數學(xué)概念學(xué)習的六種方法
在數學(xué)的學(xué)習中，數學(xué)概念的學(xué)習毫無(wú)疑問(wèn)是重中之重。概念不清，一切無(wú)從談起。概念的深層理解和精確把握，對數學(xué)問(wèn)題的解決具有非常重要的作用。然而數學(xué)概念數量眾多并且非常抽象，如何才能達到一個(gè)真正理解且深層記憶的效果呢？下面簡(jiǎn)述幾種方法。
1、舉例法：舉例通常分成兩種情況即舉正面例子和舉反面例子。舉正面例子可以變抽象為形象，變一般為具體使概念生動(dòng)化、直觀(guān)化，達到較易理解的目的。例如在講解向量空間的時(shí)候就列舉了大量的實(shí)例。在解析幾何里，平面或空間中從一定點(diǎn)引出的一切向量對于向量的加法和實(shí)數與向量的乘法來(lái)說(shuō)都作成實(shí)數域上的向量空間；復數域可以看成實(shí)數域上的向量空間；數域F上一切m*n矩陣所成的集合對于矩陣的加法和數與矩陣的乘法來(lái)說(shuō)作成F上一個(gè)向量空間，等等。舉反面例子則可以體會(huì )概念反映的范圍，加深對概念本質(zhì)的把握。例如在講解反比例函數概念的時(shí)候就可以舉這樣的一個(gè)例子。試判斷下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數嗎？ 這就需要我們對反比例函數有本質(zhì)的把握。什么是反比例函數呢？一切形如的函數，本質(zhì)是兩個(gè)量乘積是一定值時(shí)，這兩個(gè)量成反比例關(guān)系。
2、溫故法：不論是皮亞杰還是奧蘇伯爾在概念學(xué)習的理論方面都認為概念教學(xué)的起步是在已有的認知的結構的基礎上進(jìn)行的。因此在教授新概念之前，如果能先對學(xué)生認知結構中原有的概念作一些適當的結構上的變化，再引入新概念，則有利于促進(jìn)新概念的形成。例如：在高中階段講解角的概念的時(shí)候最好重新溫故一下在初中階段角的定義，然后從角的范圍進(jìn)行推廣到正角、負角和零；從角的表示方法進(jìn)行推廣到弧度制，這樣有利于學(xué)生思維的自然過(guò)渡較易接受。又如在講解線(xiàn)性映射的時(shí)候最好首先溫故一下映射的概念，在講解歐氏空間的時(shí)候同樣最好溫故一下向量空間的概念。
3、索因法：每一個(gè)概念的產(chǎn)生都具有豐富的背景和真實(shí)的原因，當你把這些原因找到的時(shí)候，那些鮮活的內容，使你不想記住這些概念都難。例如三角形的四個(gè)心：內心、外心、旁心和重心，很多同學(xué)總是記混這些概念。內心是三角形三個(gè)內角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，因為是三角形內切圓的圓心而得名內心；外心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，因為是三角形外接圓的圓心因而的名外心；旁心是三角形一個(gè)內角平分線(xiàn)和兩個(gè)不相鄰的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，因為是三角形旁切圓的圓心而得名旁心；重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，因為是三角形的重力平衡點(diǎn)而得名重心。當你了解了上述內容，你有怎么可能記混這些概念呢？又例如：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是這樣定義的，過(guò)點(diǎn)做直線(xiàn)的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)段的長(cháng)度，便是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。那么為什么不定義為點(diǎn)和直線(xiàn)上任意點(diǎn)連線(xiàn)的線(xiàn)段的長(cháng)度呢？因為只有垂線(xiàn)段是最短的，具有確定性和唯一性。再如：我們之所以把n元有序數組也稱(chēng)為向量，一方面固然是由于它包括通常的向量，作為特殊的情形；另一方面也是由于它與通常的向量一樣可以定義運算，并且有許多運算性質(zhì)是共同的。像這樣的例子還有很多，不再一一列舉。
4、聯(lián)系法：數學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，任意數學(xué)概念都是由若干個(gè)數學(xué)概念聯(lián)系而成，只有建立數學(xué)概念之間的聯(lián)系，才能徹底理解數學(xué)概念。例如在學(xué)習數列的時(shí)候，我們不妨作如下分析：數列是按一定次序排列的一列數，是有規律的。那規律是什么呢？項與項數之間的規律、項與項之間的規律、數列整體趨勢的規律。項與項數之間的規律就是我們說(shuō)的通項公式，項與項之間的規律就是我們所說(shuō)的遞推公式，數列整體趨勢的規律就是我們所說(shuō)的極限問(wèn)題。當項與項之間滿(mǎn)足差數相等的關(guān)系時(shí)，數列被稱(chēng)為等差數列；當項與項之間滿(mǎn)足倍數相等的關(guān)系時(shí)，數列就被稱(chēng)為等比數列。這樣我們對數列這一章的概念便都了然于胸了。
5、比喻法：很多同學(xué)概念不清的原因是覺(jué)得概念單調乏味、沒(méi)有興趣，從而不去重視它、深究它，所以我們在講解概念的時(shí)候，不妨和生活相聯(lián)系作些形象地比喻，以達到吸引學(xué)生提高學(xué)習興趣的效果。例如：在講解映射的時(shí)候，不妨把映射的法則比喻成男女戀愛(ài)的法則。兩個(gè)人可以同時(shí)喜歡上一個(gè)人，但一個(gè)人不可以同時(shí)愛(ài)上兩個(gè)人。這不正是映射的法則：集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都唯一的像與之對應嗎？又如函數可以理解為一個(gè)黑匣子或交換器，投入的`是數產(chǎn)出的也是數；投入一個(gè)數只能產(chǎn)出一個(gè)數；但是當投入不同數的時(shí)候可以產(chǎn)出同一個(gè)數。再如：滿(mǎn)足和的像等于像的和、數乘的像等于像的數乘的映射稱(chēng)之為線(xiàn)性映射。這不正像一個(gè)人怎么舞動(dòng)他的影子就怎么舞動(dòng)嗎？所以有的時(shí)候把線(xiàn)性映射理解為“人影共舞”的映射。
6、類(lèi)比法：在學(xué)習向量空間的時(shí)候，很多同學(xué)疑問(wèn)重重。向量不就是那些既有大小又有方向的量嗎？怎么連矩陣、連續函數、甚至線(xiàn)性變換也可以理解為向量呢？這一切是不是太不可思議了！但是當你作如下思考的時(shí)候，一切便順理成章了。讓小學(xué)生算一道5—7的題，他會(huì )說(shuō)你這道題出錯了，但是讓一個(gè)初中生去算的話(huà)，他就會(huì )告訴你等于—2；當你讓一個(gè)初中生對負數進(jìn)行開(kāi)平方運算，他會(huì )說(shuō)不能對負數進(jìn)行開(kāi)平方。然而高中生卻能夠進(jìn)行運算。這就說(shuō)明了一個(gè)問(wèn)題，隨著(zhù)年齡的增長(cháng)和認識層次的提高，人們對于同一概念的理解和認識也在逐步的深入和擴大。正如數的概念由小學(xué)生的整數、分數和小數擴大為初中生的實(shí)數最后擴大為高中生的復數。同樣對于向量的理解也就不能只限于既有大小又有方向的量，應該把這一觀(guān)念轉變過(guò)來(lái)。
像這樣的方法還有很多，不再一一列舉。
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