xué)結構。數學(xué)模型可以敘述為：對于現實(shí)世界的一個(gè)特定對象，為了實(shí)施要求：

　�、偃珕T參與，而非只關(guān)注少數數學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個(gè)學(xué)生有鍛煉與參與的機會(huì )；

　�、谌蝿�(wù)驅動(dòng)。要向學(xué)生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習過(guò)程的引導作用；

　�、壑卦趯W(xué)習過(guò)程而非研究的結果；

　�、苤卦谥�識技能的應用而非掌握知識的數量；

　�、葜卦谟H身參與探索性實(shí)踐活動(dòng)，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗；

　�、扌问缴响`活多樣，強調課內外結合。數學(xué)研究性學(xué)習模式有三種：

　�。�1）理論實(shí)踐模式。是指師生在共同學(xué)習研究性學(xué)習理論的基礎上，學(xué)生運用數學(xué)理論來(lái)研究、解決數學(xué)問(wèn)題，體驗研究性學(xué)習課程理論的價(jià)值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

　�。�2）數學(xué)問(wèn)題探討模式。師生圍繞數學(xué)問(wèn)題的分析與探討展開(kāi)的教學(xué)活動(dòng)，構成了問(wèn)題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵、強化學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主體參與意識為著(zhù)眼點(diǎn)，以幫助學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習，學(xué)會(huì )發(fā)現和分析問(wèn)題，培養學(xué)生創(chuàng )造性解決問(wèn)題的能力為宗旨，創(chuàng )設一種開(kāi)放而又活潑的學(xué)習氛圍。其教學(xué)策略是：將問(wèn)題或案例呈現給學(xué)生，引導學(xué)生共同探討，構建師生平等、互動(dòng)的學(xué)習環(huán)境。

　　一般來(lái)說(shuō)，教師要選擇典型的數學(xué)問(wèn)題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要創(chuàng )造性地加以取舍，主動(dòng)設疑，引導學(xué)生學(xué)會(huì )思考，提高學(xué)生的學(xué)習數學(xué)能力。

　�。�3）數學(xué)課題研究模式。數學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據興趣設計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實(shí)施研究計劃、完成課題目標、提高社會(huì )實(shí)踐能力的一種教學(xué)模式。

　　組織形式有三種類(lèi)型：小組合作研究、個(gè)人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數學(xué)研究性學(xué)習實(shí)施的一般程序

　　一般可以分為三個(gè)階段：

　�。�1）進(jìn)入問(wèn)題情境階段（準備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準備；指導學(xué)生確定數學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

　�。�2）實(shí)踐體驗階段（實(shí)施階段）。本階段學(xué)生要進(jìn)入具體的解決問(wèn)題過(guò)程。

　�。�3）表達交流階段（結題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過(guò)實(shí)踐、體驗所取得的收獲進(jìn)行歸納整理、總結提煉，形成書(shū)面或口頭報告材料，得出結論，并進(jìn)行成果交流和總結反思。數學(xué)研究性學(xué)習實(shí)施中的教師指導

　�。�1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導工作內容和方法應該有所不同。

　�。�2）在數學(xué)研究性學(xué)習實(shí)施過(guò)程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生開(kāi)展活動(dòng)的情況，有針對性地進(jìn)行指導、點(diǎn)撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生自我教育，幫助他們

　　一個(gè)特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設后，運用適當的數學(xué)工具，得到的一個(gè)數學(xué)結構。數學(xué)建模教學(xué)的目

　　使學(xué)生體會(huì )數學(xué)與自然及人類(lèi)社會(huì )的密切聯(lián)系，體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值，培養數學(xué)的應用意識，增進(jìn)對數學(xué)的理解和應用數學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會(huì )運用數學(xué)的思維方式去觀(guān)察、分析現實(shí)社會(huì )，去解決日常生活中的問(wèn)題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng )新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會(huì )以數學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習數學(xué)的積極性，團結合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應未來(lái)社會(huì )生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數學(xué)事實(shí)以及基本的思想方法和必要的應用技能。數學(xué)建模的教學(xué)意義

