雙曲線(xiàn)及其幾何性質(zhì)的技巧分析教育論文

　　從高考內容上看，雙曲線(xiàn)標準方程及幾何性質(zhì)是命題的熱點(diǎn)，題型多為客觀(guān)題，著(zhù)重考查漸近線(xiàn)與離心率問(wèn)題，難度不大，但有一定的靈活性。

　　重點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的第一、第二定義， 雙曲線(xiàn)的標準方程，雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，軌跡問(wèn)題等。

　　難點(diǎn)：a，b，c，e等參數值的求法及其取值范圍問(wèn)題的探討，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系相關(guān)的綜合問(wèn)題。

　�。�1）研究雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，首先應考慮用定義來(lái)解題。 關(guān)注定義中的“絕對值”，若定義中去掉了“絕對值”，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支，由此導致一個(gè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支和右支上的情形是不同的。

　�。�2）研究雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形（焦點(diǎn)三角形）問(wèn)題時(shí)，在運用定義的同時(shí)還會(huì )經(jīng)常用到正、余弦定理。

　�。�3）求雙曲線(xiàn)的標準方程。

　�、俣�義法：分析題目條件是否滿(mǎn)足定義；求出a，b，c；寫(xiě)出方程。

　�、诖�定系數法：確定焦點(diǎn)的位置；設出待求方程；確定相關(guān)系數；寫(xiě)出方程。

　�。�4）雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如：雙曲線(xiàn)■—■=1中，x≥a或x≤—a，e>1等。 在求與雙曲線(xiàn)有關(guān)的一些量的范圍或與這些量有關(guān)的最值時(shí)會(huì )經(jīng)常用到這些不等關(guān)系。解決雙曲線(xiàn)中有關(guān)變量的最值與取值范圍問(wèn)題常見(jiàn)的解法有兩種：幾何法和代數法。 若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法。 若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關(guān)系，則可首先建立起目標函數，再求這個(gè)函數的最值，這就是代數法。

　�。�5）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)。 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷：直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數解的個(gè)數來(lái)確定，通常消去方程組中的變量y（或x）得到關(guān)于變量x（或y）的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0？圳直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)點(diǎn)；Δ=0？圳直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于一個(gè)點(diǎn)；Δ<0？圳直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)。 若得到關(guān)于x（或y）的一元一次方程，則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)。

　�。�6）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交時(shí)常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法：①涉及弦長(cháng)問(wèn)題，常用“根與系數的關(guān)系”，設而不求計算弦長(cháng)。 直線(xiàn)l被雙曲線(xiàn)截得的弦長(cháng)AB=■或AB=■，其中k是直線(xiàn)l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標，且（x1—x2）2=（x1+x2）2—4x1x2，x1+x2，x1x2可由韋達定理整體給出。 ②涉及求平行弦中點(diǎn)的軌跡，求過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)的軌跡和求被定點(diǎn)平分的弦所在的直線(xiàn)方程問(wèn)題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”設而不求，將動(dòng)點(diǎn)的坐標、弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標聯(lián)系起來(lái)，相互轉化。

　�。�1）求雙曲線(xiàn)C的方程；

　�。�2）若直線(xiàn)：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，—1），求實(shí)數m的取值范圍。

　　思索

　�、偕婕爸本�(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交弦有關(guān)的參數范圍的問(wèn)題，Δ>0是必不可少的條件。

　�、陉P(guān)于直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的某一支的相交問(wèn)題，不但要考慮Δ>0，還要考慮方程根的取值范圍。

　　建議同學(xué)們在復習本節內容時(shí)重視以下幾個(gè)方面：

　�。�1）重視定義在解題中的作用，對于雙曲線(xiàn)的兩種定義，要在訓練的過(guò)程中加強理解和掌握。

　�。�2）重視平面幾何知識在解題中的作用，解題過(guò)程中應借助圖形分析條件，尋求最優(yōu)解法。

　�。�3）重視設而不求的整體化處理思想的應用，遇到有關(guān)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)及相關(guān)問(wèn)題時(shí)，若解方程組求交點(diǎn)，往往運算量大，易出差錯，設而不求利用根與系數的關(guān)系便可簡(jiǎn)捷求解。

　�。�4）重視曲線(xiàn)的幾何特征與方程的代數特征在解題中的作用。

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