格點(diǎn)與面積習題講解

　　國際奧林匹克數學(xué)競賽是國際中學(xué)生數學(xué)大賽，在世界上影響非常之大。下面是小編整理的關(guān)于格點(diǎn)與面積習題講解的相關(guān)介紹內容，歡迎大家參考。

　　如下圖，在一張由一組水平線(xiàn)和一組垂直線(xiàn)組成方格紙上，如果任意相鄰平行線(xiàn)之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)(如下圖中的紅點(diǎn))，把圖中相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離看著(zhù)一個(gè)單位長(cháng)度，把每個(gè)小正方形的面積看作一個(gè)面積單位(如圖中帶陰影的方格)。

　　一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形，本講就，學(xué)習求格點(diǎn)多邊形的面積問(wèn)題。這種格點(diǎn)多邊形的面積計算起來(lái)很方便，一般有三種 方法：①規則的格點(diǎn)多邊形，可以運用多邊形的面積公式求出面積;②一些簡(jiǎn)單而又特殊的格點(diǎn)多邊形，可以通過(guò)數格子求出面積;③較復雜的不規則圖形，一般用 皮克公式計算。其中數格子的方法比較原始，很少用。

　　任意格點(diǎn)多邊形，只要數出多邊形周界上的格點(diǎn)的個(gè)數及圖內格點(diǎn)的個(gè)數，就可用下面的皮克公式算出面積：

　　格點(diǎn)多邊形面積=圖內格點(diǎn)個(gè)數+周界格點(diǎn)數÷2-1

　　這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱(chēng)為“皮克定理”，這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理。

　　皮克定理的證明：

　　將格點(diǎn)圖中的每個(gè)點(diǎn)看作以這個(gè)點(diǎn)為圓心、以單位面積正方形的邊長(cháng)的一半為半徑的圓。格點(diǎn)多邊形圖內的點(diǎn)對應的圓的面積都是圖形面積的一部分;而在多邊 形邊界上的點(diǎn)對應的圓的面積只有一半屬于這個(gè)多邊形，且多邊形每個(gè)角上的圓屬于圖內的面積都不到半個(gè)圓，少了其外角對應的扇形面積，因任意多邊形的外角和 是360度，正好是個(gè)整圓，所以周界上圓在圖內的面積為：周界格點(diǎn)數÷2-1

　　所以格點(diǎn)多邊形面積為：圖內格點(diǎn)個(gè)數+周界格點(diǎn)數÷2-1。

　　皮克定理的證明過(guò)程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步認識格點(diǎn)面積公式，掌握格點(diǎn)面積公式的應用，到初中還會(huì )進(jìn)一步學(xué)習皮克定理。

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