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數控機床誤差分析技術(shù)問(wèn)題的研究(一)
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緒 論
1.1課題的提出與意義
數控機床是制造業(yè)實(shí)現自動(dòng)化、柔性化、集成化生產(chǎn)的基礎，其水平的高低和擁有量多少是衡量一個(gè)國家工業(yè)現代化的重要標志。工業(yè)發(fā)達國家把數控機床視為具有高技術(shù)附加值和高利潤的重要出口產(chǎn)品。數控機床已成為關(guān)系到國家戰略地位和體現國家綜合國力的重要基礎性產(chǎn)品[1]。高速、高精度是數控機床發(fā)展的一個(gè)主要方面，據統計從上世紀中葉至今的50年里，機床的加工精度每隔8年就提高一倍[2]。隨著(zhù)數控加工技術(shù)的廣泛應用，對數控加工精度的要求日益提高。對工廠(chǎng)而言，提高產(chǎn)品質(zhì)量在一定程度上意味著(zhù)需要淘汰一批精度低的現有機床，但這對我國大多數數控機床用戶(hù)來(lái)說(shuō)是一筆不小的投入。若維持現有設備成本，很可能無(wú)法滿(mǎn)足用戶(hù)對數控機床精度的要求，若從根本上提高數控機床的制造精度，無(wú)疑將導致生產(chǎn)成本的大幅度上升，影響用戶(hù)購買(mǎi)的積極性。針對我國數控機床生產(chǎn)和應用的具體情況，如何經(jīng)濟有效的提高數控機床的精度是一個(gè)極有研究?jì)r(jià)值的課題。
在研究影響加工精度的因素時(shí)，應當對機械加工的全過(guò)程進(jìn)行分析。分析表明，影響加工精度的誤差主要有幾何誤差和動(dòng)誤差兩個(gè)方面。幾何誤差包括加工原理誤差、工件的裝夾誤差、調整誤差、刀具誤差、機床主軸回轉誤差、機床導軌導向誤差和機床傳動(dòng)誤差。動(dòng)誤差包括測量誤差、刀具磨損、工藝系統受力變形，工藝系統受熱變形、工件殘余應力引起的變形。其中，幾何誤差和由溫度引起的誤差占機床總誤差的70%[3]。
在機械制造業(yè)中，被加工零件的尺寸精度、形狀精度和相對位置精度是機械加工精度的重要指標。為了提高機床加工精度，各國學(xué)者作了大量的深入，提出了很多行之有效的方法�？v觀(guān)這些方法，可以將他們分為兩大類(lèi)：誤差防止法和誤差補償法[3，4]。
誤差防止法是通過(guò)提高機床零部件的加工與裝配精度，加大機床系統的剛度以及嚴格控制機械加工環(huán)境等方法來(lái)提高機械加工精度，即在制造和設計過(guò)程中來(lái)消除可能的誤差源。該方法有一個(gè)致命的弱點(diǎn)，即機床的性能與造價(jià)成幾何級數關(guān)系增長(cháng)。同時(shí)，由于數控機床的機構復雜，零部件非常之多，機床的工況復雜等問(wèn)題，使得單純采用誤差防止法來(lái)提高機床的加工精度是十分困難的。
誤差補償法是通過(guò)分析影響加工精度的不同誤差來(lái)源，建立空間誤差數學(xué)模型，利用前饋預報技術(shù)對機械系統誤差進(jìn)行修正，從而提高機械加工精度。該方法可用普通的機床加工出高精度的產(chǎn)品，實(shí)現“不使用精密加工設備的精密加工”[5]。因此，非常適合于我國制造工業(yè)發(fā)展現狀：即工業(yè)底子薄，中、低檔數控設備比率較大，且在短期內難以對現有設備進(jìn)行大量的更新和改造[6]。我國工業(yè)基礎差，與發(fā)達國家有很大差距，再加上資金少，使用的數控設備檔次較底，基本上都是中底檔數控設備，且難以對現有的設備進(jìn)行大量的更新和改造。而誤差補償技術(shù)的最大的特點(diǎn)就是在無(wú)需大量投入資金的情況下提高加工精度，創(chuàng )造更大的效益。誤差補償技術(shù)對我國機械制造業(yè)的發(fā)展意義更為重要。攻克誤差補償技術(shù)難關(guān)，進(jìn)而進(jìn)行廣泛推廣，這肯定會(huì )使我國機械行業(yè)整體質(zhì)量有很大的提高，創(chuàng )造巨大的經(jīng)濟效益。因此，對誤差補償技術(shù)的深入研究與應用，不僅有利于我們跟蹤世界前沿課題，達到技術(shù)領(lǐng)先優(yōu)勢，而且更重要的是，該項工作是我國機械行業(yè)目前亟待解決的關(guān)鍵課題之一[4]。
