高中必修一數學(xué)知識點(diǎn)總結

　　高一數學(xué)必修一的學(xué)習，需要大家對知識點(diǎn)進(jìn)行總結，這樣大家最大效率地提高自己的學(xué)習成績(jì)。下面高中必修一數學(xué)知識點(diǎn)總結是小編為大家整理的，在這里跟大家分享一下。

　　高中必修一數學(xué)知識點(diǎn)總結

　　第一章 集合與函數概念

　　一、集合有關(guān)概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個(gè)特性：

　　(1)元素的確定性如：世界上最高的山

　　(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

　　3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數集及其記法：X Kb 1.C om

　　非負整數集(即自然數集) 記作：N

　　正整數集 ：N*或 N+

　　整數集： Z

　　有理數集： Q

　　實(shí)數集： R

　　1)列舉法：{a,b,c……}

　　2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號內表示集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}

　　3) 語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4) Venn圖:

　　4、集合的分類(lèi)：

　　(1)有限集 含有有限個(gè)元素的集合

　　(2)無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合

　　(3)空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=-5｝

　　二、集合間的基本關(guān)系

　　1.“包含”關(guān)系—子集

　　注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

　　反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

　　2.“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實(shí)例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

　　即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

　�、� 真子集:如果AB,且A B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)

　�、� 如果 AB, BC ,那么 AC

　�、� 如果AB 同時(shí) BA 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集個(gè)數：

　　有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集，含有2n-1個(gè)非空子集，含有2n-1個(gè)非空真子集

　　三、集合的運算

　　運算類(lèi)型 交 集 并 集 補 集

　　定 義 由所有屬于A(yíng)且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.

　　由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：A B(讀作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

　　設S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A(yíng)的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)

　　記作 ，即

　　CSA=

　　A A=A

　　A Φ=Φ

　　A B=B A

　　A B A

　　A B B

　　A A=A

　　A Φ=A

　　A B=B A

　　A B A

　　A B B

　　(CuA) (CuB)

　　= Cu (A B)

　　(CuA) (CuB)

　　= Cu(A B)

　　A (CuA)=U

　　A (CuA)= Φ.

　　二、函數的有關(guān)概念

　　1.函數的概念

　　設A、B是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

　　注意：

　　1.定義域：能使函數式有意義的實(shí)數x的集合稱(chēng)為函數的定義域。

　　求函數的定義域時(shí)列不等式組的主要依據是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零;

　　(3)對數式的真數必須大于零;

　　(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數是由一些基本函數通過(guò)四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

　　(6)指數為零底不可以等于零，

　　(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.

　　相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān));

　�、诙�義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

　　2.值域 : 先考慮其定義域

　　(1)觀(guān)察法 (2)配方法 (3)代換法

　　3. 函數圖象知識歸納

　　(1)定義：

　　在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(x，y)均滿(mǎn)足函數關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序實(shí)數對x、y為坐標的點(diǎn)(x，y)，均在C上 .

　　(2) 畫(huà)法

　　1.描點(diǎn)法： 2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1)平移變換2)伸縮變換3)對稱(chēng)變換

　　4.區間的概念

　　(1)區間的分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間 (2)無(wú)窮區間 (3)區間的數軸表示.

　　5.映射

　　一般地，設A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對應關(guān)系)：A(原象) B(象)”

　　對于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應滿(mǎn)足：

　　(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個(gè);

　　(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

　　6.分段函數

　　(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

　　(2)各部分的自變量的取值情況.

　　(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

　　補充：復合函數

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱(chēng)為f、g的復合函數。

　　二.函數的'性質(zhì)

　　1.函數的單調性(局部性質(zhì))

　　(1)增函數

　　設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個(gè)區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區間上是減函數.區間D稱(chēng)為y=f(x)的單調減區間.

　　注意：函數的單調性是函數的局部性質(zhì);

　　(2) 圖象的特點(diǎn)

　　如果函數y=f(x)在某個(gè)區間是增函數或減函數，那么說(shuō)函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

　　(3).函數單調區間與單調性的判定方法

　　(A) 定義法：

　　(1)任取x1，x2∈D，且x1

　　(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

　　(3)變形(通常是因式分解和配方);

　　(4)定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

　　(5)下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

　　(B)圖象法(從圖象上看升降)

　　(C)復合函數的單調性

　　復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關(guān)，其規律：“同增異減”

　　注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫(xiě)成其并集.

