圓周率
數量的學(xué)習起于數，一開(kāi)始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術(shù)內的有理和無(wú)理數。
另一個(gè)研究的領(lǐng)域為其大小，這個(gè)導致了基數和之后對無(wú)限的另外一種概念：阿列夫數，它允許無(wú)限集合之間的大小可以做有意義的比較。
第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數值的人是阿基米德，得出精確到小數點(diǎn)后兩位的π值。數學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)用割圓術(shù)求得π的近似值。得出π=√10
∏數學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之通過(guò)艱苦的努力，他在世界數學(xué)史上第一次將圓周率(∏)值計算到小數點(diǎn)后七位，即3.1415926到3.1415927之間。
π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數，也是一個(gè)無(wú)理數，是一個(gè)超越數。
結構
許多如數及函數的集合等數學(xué)物件都有著(zhù)內含的結構。這些物件的結構性質(zhì)被探討于群、環(huán)、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領(lǐng)域。在此有一個(gè)很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線(xiàn)性代數中。向量的研究結合了數學(xué)的三個(gè)基本領(lǐng)域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個(gè)基本的領(lǐng)域內，即變化。
空間
空間的研究源自于幾何-尤其是歐式幾何。三角學(xué)則結合了空間及數，且包含有非常著(zhù)名的勾股定理�，F今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學(xué)。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著(zhù)很重要的角色。在微分幾何中有著(zhù)纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著(zhù)如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念;亦有著(zhù)拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來(lái)研究空間、結構及變化。
基礎
為了搞清楚數學(xué)基礎，數學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來(lái)。德國數學(xué)家康托(Georg Cantor，1845-1918)首創(chuàng )集合論，大膽地向“無(wú)窮大”進(jìn)軍，為的是給數學(xué)各分支提供一個(gè)堅實(shí)的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實(shí)無(wú)窮的存在，為以后的數學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻�？低械墓ぷ鹘o數學(xué)發(fā)展帶來(lái)了一場(chǎng)革命。由于他的理論超越直觀(guān)，所以曾受到當時(shí)一些大數學(xué)家的反對，龐加萊也把集合論比作有趣的“病理情形”，龐加萊還擊康托是“神經(jīng)質(zhì)”，“走進(jìn)了超越數的地獄”。對于這些非難和指責，康托仍充滿(mǎn)信心，他說(shuō)：“我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳”。
集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個(gè)數學(xué)分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學(xué)及數理科學(xué)中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學(xué)家希爾伯特在德國傳播了康托的思想，把他稱(chēng)為“數學(xué)家的樂(lè )園”和“數學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學(xué)家羅素把康托的工作譽(yù)為“這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。
邏輯
數學(xué)邏輯專(zhuān)注在將數學(xué)置于一堅固的公理架構上，并研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ淼漠a(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實(shí)定理�，F代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學(xué)有著(zhù)密切的關(guān)聯(lián)性。
符號
在現代的符號中，簡(jiǎn)單的表示式可能描繪出復雜的概念。此一圖像即是由一簡(jiǎn)單方程所產(chǎn)生的。
我們現今所使用的大部分數學(xué)符號都是到了16世紀后才被發(fā)明出來(lái)的。在此之前，數學(xué)被文字書(shū)寫(xiě)出來(lái)，這是個(gè)會(huì )限制住數學(xué)發(fā)展的刻苦程序�，F今的符號使得數學(xué)對于專(zhuān)家而言更容易去控作，但初學(xué)者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著(zhù)大量的訊息。如同音樂(lè )符號一般，現今的數學(xué)符號有明確的語(yǔ)法和難以以其他方法書(shū)寫(xiě)的訊息編碼。
嚴謹
數學(xué)語(yǔ)言亦對初學(xué)者而言感到困難。如何使這些字有著(zhù)比日常用語(yǔ)更精確的意思。亦困惱著(zhù)初學(xué)者，如開(kāi)放和域等字在數學(xué)里有著(zhù)特別的意思。數學(xué)術(shù)語(yǔ)亦包括如同胚及可積性等專(zhuān)有名詞。但使用這些特別符號和專(zhuān)有術(shù)語(yǔ)是有其原因的：數學(xué)需要比日常用語(yǔ)更多的精確性。數學(xué)家將此對語(yǔ)言及邏輯精確性的要求稱(chēng)為“嚴謹”。
嚴謹是數學(xué)證明中很重要且基本的一部分。數學(xué)家希望他們的定理以系統化的推理依著(zhù)公理被推論下去。這是為了避免錯誤的“定理”，依著(zhù)不可靠的直觀(guān)，而這情形在歷史上曾出現過(guò)許多的例子。在數學(xué)中被期許的嚴謹程度因著(zhù)時(shí)間而不同：希臘人期許著(zhù)仔細的論點(diǎn)，但在牛頓的時(shí)代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問(wèn)題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來(lái)處理�，F在，數學(xué)家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時(shí)，其證明亦很難說(shuō)是有效地嚴謹。因為時(shí)代的差別、也抹去了不少知識、但是數學(xué)永不磨滅、永遠流傳智慧。