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機械人提供：基于LV-SVMs 的UUV NARX動(dòng)態(tài)辨識模型(一)
基于LV-SVMs 的UUV NARX動(dòng)態(tài)辨識模型提 要 鑒于水下無(wú)人控制機器人(UUV) 的動(dòng)態(tài)控制越來(lái)越重要,本文針對當前辨識模型存在的所獲參數精確性不足,運用非線(xiàn)性黑箱辨識模型,提出了基于最小二乘支持向量機的UUV NARX 動(dòng)態(tài)辨識模型。將該模型應用于辨識UUV 的兩個(gè)關(guān)鍵參數偏航角γ和x y 平面內的速度ν , 取得了良好的辨識效果。
主題詞 水下機器人 動(dòng)態(tài)控制 非線(xiàn)性控制 參數識別 數學(xué)模型
水下無(wú)人控制機器人( UUV ———UnmannedUnderwater Vehicles) 目前已廣泛地運用到商業(yè)、科研、軍事等領(lǐng)域。但是,面對越來(lái)越長(cháng)時(shí)間的工作量和種種未知的工作環(huán)境,對UUV 的動(dòng)態(tài)控制也變得越來(lái)越復雜。因此,在UUV 中嵌入智能控制系統,以使UUV 能更好地完成復雜的任務(wù)。UUV的動(dòng)態(tài)控制系統的輸出,若能與參考模型的理想輸出一致,則可以獲得良好的控制性能,因而參考模型直接影響到動(dòng)態(tài)控制系統能否對UUV 的當前狀態(tài)作出正確判斷。但是,UUV 的水動(dòng)力學(xué)方程異常復雜[ 1 ] ,為此在以往的研究中,都是通過(guò)簡(jiǎn)化方程來(lái)獲得UUV 的相關(guān)系統參數的,如文獻[ 6 ]運用最小二乘法,文獻[ 7 ]運用卡爾曼濾波法,都取得了不錯的辨識效果。但這些簡(jiǎn)化都存在不同程度的損耗,降低了所獲得參數的精確性。為了提高UUV 參數的精確性, 進(jìn)一步提高UUV 的動(dòng)態(tài)控制性能,本文提出了一種基于最小二乘支持向量機(LVOSVMS) 的非線(xiàn)性黑箱建模(BlackObox modeling) 方法,建立了基于最小二乘支持向量機的UUV NARX 動(dòng)態(tài)辨識模型。
1 非線(xiàn)性黑箱辨識模型
非線(xiàn)性黑箱辨識模型的結構如圖1 所示。
圖1 非線(xiàn)性黑箱辨識模型結構圖
對于輸入向量ut = [ u(1) , u(2) , ⋯, u( t) ] 和輸出向量yt = [ y (1) , y (2) , ⋯, y ( t) ] , 構造函數如下[4 ] y ( t) = g (ψ( t) ) +ν( t) 。其中g(shù) (·) 為對y ( t) 的估計; ν( t) 為誤差項; ψ( t)=ψ( ut - 1 , yt- 1 ) 為回歸因子。g (·) 是從輸入向量ut ,到回歸因子和從回歸因子到輸出向量yt 這兩個(gè)映
射間的橋梁。
在實(shí)際應用中,已經(jīng)建立了很多實(shí)用的非線(xiàn)性模型,常用的有:
(1) NFIR 模型,用u( t - k) 作為回歸因子;
(2) NARX 模型,用u( t - k) 和y ( t - k) 作為回歸因子;
(3) NOE 模型(也叫自回歸輸入/ 輸出模型或并行模型) ,用u( t - k) 和^y ( t - k) 作為回歸因子;
(4) NARMAX 模型,用u( t - k) , ^y ( t - k) 和ε( t - k) 作為回歸因子。
其中NOE 模型和NARMAX 模型對應于循環(huán)結構,即回歸因子包含非線(xiàn)性模型的估計輸出(注意,是非線(xiàn)性模型的輸出而不是真實(shí)未知系統的輸出) ,這種回歸容易使系統不穩定。NOE 模型在內部形成反饋,這也可能造成模型的不穩定性。NFIR模型,僅僅用u( t - k) 作為回歸因子,對于UUV 這樣復雜的系統,回歸因子中變量太少。為此,本文采用NARX 模型。
2 最小二乘支持向量機
2. 1 算法
