小議用圖像法解方法
一、由一道中考數學(xué)題引起的思考有這樣一道中考試題：
利用圖像解一元二次方程x -2x-1=0時(shí)，我們采用的一種方法是：在直角坐標系中畫(huà)出拋物線(xiàn)y=x2和直線(xiàn)y=2x+1，兩圖像交點(diǎn)的橫坐標就是該方程的解．
(1)請再給出一種利用圖像求方程x2-2x-1=0的解的方法．
(2)已知函數y=x 的圖像(如圖)：求方程x -x-2=0的解．(結果保留2個(gè)有效數字)
這是一道新課程初中數學(xué)利用函數圖像求方程的近似解，主要考查學(xué)生運用數形結合思想綜合解決問(wèn)題的能力．該題的設計非常有創(chuàng )意和開(kāi)放性，以全新的方式考查學(xué)生的估算能力和解題策略，體現了新課程的理念，特別注重解決問(wèn)題的策略，突出地體現了對問(wèn)題的類(lèi)比與探索意識，如果死記硬背知識點(diǎn)是難以解決的．從中考統計結果看，該題得分率相當低，尤其是第（2）小題．學(xué)生對出題的意圖理解不夠，把得出方程的解看成最終目的，忽視了考查解題過(guò)程才是題目的初衷．這都說(shuō)明學(xué)生解題的策略、方法掌握不夠，造成思路單一，解法不活．究其原因，主要是目前初中數學(xué)教學(xué)對數形結合解決問(wèn)題不夠重視，許多教師對數形結合思想認識膚淺，解決問(wèn)題方法比較單一，如僅限于教材的一些材料，缺少必要的滲透和引領(lǐng)，使學(xué)生不會(huì )通過(guò)所學(xué)多角度地思考問(wèn)題．所以有必要對當前初中數學(xué)數形結合教學(xué)的現狀作分析，以引起數學(xué)教師的反思．
二、對當前用圖像法解方程的教學(xué)現狀的分析
新人教版教材在八年級下、九年級下學(xué)習一次函數、二次函數時(shí)都對利用函數圖像估算有一些具體的體現與落實(shí)，如
（3）利用函數圖像解不等式：5x-1﹥2x+5
（2）利用函數圖像求方程x -2x-2=0的實(shí)數根（精確到0.1）．
教材的目的是讓學(xué)生親歷自主探索、動(dòng)手操作、合情推理來(lái)理解方程、不等式、函數的互相關(guān)系，滲透了類(lèi)比、化歸、數形結合的數學(xué)思想，從而考查學(xué)生的數學(xué)綜合應用能力．但根據筆者的調查，該內容的實(shí)際教學(xué)情況卻不盡如人意．有的由于教師對于畫(huà)圖標準沒(méi)有明確的要求，學(xué)生畫(huà)圖的準確性差異很大，導致給出的答案誤差較大；有的教師看到學(xué)生花費的時(shí)間太長(cháng)，影響課堂教學(xué)進(jìn)度，就沒(méi)等學(xué)生完成匆匆一對答案了之；有的比較機靈的學(xué)生則先直接解得方程（組）的解，然后再畫(huà)圖，使問(wèn)題只成為沒(méi)有意義的問(wèn)題． 造成以上情況的原因是教材選材上受知識范圍所束縛,選取的是一元一次方程組和一元二次方程（組）．這些方程學(xué)生都已掌握了成熟、準確的代數解法，再來(lái)探索利用圖像的近似求解法，就不能真正體現圖像法的優(yōu)勢，于是就出現了先用代數法解方程再在圖像上描近似點(diǎn)的倒置現象，數形結合解決問(wèn)題完全成了一種作秀，顯得比較勉強，以致一些教師、學(xué)生都認為這類(lèi)問(wèn)題缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，對圖像發(fā)解決問(wèn)題所得結果的合理性與準確性缺乏足夠的認識．再加上學(xué)生沒(méi)有體會(huì )到圖像法的應用價(jià)值，因此大部分學(xué)生運用“數形結合法”的意識比較薄弱．而且作圖很繁瑣，便不太接受這種方法，所以課堂教學(xué)效果不是很好，不能真正體現數形結合實(shí)用價(jià)值．教師也很難把握估算教學(xué)的尺度，尤其對過(guò)程和方法較難控制，我認為這應該是教材的一個(gè)不足之處．
以上試題將課程標準“加強數形結合思想培養”這一要求很好地落到實(shí)處,充分發(fā)揮評價(jià)的導向作用，彌補了教材的不足．試題采用了三次函數，就避開(kāi)了學(xué)生可以用已有的代數法解方程的知識，并提供函數圖像，避免超出初中階段的知識范圍，很好地考查了學(xué)生對“經(jīng)歷用觀(guān)察、畫(huà)圖手段估計方程解”方法的掌握情況．該題除了體現圖像法本身在數學(xué)知識體系和數學(xué)思想方法上的重大價(jià)值外，也會(huì )對準確理解、把握《課程標準》中的數形結合教學(xué)起到良好的導向作用．