　　8.函數的奇偶性(整體性質(zhì))

　　(1)偶函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.

　　(2)奇函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.

　　(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關(guān)于y軸對稱(chēng);奇函數的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng).

　　9.利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

　　○1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng);

　　○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

　　○3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.

　　注意：函數定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，若不對稱(chēng)則函數是非奇非偶函數.若對稱(chēng)，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .

　　10、函數的解析表達式

　　(1)函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

　　(2)求函數的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數法3.換元法4.消參法

　　11.函數最大(小)值

　　○1 利用二次函數的性質(zhì)(配方法)求函數的最大(小)值

　　○2 利用圖象求函數的最大(小)值

　　○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

　　第三章 基本初等函數

　　一、指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *.

　　負數沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作 。

　　當 是奇數時(shí)， ，當 是偶數時(shí)，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規定：

　　，

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒(méi)有意義

　　3.實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)

　　(1) • ;

　　(2) ;

　　(3) .

　　(二)指數函數及其性質(zhì)

　　1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質(zhì)

　　a>1 0

　　定義域 R 定義域 R

　　值域y>0 值域y>0

　　在R上單調遞增 在R上單調遞減

　　非奇非偶函數 非奇非偶函數

　　函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1) 函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)

　　注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

　　(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;

　　(2)若 ，則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;

　　(3)對于指數函數 ，總有 ;

　　二、對數函數

　　(一)對數

　　1.對數的概念：

　　一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作： ( — 底數， — 真數， — 對數式)

　　說(shuō)明：○1 注意底數的限制 ，且 ;

　　○2 ;

　　○3 注意對數的書(shū)寫(xiě)格式.

　　兩個(gè)重要對數：

　　○1 常用對數：以10為底的對數 ;

　　○2 自然對數：以無(wú)理數 為底的對數的對數 .

　　指數式與對數式的互化

　　冪值 真數

　　= N = b

　　底數

　　指數 對數

　　(二)對數的運算性質(zhì)

　　如果 ，且 ， ， ，那么：

　　○1 • + ;

　　○2 - ;

　　○3 .

　　注意：換底公式： ( ，且 ; ，且 ; ).

　　利用換底公式推導下面的結論：(1) ;(2) .

　　(3)、重要的公式 ①、負數與零沒(méi)有對數; ②、 ， ③、對數恒等式

　　(二)對數函數

　　1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是(0，+∞).

　　注意：○1 對數函數的定義與指數函數類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函數，而只能稱(chēng)其為對數型函數.

　　○2 對數函數對底數的限制： ，且 .

　　2、對數函數的性質(zhì)：

　　a>1 0

　　定義域x>0 定義域x>0

　　值域為R 值域為R

　　在R上遞增 在R上遞減

　　函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0) 函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)

　　(三)冪函數

　　1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱(chēng)為冪函數，其中 為常數.

　　2、冪函數性質(zhì)歸納.

　　(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1);

　　(2) 時(shí)，冪函數的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區間 上是增函數.特別地，當 時(shí)，冪函數的圖象下凸;當 時(shí)，冪函數的圖象上凸;

　　(3) 時(shí)，冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內，當 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無(wú)限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無(wú)限地逼近 軸正半軸.

　　第四章 函數的應用

　　一、方程的根與函數的零點(diǎn)

　　1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數 ，把使 成立的實(shí)數 叫做函數 的零點(diǎn)。

　　2、函數零點(diǎn)的意義：函數 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數根，亦即函數 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標。

　　即：方程 有實(shí)數根 函數 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數 有零點(diǎn).

　　3、函數零點(diǎn)的求法：

　　○1 (代數法)求方程 的實(shí)數根;

　　○2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn).

　　4、二次函數的零點(diǎn)：

　　二次函數 .

　　(1)△>0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn).

　　(2)△=0，方程 有兩相等實(shí)根，二次函數的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

　　(3)△<0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數無(wú)零點(diǎn).

　　5.函數的模型

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