LSOSVMs 是由Suyken J A K提出的一種新型的支持向量機[2 ] ,有別于傳統支持向量機采用二次規劃方法解決分類(lèi)和函數估計問(wèn)題。最小二乘支持向量機是采用多類(lèi)核的機器學(xué)習,即采用核函數,根據Mercer 條件,從原始空間中抽取特征,將原始空間中的樣本映射為高維特征空間中的一個(gè)向量,以解決原始空間中線(xiàn)性不可分的問(wèn)題。具體算法推導如下:對于給定的樣本數據集( xi , yi ) ( i = 1 ,2 , ⋯,l ; xi ∈Rn ; yi ∈Rn) , 利用高維特征空間中的函數:
y ( x) = ωTφ( x) + b;ω ∈ Rnh , b ∈R來(lái)擬合樣本集。非線(xiàn)性映射φ( x) 把數據集從輸入空間映射到高維特征空間。式中ω為權向量; b為偏置量。根據結構風(fēng)險最小化原理,回歸問(wèn)題轉化為約束優(yōu)化問(wèn)題:min J (ω, e) = 12ωTω +C2 Σli = 1e2is. t . yi = ωTφ( xi ) + b + ei式中C 為可調參數; ei ∈R 為誤差變量。建立Lagrange 函數:
L ( ω, b, e;α) = J (ω, e) - Σli = 1αi [ωTφ( xi ) + b + ei - yi ]
根據KKT 條件可得5L5ω = 0 →ω = Σli = 1αiφ( xi )5L5b= 0 → Σli = 1αi = 05L5ei= 0 αi = Cei5L5αi= 0 →ωTφ( xi ) + b + ei - y = 0
消去原始變量ω、ei 可得對偶問(wèn)題:
0 I TvIv K + 1/ Cbα=0y 式中: Iv = (1 ,1 , ⋯,1) TKij = φ( xi ) Tφ( x j ) i , j = 1 ,2 , ⋯, l
y = ( y1 , y2 , ⋯, yi ) Tα = (α1 ,α2 , ⋯,αi )
通過(guò)求解上面的線(xiàn)性方程,求出α和b , 可得最小二乘模型:
y ( x) = Σαi K ( xi , x) + b
其中核函數K( xi , x) 是滿(mǎn)足Mercer 條件的任一對稱(chēng)函數。常用的核函數有: (1) 線(xiàn)性核
K( xi , x) = x T x i ;
(2) 徑向基核
K( xi , x) = exp ( -‖x - xi ‖22σ2 ) ;
(3) 多項式核
K( xi , x) = ( x T x i + 1) d , d = 1 ,2 , ⋯, N本文采用徑向基核函數。
2. 2 核參數的選擇
由上述算法推導可知,對于采用徑向基核的最小二乘支持向量機的主要參數是正則化參數C和徑向基核參數σ ,這兩個(gè)參數在很大程度上決定了最小二乘支持向量機的學(xué)習能力和泛化能力。根據文獻[5 ]采用多層動(dòng)態(tài)自適應優(yōu)化方法。具體步驟如
下:
(1) 確定參數C 和σ取值范圍,依據最小二乘支持向量機原理,最大取值范圍是
C ∈ [0. 1 ,10000 ] ,σ ∈[0. 1 ,100 ] 。
(2) 在最大取值范圍內選取參數值,構建參數對( Ci ,σj ) 二維網(wǎng)格平面,其中
i = 1 ,2 , ⋯, m; j = 1 ,2 , ⋯, n 。例如,兩個(gè)參數各選取10 個(gè)數值,則構成10 ×10 網(wǎng)格平面和100 個(gè)( Ci ,σj ) 參數對。對于參數選取有兩種方法:第一種是,首先確定兩個(gè)參數的取值范圍,再根據所需參數對數進(jìn)行均勻取值;第二種是,根據學(xué)習樣本的特征和經(jīng)驗確定參數對值。
(3) 輸入每個(gè)網(wǎng)格結點(diǎn)的參數對( Ci ,σj ) 到最小二乘支持向量機中,采用學(xué)習樣本進(jìn)行學(xué)習, 并輸出學(xué)習誤差。取最小誤差對應的節點(diǎn)值( Ci ,σj ) Emin 為最優(yōu)參數對。