　　1.培養學(xué)生合作學(xué)習的能力合作能力是信息社會(huì )中每個(gè)人必須具備的基本素質(zhì)。

　　2.培養學(xué)生處理信息的能力數學(xué)建�；顒�(dòng)則為學(xué)生學(xué)習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效的途徑。

　　3.有利于學(xué)生形成正確的數學(xué)觀(guān)數學(xué)建�；顒�(dòng)的開(kāi)展使學(xué)生形成正確的數學(xué)觀(guān)成為可能。

　　4.有利于學(xué)生體驗數學(xué)與生活、數學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系

　　5.激發(fā)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習興趣

　　6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng )新意識數學(xué)建模的具體實(shí)施1.選題

　　鼓勵學(xué)生自主提出問(wèn)題，可以從以下幾個(gè)方面人手：

　�、僮寣W(xué)生了解選題的重要性和基本要求，

　�、谥笇�學(xué)生結合自己的生活經(jīng)驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點(diǎn)評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，

　�、劢處焺�(chuàng )設一個(gè)問(wèn)題環(huán)境，引導學(xué)生自主提出問(wèn)題、確定課題。這時(shí)教師的指導應該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開(kāi)拓問(wèn)題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問(wèn)題和解決問(wèn)題的方案。

　　2.實(shí)施

　　在課題學(xué)習的實(shí)施中，我們強調開(kāi)放學(xué)生的思維，強化過(guò)程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。

　　3.指導

　　在課題學(xué)習中，教師如何指導學(xué)生，這是一個(gè)令不少教師感到困惑甚至苦惱的問(wèn)題。課題學(xué)習過(guò)程中，問(wèn)題形式與內容的變化，問(wèn)題解決方法的多樣性、新奇性，問(wèn)題解決過(guò)程的不確定性，結果呈現層次的豐富性，無(wú)疑是對參與者創(chuàng )造力的一種激發(fā)、挑戰和有效的鍛煉。教師在陌生的問(wèn)題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現的。

　　4.評價(jià)

　　評價(jià)過(guò)程具體涉及以下幾個(gè)方面：

　�、僬{查、求解的過(guò)程和結果要合理、清楚、簡(jiǎn)捷；

　�、谝�有自己獨到的思考和發(fā)現；

　�、勰軌蚯‘數厥褂霉ぞ�(如網(wǎng)絡(luò )和計算工具)；

　�、懿捎煤侠�、簡(jiǎn)捷的算法；

　�、萏岢鲇袃r(jià)值的求解設計和有見(jiàn)地的新問(wèn)題；

　�、薨l(fā)揮每個(gè)組員的特長(cháng)，合作學(xué)習得有效果。5.建立和擴張資源

　　對教育資源的認識應該走出靜態(tài)的誤區，要看到身邊許多動(dòng)態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過(guò)查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現大批的可用資源。我們還應有意識地建立自己個(gè)性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動(dòng)過(guò)程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實(shí)物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數學(xué)符號來(lái)表示數學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個(gè)特定的數學(xué)體系中，孤立的數學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著(zhù)某種關(guān)系；這些關(guān)系稱(chēng)之為數學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數學(xué)概念系統化、公理化。簡(jiǎn)明化數學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數學(xué)符號語(yǔ)言，使得一定事物的本質(zhì)簡(jiǎn)明的形式表現出來(lái)，這種簡(jiǎn)明化使人們在較短時(shí)間內領(lǐng)會(huì )。概念的外延與內涵

　　概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

　　一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱(chēng)為這個(gè)概念的外延是指適合這個(gè)概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個(gè)概念的延用范圍。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱(chēng)為這個(gè)概念的內涵。概念的內涵是說(shuō)一個(gè)概念所反映的事物培養學(xué)生的數學(xué)應用意識、數學(xué)應用能力

　　實(shí)際教學(xué)中要強調學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實(shí)踐等學(xué)習方式。

　�。�1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習過(guò)程中，教師可以向學(xué)生推薦活動(dòng)，讓學(xué)生在選擇中有較強的自主性；同時(shí)，讓學(xué)生獨立思考和合作交流，在此基礎上教師進(jìn)行有針對性的指導。