綜上所述，對數控機床誤差分析技術(shù)問(wèn)題的研究，不僅有利于我們跟上世界前沿的課題，而且更重的是，針對我國制造業(yè)的發(fā)展現狀，對機床加工工件精度的提高提供了重要的技術(shù)方法，對我國制造業(yè)加工現狀有很明顯的經(jīng)濟效益，對我國的經(jīng)濟快速發(fā)展提供了新的動(dòng)力。
1.2 課題研究的背景綜述
機床精度的高低是用誤差來(lái)衡量的。一般的說(shuō)，數控機床機械部件主要由床身、立柱、轉軸、拖板、工作臺及傳動(dòng)部件組成。每個(gè)部件都可能導致誤差的產(chǎn)生。影響數控機床的誤差源大體可劃分為[7,8]：
1） 機床部件及構造導致的幾何誤差；
2） 運動(dòng)誤差；
3） 熱變形產(chǎn)生的誤差；
4） 力產(chǎn)生的誤差，包括：載荷變形誤差、軸加速時(shí)偏心力產(chǎn)生的誤差及切削力產(chǎn)生的誤差。
5） 材料不穩定導致的誤差；
6） 檢測系統的測試誤差；
7） 機床裝配導致的誤差；
8） 磨損產(chǎn)生的誤差，這包括刀具系統的磨損；
9） 定位產(chǎn)生的誤差；
10) 外界干擾誤差，主要指環(huán)境條件的擾動(dòng)和運行工況的波動(dòng)所引起的誤差。
最傳統的誤差補償方法應算是借助凸輪、靠模、校正尺等機械式補償機構，實(shí)現對精密機床系統誤差進(jìn)行修正的方法，雖然機械機構式的誤差補償方法取得了一定的成果，但該方法存在著(zhù)設計周期長(cháng)、結構復雜、笨拙、成本高、柔性差等問(wèn)題，難以滿(mǎn)足單件、小批等生產(chǎn)的要求[9]。
隨著(zhù)計算機技術(shù)及檢測技術(shù)的不斷發(fā)展，以及人們對機床運動(dòng)規律的認識不斷深入，以機床運動(dòng)模型及功能芯片為主體的誤差補償方法，逐步替代了傳統的機械機構誤差補償方法，在當今數控誤差補償研究中一直占主導地位，并取得了明顯的效果[4]。
現在，以數控機床誤差模型為基礎的誤差補償實(shí)施方法主要可分為兩類(lèi)[10]：其一是軟件補償法，其二是硬件補償法。目前使用的誤差補償方法主要是硬件誤差補償方法，該方法是通過(guò)開(kāi)發(fā)以微處理器芯片為核心的誤差補償控制器及專(zhuān)用接口電路，向數控機床傳送空間點(diǎn)位誤差補償信息而達到誤差補償的目的。數控機床的基本功能模塊有數控系統、伺服單元、反饋環(huán)節。相應的誤差補償器也分為三類(lèi)：NC型、前饋補償型和反饋修正型。反饋修正控制器由美國技術(shù)和標準局的Rogel和D.Kilmer負責研究，并取得成功。該方法通過(guò)修正反饋的脈沖數，實(shí)現了對三坐標加工中心的空間誤差進(jìn)行修正。該方法雖不受數控系統類(lèi)型的限制，但仍存在兩大弱點(diǎn)：其一是對每個(gè)軸的位置反饋環(huán)節必須加一套修整方案，成本高，不利于調試和維護；之二是反饋環(huán)節增加誤差修正環(huán)節改變了數控機床本身的機電動(dòng)態(tài)特性�？傮w來(lái)說(shuō)，誤差補償控制器對數控系統有很大的依賴(lài)型，由于數控系統、伺服系統的多樣性和封閉性，嚴重阻礙了該項技術(shù)的普及推廣。
與硬件補償法相對應的是軟件補償方法，軟件誤差補償是通過(guò)修改數控加工代碼或者執行補償指令來(lái)實(shí)現加工誤差的補償。這樣，采用軟件補償方法就可以在不對機床的機械部分做任何改變的情況下，使其總體精度和加工精度顯著(zhù)提高。