(4) 如果學(xué)習精度沒(méi)有達到所需要求, 則以( Ci ,σj ) Emin 為中心,構建新二維網(wǎng)絡(luò )平面,選取數值相近的參數值進(jìn)一步學(xué)習,從而獲得更高精度的學(xué)習結果。這個(gè)新參數選取過(guò)程是自動(dòng)執行的,經(jīng)驗表明,一般以( Ci ,σj ) Emin 值的0. 01～5 倍為一個(gè)擴展網(wǎng)格寬度,構建新參數對( Ci ,σj ) 二維網(wǎng)格平面,其中i = 1 ,2 , ⋯, k ; j = 1 ,2 , ⋯, l 。以此類(lèi)推,可構造多層參數優(yōu)化網(wǎng)格平面,不斷優(yōu)化最小二乘支持向量機參數,直到達到需要的學(xué)習精度。
3 UUV 動(dòng)態(tài)辨識模型
UUV 的水下運動(dòng)是一個(gè)及其復雜的過(guò)程,共包括六個(gè)自由度,每個(gè)自由度多個(gè)參數用來(lái)描述UUV 的狀態(tài),這些參數之間都存在著(zhù)非線(xiàn)性的關(guān)系。由文獻[1 ]可以知道,通過(guò)基本的物理學(xué)定理, 可以在加速度、速度、偏航角、橫滾角、UUV 推力、重力、浮力、阻力等之間建立一個(gè)6 自由度的非線(xiàn)性水動(dòng)力方程。因此,可以采用LVOSVMs 非線(xiàn)性黑箱建模的方法對UUV 動(dòng)態(tài)系統進(jìn)行辨識。本文選取對UUV 運動(dòng)姿態(tài)影響最大的兩個(gè)參數: X Y 平面內的速度v ,及偏航角γ來(lái)進(jìn)行建模辨識。根據現有文獻,通過(guò)UUV 自帶的傳感器以及經(jīng)過(guò)初步處理,可以得到與我們需要辨識的兩個(gè)參數之間存在非線(xiàn)性關(guān)系的參數有UUV 的加速度Ûv和UUV 推進(jìn)器的推力τ ,運用這些參數建立UUV的非線(xiàn)性黑箱辨識模型。引入NARX 模型如下:yt = Σni =1ai y t - i + Σmj =1bj f ( ut- j ) + et , (1)
其中yt = ( vt , γt ) 為輸出項; f (·) 為一非線(xiàn)性函數, ut - j = ( Ûv t- j ,τt- j ) , yt- i = ( vt- i ,γt- i ) 為輸入項; et為誤差變量。由第一部分所述的LVOSVMs 原理,令f ( u) = ωTφ( u) + b0 , (2)選擇核函數
Ωk , l = K( uk , ul ) = φ( uk ) Tφ( ul ) ,把式(2) 代入式(1)
得yt = Σni =1ai y t - i + Σmj =1bj (ωTφ( u) + b0 ) + et 。(3)
令ωTj = bjωT , d = Σmj = 1bj b0 , 代入式(3) 得yt = Σni = 1ai y t- i + Σmj = 1ωTjφ( u) + d + et 。(4)
將回歸問(wèn)題轉化為優(yōu)化問(wèn)題:min J (ωj , e) = 12 Σmj =1ωTjωj +C2 ΣNt = re2t, (5)
s. t . yt = Σni =1ai y t- i + Σmj = 1ωTj φ( ut- j ) + d + et ,(6)
ΣNk =1ωTjφ( uk ) = 0 , j = 1 ,2 , ⋯, m (7)
建立Lagrange 函數:
L (ωj , d , a , e;α,β) = J (ωj , e) - ΣNt = rαt { Σni = 1ai y t - i+ Σmj =1ωTjφ( ut- j ) + d + et - yt }
+ mj =1βj {ωTjφ( uk ) } 。
根據KKT 條件可得
5L5ωj= 0 →ωj = ΣNt = rαtφ( ut- j ) + Σmj =1βjφ( uk ) j = 1 ,2 , ⋯, m
5L5αi= 0 → ΣNt = rαt y t- i = 0 , i = 1 ,2 , ⋯, n
5L5 d= 0 → ΣNt = rαt = 0
5L5et= 0 →αt = Cet , t = r , ⋯, N
5L5αt= 0 → Eq. (6)