　�。�2）強凋學(xué)生學(xué)習方法、思維方法、學(xué)習態(tài)度的養成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習過(guò)程。課題學(xué)習活動(dòng)強調學(xué)生主動(dòng)學(xué)習，不宜強調對知識的學(xué)習，而且更重要的是強調學(xué)生對學(xué)習方法、思維方法、學(xué)習態(tài)度的養成。

　�。�3）創(chuàng )設恰當的問(wèn)題情景，鼓勵學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習活動(dòng)過(guò)程中，教師應當鼓勵與尊重學(xué)生的獨立思考，引導學(xué)生進(jìn)行討論與交流，培養學(xué)生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養學(xué)生的創(chuàng )新意識與創(chuàng )新思維是十分必要的。

　�。�4）對課題學(xué)習的評價(jià)應該以質(zhì)的評價(jià)為主。一般說(shuō)來(lái)，對學(xué)生實(shí)踐與綜合應用活動(dòng)的評價(jià)要強調過(guò)程性評價(jià)。重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng )新精神的培養和實(shí)踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標簽。數學(xué)研究性學(xué)習的評價(jià)對建立學(xué)生發(fā)展性評價(jià)有哪些有益的啟示

　�。�1）研究性學(xué)習評價(jià)更重視過(guò)程。研究性學(xué)習評價(jià)學(xué)生研究成果的價(jià)值取向重點(diǎn)是學(xué)生的參與研究過(guò)程。

　�。�2）研究性學(xué)習評價(jià)更重視理解中的應用。強調的是學(xué)生把學(xué)到的基礎知識、掌握的基本技能，應用到實(shí)際問(wèn)題的提出和解決中去既促進(jìn)學(xué)生對知識價(jià)值的反思，又加深對知識內涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò )和結構。3）研究性學(xué)習評價(jià)強調學(xué)生在探究過(guò)程中的體驗。

　�。�4）研究性學(xué)習評價(jià)更重視全員參與。研究性學(xué)習的價(jià)值取向強調每個(gè)學(xué)生都有充分學(xué)習的潛能，為他們進(jìn)行不同層次的研究性學(xué)習提供了可能性，也為個(gè)別化的評價(jià)方式創(chuàng )造了條件。第五章初中數學(xué)的邏輯基礎

　　客觀(guān)事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱(chēng)為屬性。經(jīng)過(guò)比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱(chēng)為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數學(xué)研究的對象是現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系。反映數學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數學(xué)概念。數學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點(diǎn)。

　　抽象化數學(xué)概念反映一類(lèi)事物在數量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀(guān)事物的空間形式和數量關(guān)系反映得來(lái)，而大多數概念排除對象具體的物質(zhì)內容，抽象出內在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數學(xué)概念的基礎上，經(jīng)過(guò)多級的抽象過(guò)程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

　　概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著(zhù)相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱(chēng)為這個(gè)概念的外延。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱(chēng)為這個(gè)概念的內涵。一個(gè)概念的內涵和外延分別從質(zhì)和量?jì)蓚�(gè)方面刻劃了這個(gè)概念，每個(gè)概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵。概念的外延和內涵是主觀(guān)對客觀(guān)的認識，由于人們對客觀(guān)事物的認識是發(fā)展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過(guò)程中有其相對的穩定性．在數學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數學(xué)概念的外延和內涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數學(xué)概念的特點(diǎn)

　　1、初中數學(xué)概念并非都是通過(guò)定義給出的

　　2.初中數學(xué)概念的層次性數學(xué)概念本身具有層次性。

　　3.數學(xué)概念是理想概念

　　4.數學(xué)概念是“過(guò)程”與“對象”的統一體數學(xué)概念之間的關(guān)系

　　1.同一關(guān)系兩個(gè)外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個(gè)判斷過(guò)程中，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以互相代替。

　　2.交叉關(guān)系兩個(gè)外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

　　3.從屬關(guān)系兩個(gè)外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類(lèi)概念。4.矛盾關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

　　5.對立關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

　　把一個(gè)屬概念分成若干個(gè)種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數學(xué)中常用劃分把概念系統化。正確的劃分應符合下列條件：