1.2.1 幾何誤差建模技術(shù)研究現狀
數控機床空間誤差（幾何誤差、熱變形誤差和承載變形誤差）建模，是軟件誤差補償的關(guān)鍵技術(shù)之一[11，12]。關(guān)于幾何誤差建模的方法，一直是國內外學(xué)者的研究的重點(diǎn)，先后經(jīng)歷了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機構學(xué)建模法、剛體運動(dòng)學(xué)法，多體系統理論建模法幾個(gè)階段[13]：
1977年，Schultschick 用矢量表達法建立了三軸坐標鏜床的空間誤差模型；
1977年，Hocken用矩陣變換對坐標測量機(CMM)進(jìn)行幾何誤差建模；
1986年，Donmez等人推導了機床的廣義誤差合成模型，該模型既考慮了幾何誤差，又考慮了熱誤差；
1992年，Chen得人在研究中去除了剛體運動(dòng)假設，可以對非剛體誤差進(jìn)行補償，而且通過(guò)標準其次坐標變換方法建立了幾何誤差和熱誤差兩者的模型；
1993年，Kiridena等人用機構學(xué)推導了五坐標機床的空間幾何誤差模型；
2000年，Rahman等基于其次坐標矩陣建立起多軸數控機床的準靜態(tài)誤差綜合空間誤差模型，該模型還包含了幾何誤差、回轉軸誤差、熱誤差和機床部件彈性變形誤差。
在國內，1994年天津大學(xué)章青博士利用多體系統運動(dòng)學(xué)推到了任意結構機床誤差建模方法；2003年北京那個(gè)工業(yè)大學(xué)的范晉偉教授使用多體系統理論推到三坐標數控機床通用幾何誤差補償算法，該算法在北人印刷集團實(shí)地試驗取得明顯的誤差補償效果[14]。
由于機床機構復雜，工況多變，加上環(huán)境因素的影響，熱變形誤差早已引起人們的注意，也是補償技術(shù)的難點(diǎn)之一[10]。幾何誤差和熱誤差是數控加工時(shí)的主要誤差源，占數控加工總誤差的70%左右。相對來(lái)說(shuō)，幾何誤差比較穩定也比較容易測量從而便于進(jìn)行補償，而熱誤差的補償卻不那么容易，因為熱誤差的產(chǎn)生是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，具有非線(xiàn)性、時(shí)滯等特點(diǎn)，用傳統的方法很難對其進(jìn)行補償。
載荷誤差主要體現在大型或重型機床上，如鏜銑床的滑枕懸臂的下垂變形，龍門(mén)銑床主軸箱移動(dòng)引起橫梁變形等。綜觀(guān)現有文獻，對誤差載荷的處理方法主要有兩種：一是在線(xiàn)測量法[15]，該方法是在機床的特定位置上安裝一些標準快，通過(guò)大量的實(shí)驗擬合出載荷誤差與標準快的變形之間的關(guān)系，機床工作時(shí)通過(guò)測試在線(xiàn)檢測標準快的變形，利用擬合的數學(xué)關(guān)系間接的得到載荷變形誤差值。另一種是理論計算法，因為數控機床的載荷變形主要表現為結構變形和結合面變形。結構變形通常用有限元和邊界元等方法計算，結合面載荷變形通常用接觸變形理論來(lái)處理，利用大量的實(shí)驗擬合影響結合面載荷變形的特性系數[16，17]。
本研究課題不考慮熱變形誤差及承載變形誤差，在只考慮幾何變形誤差條件下，對數控機床進(jìn)行建模。
1.2.2 軟件誤差補償技術(shù)研究現狀
國外軟件補償大體經(jīng)歷了一下的發(fā)展階段[18]：
1967 年，French 和 Humphries 提出在數控程序的編程階段解決數控機床的誤差補償問(wèn)題；
1970 年，產(chǎn)生了以通用微機平臺和誤差修正算法軟件為主體的軟件誤差補償思想；
1977 年，由Hocken 等人首先提出了以微機平臺及數控指令修正算法為主體的軟件誤差補償思想，其著(zhù)重應用于坐標測量機檢測數據的誤差修正，而在數控機床加工領(lǐng)域的應用還不多見(jiàn)；