三、提高認識，加強數形結合解決問(wèn)題能力的培養
數學(xué)研究的對象是數量關(guān)系和空間形式，即“形”與“數”兩個(gè)方面.“形”與“數”兩者之間并不是孤立的，而是有著(zhù)密切的聯(lián)系.在一維空間，實(shí)數與數軸上的點(diǎn)建立了一一對應的關(guān)系，在二維空間，實(shí)數對與坐標平面上的點(diǎn)建立了一一對應的關(guān)系，進(jìn)而可以使函數解析式與函數圖像、方程與曲線(xiàn)建立起一一對應的關(guān)系，使得數量關(guān)系的研究可以轉化為圖形性質(zhì)的研究；反之，也可以使圖形性質(zhì)的研究轉化為數量關(guān)系的研究.這種數學(xué)問(wèn)題過(guò)程中“形”與“數”相互轉化的研究策略，即是數形結合的思想.在使用過(guò)程中，由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化．
數形結合能力是一種比較特殊的能力，它可以使我們把抽象的數據之間的關(guān)系轉化為直觀(guān)的圖形性質(zhì)，在解決一些日常實(shí)際問(wèn)題和檢驗計算結果合理性時(shí)特別有用，它比復雜的筆算更有價(jià)值，同時(shí)對于培養學(xué)生的數學(xué)意識，發(fā)展學(xué)生的思維能力很有幫助．通過(guò)數形結合的教學(xué)可以逐步提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，有效改善學(xué)生的數學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數與形的感覺(jué)，形成良好的認知結構和知識結構．數形結合教學(xué)的主要目的不在于獲得問(wèn)題的結果，而是使學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程學(xué)會(huì )用數形結合方法和數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)認識客觀(guān)世界的規律．所以數形結合能力在學(xué)生的學(xué)習和生活中都有著(zhù)十分廣泛的應用，教師應逐步培養學(xué)生的這種意識和技能，提高學(xué)生的數學(xué)素養．
基于數形結合的現實(shí)意義，《數學(xué)課程標準》提出了讓學(xué)生從“數”到“形”和從“形”到“數”之間的合理轉化的教學(xué)要求，將數形結合能力作為一條重要的課程標準．能使學(xué)生經(jīng)歷用觀(guān)察、畫(huà)圖或計算等手段估計方程解的過(guò)程；根據一次函數的圖像求二元一次方程組的近似解；用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解．
例如：圖像求方程x -2x-2=0的實(shí)數根．問(wèn)題不僅僅在于求解，更重要的是讓學(xué)生能直觀(guān)地探究方程的性質(zhì)，并用觀(guān)察、畫(huà)圖或計算器等手段估計方程的解．如果直接解方程，就會(huì )使學(xué)生看不到方程與函數、數據與圖像的密切聯(lián)系，思維的發(fā)展就不會(huì )很全面．用函數的圖像來(lái)估計方程的解看似繁瑣，但切不可因此而忽視，不能只是一味要求培養計算精確答案的技能，所以教師要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生充分體驗，真正了解數相結合的思想方法和價(jià)值．
所以我們教師要更新教育觀(guān)念，大力增強數形結合意識的培養．教師要提高數形結合教學(xué)對于促進(jìn)學(xué)生形成良好數感重要性的認識，尤其要加強方法指導．根據函數的圖像求方程（組）的近似解；用計算機作圖（如幾何畫(huà)板）觀(guān)察估計方程（組）的近似解等．這些方法要有機結合，滲透于學(xué)生平時(shí)的練習與實(shí)踐中，潛移默化地讓學(xué)生積累和運用數形結合的思想、技能、技巧，提高解決問(wèn)題的能力．
教師應善于創(chuàng )造性地使用教材，充分挖掘教學(xué)資源，尤其是結合學(xué)生的生活和實(shí)踐開(kāi)展生動(dòng)活潑、富有意義的估算教學(xué)，在多樣化的選擇中使他們體會(huì )到數形結合的必要性和優(yōu)越性，將這種能力內化為一種自覺(jué)，自主的意識，進(jìn)而形成一種習慣．
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