5L5βj= 0 → Eq. (7)
綜合以上各式得到
0 0 1 T 00 0 Y 0
1 Y T .K + C- 1 I K0
0 0 K0 T ‖Ω‖2F ·Imdaαβ=00y f0
其中 α = [αr ⋯αN ] T ;
β = [β1 ⋯βm ] T ;
a = [ a1 ⋯an ] T ;
y f = [ y r+1 ⋯yN ] T ;
Y =y r- 1 yr ⋯ yN - 1y r- 2 yr- 1 ⋯ yN - 2… … …y r- n y r- n+1 ⋯ yN - n;.Kp , q = Σmj = 1Ωp+ r- j , q+ r- j ;
K0p , q = Σnk = 1Ωk , p- q 。
通過(guò)以上線(xiàn)性方程求得α和d ,代入最小二乘模型即可得基于LVOSVMs 的UUV NARX 動(dòng)態(tài)辯識模型:
f ( vt ,γt ) =αΣK( ut , u) + d
于是可得如圖2 所示的UUV 動(dòng)態(tài)辨識模型的結構原理圖。
圖2 UUV 動(dòng)態(tài)辨識模型的結構原理圖
4 辨識實(shí)例
為了檢驗本文所建立的辨識模型,我們設計了一個(gè)辨識實(shí)例,對上述模型進(jìn)行了仿真試驗。軟件采用Matlab 。數據由文獻[ 1 ]中的UUV 水動(dòng)力學(xué)方程產(chǎn)生。辨識測度采用如下性能指標:
(1) 辨識誤差為1
N ΣNi =1( yi - ^yi ) 2
其中yi 為期望輸出, ^yi 為辨識輸入。
(2) 訓練樣本采用在一百個(gè)時(shí)間單位內采集的數據,如圖3 所示。
圖3 訓練樣本
(3) 辨識過(guò)程。設置最小二乘支持向量機的參數C 和σ的取值范圍。采用兩層網(wǎng)格平面優(yōu)化,根據非線(xiàn)性控制系統特征,在第1 參數優(yōu)化層中,取
C =[0. 1 ,1 ,10 ,50 ,100 ,500 ,1000 ,2500 ,5000 ,10000 ] ,σ= [0. 1 ,0. 2 ,0. 5 ,1 ,5 ,10 ,15 ,25 ,50 ,100 ] , 即采用10 ×10 網(wǎng)格結構。獲得參數對如下: ①對于速度v ,( C,σ) 為(10000 ,5) ; ②對于偏航角γ , ( C,σ) 為(5000 ,10) 。
然后,在第二參數優(yōu)化層中,以( Ci ,σj ) Emin 為網(wǎng)格平面中心,以( Ci ) Emin 值的±0. 1 倍值為C向擴展網(wǎng)格寬度,以(σj ) Emin的±0. 05 倍值為σ向擴展網(wǎng)格寬度,再次構建10 ×10 網(wǎng)格平面,獲得速度v 的最優(yōu)參數對( Ci ,σj ) Emin為(15000 ,4. 25) ,偏航角γ的最優(yōu)參數對( Ci ,σj ) Emin為(4500 ,15) 。利用以上最優(yōu)參數對對速度v 和偏航角γ進(jìn)行辨識結果如圖4 、圖5 所示。
對于速度v 的辨識誤差為0. 00213 ,偏航角γ的辨識誤差為0. 232 。上述結果表明,基于L SOSVMs
圖4 對速度進(jìn)行辨識后的結果
實(shí)線(xiàn)為期望輸出,虛線(xiàn)為辨識輸出
圖5 對偏航角進(jìn)行辨識后的結果
實(shí)線(xiàn)為期望輸出,虛線(xiàn)為辨識輸出
的UUV 非線(xiàn)性黑箱辨識模型的辨識精度較高,輸出的速度v 和偏航角γ與期望輸出相比,在不同的狀況下都取得了滿(mǎn)意的效果,表現出了很好的泛化能力。
5 結語(yǔ)
UUV 動(dòng)態(tài)控制是保證UUV 能在復雜的水下環(huán)境中工作的關(guān)鍵。本文提出了一個(gè)基于L SOSVMs 的UUV 非線(xiàn)性黑箱辨識模型,將L SOSVMs應用于UUV 的動(dòng)態(tài)控制辨識中,取得了滿(mǎn)意的效果,為今后UUV 的動(dòng)態(tài)控制提供了一定的參考。
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