1985 年，G. Zhang 成功的對三坐標測量機進(jìn)行了誤差補償。測量了工作臺平面度誤差，除在工作臺邊緣數值稍大，其它不超過(guò)1μm，驗證了剛體假設的可靠性；
1994 年末，Kiridena 和P.M.Ferreira 在其長(cháng)期從事的誤差補償研究與實(shí)踐經(jīng)驗總結基礎之上，再次強調了軟件誤差補償的重要性，并進(jìn)一步指出通過(guò)軟件誤差補償有可能獲得很高的補償精度；
1998-1999 年有關(guān)重復加工中，檢測己加工工件的誤差，進(jìn)而通過(guò)修正刀具路線(xiàn)的方法，提高待加工工件加工精度為內容的軟件誤差補償技術(shù)文獻日益增多，反映出軟件誤差補償技術(shù)具有很強的發(fā)展趨勢；
在2000 年美國Michigan 大學(xué)Jun Ni 教授指導的博士生Chen Guiquan做了有意的嘗試，運用球桿儀(TBB)對三軸數控機床不同溫度下的幾何誤差進(jìn)行了測量，建立了快速的溫度預報和誤差補償模型，進(jìn)行了誤差補償。
在我國應用極其廣泛的是中低檔數控機床，幾何誤差約占機床總體誤差的70%左右，國內學(xué)者對機床幾何誤差也進(jìn)行了深入研究：
1986 北京機床研究所開(kāi)展了機床熱誤差和坐標測量機的補償研究；
1997 年天津大學(xué)的李書(shū)和等進(jìn)行了機床誤差補償的建模和熱誤差補償研究；
1998 年天津大學(xué)的劉又午等采用多體系統建立了機床的誤差模型，給出了幾何誤差的22 線(xiàn)、14 線(xiàn)、9 線(xiàn)激光干涉儀測量方法，1999 年他們還對數控機床的誤差補償進(jìn)行了全面的研究，取得了可喜一定的成果；
1998 年上海交通大學(xué)的楊建國進(jìn)行了車(chē)床熱誤差補償的研究；
1996到2000年在國家自然科學(xué)基金和國家863計劃項目的支持下，華中科技大學(xué)開(kāi)展了對數控機床幾何誤差補償以及基于切削力在線(xiàn)辯識的智能自適應控制的研究，并取得了一些成果；
在2003 年，北京工業(yè)大學(xué)范晉偉教授使用多體系統理論運動(dòng)學(xué)推導出三坐標數控機床通用幾何誤差補償軟件，該軟件在北人印刷集團實(shí)地實(shí)驗取得明顯的誤差補償效果。
圖1.1 軟件誤差補償技術(shù)流程圖
這樣可以修正由于機床幾何運動(dòng)所引起的誤差，可以提高加工精度，當然機床的加工精度還受到其他因素的影響，如刀具磨損、載荷、溫度、濕度等，但由于這些因素產(chǎn)生的誤差相對于機床的幾何運動(dòng)誤差還是較小的，本文提出的誤差補償方法的是機床幾何運動(dòng)誤差，對于其他因素的影響沒(méi)有考慮在內。
自誤差補償技術(shù)問(wèn)世以來(lái)，經(jīng)歷了傳統誤差補償、硬件誤差補償和目前日趨成熟的軟件誤差補償。傳統的誤差補償方法存在著(zhù)設計周期長(cháng)、結構復雜、笨拙、成本高、柔性差等問(wèn)題，難以滿(mǎn)足單件、小批、靈活、多變的現代生產(chǎn)及市場(chǎng)競爭要求；而硬件補償法對數控系統又有很大的依賴(lài)性，由于數控系統的多樣性和封閉性，并且開(kāi)發(fā)的控制器和接口電路會(huì )影響機床的機電匹配特性等問(wèn)題，嚴重阻礙了該項技術(shù)的應用與推廣；在這種背景下，人們逐漸開(kāi)始重視軟件誤差補償法，該方法實(shí)現了“不使用精密加工設備的精密加工”，具有極高的性能價(jià)格比，已逐步發(fā)展成為當今提高機床加工精度的主要方法。
1.3 主要研究?jì)热?br />
本課題以如何提高數控機床加工精度為目的而展開(kāi)的，主要針對三坐標數控機床的誤差補償問(wèn)題，研究一下幾個(gè)內容：