　　第一，所分成的種概念之間應是全異關(guān)系，即任兩個(gè)種概念的外延的交集應是空集；第二，劃分應是相稱(chēng)的，即是說(shuō)所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應按照同一個(gè)標準進(jìn)行。在一次劃分中用不同的根據就造成了混亂；第四，劃分不應越級。應把屬概念分為最鄰近的種概念

　　數學(xué)概念的定義與要求

　　定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)抽象，形成概念，就要借助語(yǔ)言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問(wèn)題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語(yǔ)言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

　　1.“種+類(lèi)差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來(lái)進(jìn)行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過(guò)指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過(guò)程，由此來(lái)定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

　　3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時(shí)，P假；當P假時(shí)，P真。

　　2.選言判斷。選言判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷用連接詞“或者”構成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

　　3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構成的判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設和題斷，條件和結論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

　　關(guān)于數學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數學(xué)判斷。判斷要借助于語(yǔ)句，表示判斷的語(yǔ)句叫命題。

　　4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過(guò)約定的方法來(lái)定義的。

　　5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

　　此外，中學(xué)數學(xué)中還有描述性定義法(如現行中學(xué)數學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數、n重積分的定義)，借助另一對象來(lái)進(jìn)行定義(如借助指數概念定義對數概念)等等。定義數學(xué)概念的基本要求

　　1.定義應當相稱(chēng)。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統中，不能以A概念來(lái)定義B概念，而同時(shí)又以B概念來(lái)定義A概念。

　　3.定義應清楚、簡(jiǎn)明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來(lái)說(shuō)應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個(gè)屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

　　定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)。數學(xué)概念的形成

　　數學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過(guò)比較、分類(lèi)，從中找出一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，然后通過(guò)具體的例子對所發(fā)現的屬性進(jìn)行檢驗與修正，最后通過(guò)概括得到定義并用符號表達出來(lái)。

　　數學(xué)概念形成的過(guò)程有以下幾個(gè)階段：

　　1.觀(guān)察實(shí)例。

　　2.分析共同屬性。分析所觀(guān)察實(shí)例的屬性，通過(guò)比較得出各實(shí)例的共同屬性。

　　3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設。

　　4.確認本質(zhì)屬性。通過(guò)比較正例和反例檢驗假設。確認本質(zhì)屬性。

　　5.概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類(lèi)事物，概括出概念的定義。

　　6.符號表示。

　　7.具體運用。使新概念與已有認知結構中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應的概念體系中。

　　判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀(guān)對客觀(guān)的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實(shí)踐來(lái)檢驗，在數學(xué)中要進(jìn)行證明。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個(gè)判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡(jiǎn)單判斷。簡(jiǎn)單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復合判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單判斷用連接詞構成的判斷。

　　1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類(lèi)

　　所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。

　　對于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說(shuō)A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說(shuō)B的真值等于0，記成B=0。一個(gè)命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

　　復合命題的分類(lèi)

　　復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

　　否定式。給定一個(gè)命題A，用連接詞“非”組成一個(gè)復合命題“非A”，

　　析取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“或”組成一個(gè)復合命題“A或B”，合取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“且”組成一個(gè)復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復合命題“若A則B”，記作AB

　　等值式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“等值”組成一個(gè)復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

　　不加證明而被承認其真實(shí)性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數學(xué)理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀(guān)事物與現象中抽象出來(lái)的，符合客觀(guān)規律。

　　任何公理體系都必須滿(mǎn)足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒(méi)有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴(lài)于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒(méi)有一個(gè)可以由其他公理推出。獨立性對整個(gè)公理體系而言，具有錦上添花的作用。

　　經(jīng)過(guò)證明為真實(shí)的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒(méi)有什么本質(zhì)的區別。一個(gè)定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實(shí)的，則分別稱(chēng)為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規律

　　1.同一律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過(guò)程中，所使用的概念和判斷必須確

　　定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點(diǎn)具體要求：一是思維的對象應保持同一。二是表示同一事物的概念應保持同一。

　　2.矛盾律：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過(guò)程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過(guò)程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

　　3.排中律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過(guò)程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

　　排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假。但如何進(jìn)一步確定誰(shuí)真誰(shuí)假，它們本身都無(wú)能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

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