1. 分析多體系統的建立方法，對多體系統進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述，并對多體系統的低序體陣列進(jìn)行補充，建立多體系統的運動(dòng)模型和誤差模型。
2. 數控機床是多體系統的一個(gè)特例，將多體系統運動(dòng)學(xué)理論具體的應用到數控機床的誤差建模中去，對機床的結構進(jìn)行分析并且用機床結構二叉樹(shù)來(lái)描述，建立不考慮幾何運動(dòng)誤差的數控機床多體系統通用模型，給出工件坐標系和刀具坐標系上的給定點(diǎn)在慣性坐標系中實(shí)際位置的數學(xué)模型。
3．保證數控機床刀具中心的實(shí)際軌跡與待加工工件上的理論刀具中心軌跡完全一致，建立考慮幾何誤差影響的數控機床機構運動(dòng)學(xué)模型，并且給出工件坐標系和刀具坐標系上的給定點(diǎn)在慣性坐標系中實(shí)際位置的數學(xué)模型，同時(shí)建立了有誤差情況系的通用數控機床精密求解方程。
4．描述三坐標數控機床的幾何誤差，建立了ZK7640三坐標數控銑床的運動(dòng)模型，同時(shí)給出了該銑床的精密加工條件方程。
5．數控機床誤差分析軟件的程序總體設計
采用MATLAB軟件進(jìn)行編程，根據ZK7640數控銑床的精密加工條件方程，分析理想條件下已知刀具路線(xiàn)坐標值求解數控指令坐標值，已知數控指令坐標值求解刀具實(shí)際軌跡，用迭代法求出精密加工數控指令坐標值，最后具體分析數控指令坐標值修正前后的加工誤差變化，同時(shí)繪制出相應的仿真圖。
多體系統運動(dòng)模型和誤差模型的建立
2.1多體系統理論概述
多體系統理論是研究多體系統問(wèn)題的一門(mén)科學(xué)，具有很好的通用性、系統性，尤其是電子計算機高速發(fā)展的今天，多體系統理論利用計算機程序和算法進(jìn)行復雜系統動(dòng)力學(xué)和運動(dòng)學(xué)的計算，滿(mǎn)足了經(jīng)典動(dòng)力學(xué)和運動(dòng)學(xué)理論不能解決的復雜問(wèn)題分析計算的需要。多體系統是對工程實(shí)際中大量涌現的多個(gè)剛體或柔體通過(guò)某種形式聯(lián)結的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機械系統的最優(yōu)模型形式。任何機械系統都可以通過(guò)概括、抽象，提煉成多體系統。多體系統理論已在機器人、多軸機床等機構的運動(dòng)分析與控制中得到應用。但是迄今眾多體系統理論流派均側重于多體系統動(dòng)力學(xué)的研究，而對多體系統運動(dòng)學(xué)理論的運用研究多集中在理想剛體的運動(dòng)情況，未建立起實(shí)際條件下的多體系統運動(dòng)學(xué)理論，這也在一定程度上阻礙了多體系統運動(dòng)學(xué)理論的實(shí)際應用。
2.2 多體系統拓撲結構的描述
多個(gè)物體通過(guò)沒(méi)有特定的形式連接起來(lái)就構成多體系統。對多體系統的拓撲結構加以描述并建立多體系統的低序體陣列，是多體系統理論的基本問(wèn)題。機械系統結構形式多種多樣，如床身有立式、臥式、龍門(mén)式等，通過(guò)拓撲的方法描述，可以將復雜的結構抽象成簡(jiǎn)單的體的形式。圖2-1就是一個(gè)典型的多體系統，通過(guò)低序體陣列，可以將任何一個(gè)物體追溯到大地坐標系中去。設慣性坐標系為體，任選一體為體，然后沿遠離體的方向，以增長(cháng)數列標定每個(gè)物體的序號，從系統的一個(gè)分支到另一個(gè)分支，直到全部物體標定完為止，圖2-2是對圖2-1系統的編號的結果，令標定腳碼與各數字對應。
圖2-1 多體系統
圖2-2 對圖2-1多體系統的編號
可見(jiàn)除以外，每個(gè)物體都有一個(gè)相鄰的較低序號物體。當推導運動(dòng)學(xué)和編制計算方法時(shí)，需要為系統中每個(gè)物體的較低序號物體制定一個(gè)表格，用表示，稱(chēng)為“較低序號物體陣列”，表示物體的序號。令為待研究系統所在的參考系，把看作的較低序號物體，則的序號應為0。
對圖2-2的系統，當時(shí)，為
（2-1）
多體系統低序體陣列描述了開(kāi)環(huán)多體系統的拓撲結構的特點(diǎn)。根據多體系統示意圖就能寫(xiě)出反之，已知就能畫(huà)出多體系統示意圖。
圖2-2所示的多體系統的低序體陣列描述，見(jiàn)表2-1。
表2-1中為多體系統中典型體的序號，為典型體的n階低序體的序號，可表示為
（2-2）
式中 ——為低序體算子；n, k ——為正整數。
由式（2-2），典型體的相鄰低序體可表示為
（2-3）
且補充定義
（2-4）
（2-5）
表2-1 多體系統的低序體陣列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 1 1 5 6 6 8
0 0 1 0 0 1 5 5 6
0 0 0 0 0 0 1 1 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作為低序體陣列的補充，其他三種陣列在推導運動(dòng)學(xué)算法時(shí)也很有用。即“末端體陣列”、“分支體陣列”和“中間體陣列”。顧名思義，“末端”體即位于系統邊界點(diǎn)上的物體，“分支”體是含有多于一個(gè)分支的物體，即非末端體，又非分支體，稱(chēng)為“中間”體。
在圖2-2中的多體系統，末端體為、、 ，沒(méi)有相鄰更高體序號物體的那些物體即可判斷為末端體，所以，末端體是表2-1中那一行沒(méi)有列出的物體。在圖2-2中，分支體為和，凡是有一個(gè)以上相鄰更高序號物體的那些物體即可判別為分支體，所以，分支體是表2-1中那一行有重復序號的那些體。在圖2-2中，中間體為、和，與末端體和分支體一樣，也可由對行的檢查而確定中間體，即中間體是在表2-1中那一行出現一次，且僅出現一次的物體。
2.3 多體系統中典型體的物理描述
圖2-3 理想情況多體系統中的典型體及其相鄰低序體
多體系統中的典型體及相鄰體（）如圖2-3所示。體的運動(dòng)參考點(diǎn)為，它固定在上，其相對于原點(diǎn)用固連在體上的位置矢量描述。用相對于的位移矢量描述體相對于體的相對移動(dòng)。在和體上分別固連了動(dòng)坐標系：，，和：，，，分別稱(chēng)為體參考坐標系和體參考坐標系，則稱(chēng)右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的變化就表示了體相對于體的轉動(dòng)。令變換矩陣的各元素分別為
（m，n=1，2，3） （2-6）
則右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的關(guān)系表達為：
（2-7）
變化矩陣描述了相鄰體參考坐標系間的相互變換關(guān)系，稱(chēng)之為相鄰體變換矩陣。
2.4 多體系統運動(dòng)模型的建立
運動(dòng)學(xué)方程可分為：零級運動(dòng)方程（描述位置和姿勢），一級運動(dòng)方程（描述速度和角速度），二級運動(dòng)方程（描述加速度和角加速度），和高級運動(dòng)方程（描述躍變和角躍變，即加速度的導數和角加速度的導數）。由于零級運動(dòng)方程在制造系統運動(dòng)誤差分析中占有突出的地位，所以下面研究零級運動(dòng)學(xué)方程。
根據圖2-3，可得在慣性系中的矢量表達
（2-8）
式中： ——依照低序體陣列求和，且；
——含分支內任意體的位置矢量和位移矢量；
如令為體相對于R的變換矩陣，由于變換矩陣遵循傳遞法則，故有
（2-9）
式中：表示按低序體陣列連乘，且
典型體位置方程的矩陣表達式為：
（2-10）
式中： 為體參考點(diǎn)在參考系R中的位置矢量的分量陣列表達式；
，為和在中的分量陣列；
體上任意點(diǎn)P在R中的表達式為：
（2-11）
2.5 多體系統誤差模型的建立
在有誤差的情況下，多體系統理論理想表達式就不能準確的描述多體系統的運動(dòng)狀態(tài)。為了達到精度控制的目的，必須建立與誤差條件相適應的新的多體系統的位置表達式�？紤]誤差后，相鄰體相對運動(dòng)示意圖如圖2-4所示。當位移為零，誤差為零時(shí)，與重合。表示原點(diǎn)和原點(diǎn)間初始位置矢量，表示位置誤差矢量。表示相對于的位移矢量，表示位移誤差矢量。當數控機床部件發(fā)生位移時(shí)，位移既是位置增量。在位置矢量和位移量之間點(diǎn)增設一個(gè)坐標系，并將改寫(xiě)成，且定義為位置坐標系，為位移坐標系。
圖2-4 有誤差時(shí)多體系統中典型體及其相鄰低序體
依圖，根據矢量關(guān)系，可知
（2-12）
（2-13）
如不考慮方位誤差,可得
（2-14）
式中 ——與相對位移間的方位變換矩陣；
——與相對位置間的方位變換矩陣，如式(2-15)；
（2-15）
式中 C——cos；
S——sin；
,,——相對于的相對位置變換矩陣卡爾丹角。
令,,表示位置方位誤差。由于數控機床是較精密的設備，,,都是一個(gè)較小的值，可近似的取,,其余類(lèi)推。故位置方位誤差矩陣可簡(jiǎn)化為
（2-16）
又知，體相對于體的運動(dòng)形式有平動(dòng)和轉動(dòng)。當為平動(dòng)時(shí)，位移變換矩陣為單位陣
體相對于體的轉動(dòng)主要有三種情況，繞的x軸轉動(dòng)α、繞體的y軸轉動(dòng)β以及繞體的z軸轉動(dòng)γ。與其相對應的變換矩陣分別是
如令表示位移方位誤差，當方位誤差很小時(shí)，可取其余類(lèi)推。則位移的方位誤差矩陣可表示為
（2-17）
當存在方位誤差時(shí)，根據傳遞關(guān)系，則有
（2-18）
考察典型體上任意點(diǎn)（如圖2-4所示），其在參考系中的位置方程為
（2-19）
2.6 本章小結
多體系統是對工程實(shí)際中大量涌現的多個(gè)剛體或柔體通過(guò)某種形式聯(lián)結的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機械系統的最優(yōu)模型形式。任何機械系統都可以通過(guò)概括、抽象，提煉成多體系統。本章對多體系統進(jìn)行了概括，描述了多體系統的拓撲結構，對多體系統中的典型體進(jìn)行了物理描述，建立了多體系統的運動(dòng)模型和誤差模型，為三坐標數控機床的運動(dòng)和誤差模型的建立做了理論準備。
三坐標數控機床運動(dòng)模型與誤差模型建模
3.1 數控機床結構描述
數控機床由床身、工作臺、溜板箱、主軸箱和刀具等組成，為了建立通用的數控機床運動(dòng)模型，對各種數控機床的結構進(jìn)行總體概括、分析與抽象是必不可少的工作。經(jīng)過(guò)對常用的數控機床分析，可將機床機構歸結為兩條運動(dòng)鏈：一條為“工件——機架”運動(dòng)鏈，另一條為“刀具——機架”運動(dòng)鏈。從工件（工作臺）到機架之間的運動(dòng)鏈為“工件——機架”運動(dòng)鏈，由m個(gè)運動(dòng)副串聯(lián)而成；從刀具（主軸）到機架之間的運動(dòng)鏈為“刀具——機架”運動(dòng)鏈，由n個(gè)運動(dòng)副串聯(lián)而成。在進(jìn)一步分析可知，數控機床各運動(dòng)部件之間只有單自由度的相對運動(dòng)并且有三種約束類(lèi)型，分別為剛性聯(lián)接、銷(xiāo)型（回轉）和棱柱型（平移）。因此，數控機床只是一類(lèi)特殊的多體系統，且為開(kāi)環(huán)多體系統，它沒(méi)有超出一般多體系統的研究的范圍，可以用多體系統運動(dòng)學(xué)理論來(lái)建立三坐標數控機床的運動(dòng)模型與誤差分析模型。
為了對數控機床的結構進(jìn)行合理、清楚的表達，這里采用有源二叉樹(shù)來(lái)描述（如圖3-1所示）。圖中左半部代表“刀具——機架”運動(dòng)鏈，右半部代表“工件——機架”運動(dòng)鏈，左右兩運動(dòng)鏈用包含轉軸和線(xiàn)性軸的二叉樹(shù)表示，通過(guò)分別在左右兩運動(dòng)鏈內選擇轉軸和線(xiàn)性軸的不同組合形式，可構成不同的數控機床。該樹(shù)的每個(gè)中節點(diǎn)有一個(gè)前驅節點(diǎn)和兩個(gè)后繼節點(diǎn)，樹(shù)葉節點(diǎn)僅有一個(gè)前驅節點(diǎn)沒(méi)有后繼節點(diǎn)，這些節點(diǎn)代表了機床的不同運動(dòng)部件。樹(shù)根節點(diǎn)無(wú)前驅節點(diǎn)，僅有兩個(gè)后繼節點(diǎn)，樹(shù)根幾點(diǎn)代表了機床床身，它的兩個(gè)后繼節點(diǎn)分別描述了刀具分支及工作臺分支這一屬性。除樹(shù)根節點(diǎn)以外的其他節點(diǎn)，與去后續節點(diǎn)的連接，均描述了其后續節點(diǎn)的運動(dòng)屬性，如回轉及回轉方向或平移及平移方向。這樣，通過(guò)這一形象且簡(jiǎn)單的數據結構，用戶(hù)可以很方便的準確定義其所使用的數控機床。
圖3-1 機床結構二叉樹(shù)描述
3.2 數控機床通用運動(dòng)模型的建立
數控機床是一類(lèi)僅有兩個(gè)分支的特殊多體系統，體與體之間的鏈接用到單自由度的平移和銷(xiāo)鏈接。雖然數控機床一般最多只有五個(gè)運動(dòng)部件，但這五個(gè)運動(dòng)部件的運動(dòng)形式以及各部件處于哪個(gè)分支卻十分靈活多變，為給出各種數控機床的通用運動(dòng)模型，特提出如圖3-2所示的多體系統拓撲結構模型。
圖3-2中共有兩個(gè)分支，每個(gè)分支各含有五個(gè)運動(dòng)體，相鄰體間均以六個(gè)相對自由度來(lái)建模。該模型應用于具體的數控機床時(shí)，將根據上述數控機床二叉樹(shù)數據結構，將多體系統中多余的物體參數約束為零，從而達到具體數控機床的準確描述。
圖3-2 不考慮幾何誤差的數控機床多體系統通用模型
在圖3-2的模型中，“工件—機架”運動(dòng)鏈B—W由如下體鏈接而成： ，其中為5個(gè)運動(dòng)體，相鄰體之間的運動(dòng)為平動(dòng)或者轉動(dòng)；“刀具—機架”運動(dòng)鏈B—T，由如下體鏈接而成：，其中為5個(gè)運動(dòng)體，相鄰體之間的運動(dòng)為平動(dòng)或者轉動(dòng)。
根據多體系統理論，在無(wú)誤差情況下，典型體上點(diǎn)P在慣性坐標系R中的位置可表示為：
(3-1)
式中 ——不考慮誤差情況下，典型體體坐標系相對于慣性坐標系的實(shí)
際變換矩陣，可表示為：
式中 ——理想情況下，低序體分支中體的運動(dòng)參考坐標系相對于體
的體參考坐標系變化矩陣；
——理想情況下，低序體分支中體的體參考坐標系相對于其體運
動(dòng)參考坐標系的變化矩陣；
由以上分析可以得出，對于圖3-2的模型中“工件—機架”運動(dòng)鏈，典型體W（工件）體坐標系上給定點(diǎn)P在慣性坐標系中的實(shí)際位置表示為：
(3-2)
式中 ——典型體（工件）坐標系中給定點(diǎn)P在慣性坐標系R中的位置列陣；
——典型體（工件）坐標系上給定點(diǎn)P在工件坐標系中的位置陣列；
——不考慮誤差情況下典型體W體坐標系相對慣性坐標系的變換陣
(3-3)
以上為論文的一部分，鉆石會(huì )員可獲取全部?jì)热�。點(diǎn)擊查看如何成為
【數控機床誤差分析技術(shù)問(wèn)題的研究(一)】相關(guān)文章：
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