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初三數學(xué)二次函數知識點(diǎn)
上學(xué)的時(shí)候，說(shuō)到知識點(diǎn)，大家是不是都習慣性的重視？知識點(diǎn)是指某個(gè)模塊知識的重點(diǎn)、核心內容、關(guān)鍵部分。為了幫助大家掌握重要知識點(diǎn)，以下是小編為大家收集的初三數學(xué)二次函數知識點(diǎn)，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。
定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大.)
則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線(xiàn)]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1，x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)
x=-b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。
特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為
P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱(chēng)軸在y軸左;
當a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱(chēng)軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于(0，c)
6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數
Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax^2;+bx+c，當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程)，即ax^2;+bx+c=0
此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。
畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí)，應先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計算、描點(diǎn)的整數值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢。
二次函數解析式的幾種形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0).
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a，h，k為常數，a≠0).
(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.
說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是(h，k)，h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)
如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對稱(chēng)軸是y軸，則設y=ax^2;如果對稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設y=ax^2+k
定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。)
則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的函數
二次函數的三種表達式
�、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
�、陧旤c(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k
�、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線(xiàn)]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進(jìn)行如下轉化：
�、僖话闶胶晚旤c(diǎn)式的關(guān)系
對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
�、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系
x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函數及其圖像
二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線(xiàn)。
一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式
y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數)，頂點(diǎn)坐標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);
頂點(diǎn)式
y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點(diǎn)坐標為(-m，k)對稱(chēng)軸為x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線(xiàn)];
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。a的絕對值還可以決定開(kāi)口大小,a的絕對值越大開(kāi)口就越小,a的絕對值越小開(kāi)口就越大。
牛頓插值公式(已知三點(diǎn)求函數解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點(diǎn)式的系數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)
求根公式
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的二次函數
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。不同的二次函數圖像
如果所畫(huà)圖形準確無(wú)誤，那么二次函數將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數。
2畫(huà)出對稱(chēng)軸，并注明X=什么
3與X軸交點(diǎn)坐標，與Y軸交點(diǎn)坐標，頂點(diǎn)坐標。拋物線(xiàn)的性質(zhì)
軸對稱(chēng)
拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。
特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)
頂點(diǎn)
拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
開(kāi)口
二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
決定對稱(chēng)軸位置的因素
一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱(chēng)軸在y軸左;因為若對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱(chēng)軸在y軸右。因為對稱(chēng)軸在右邊則對稱(chēng)軸要大于0，也就是-b2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱(chēng)軸在y軸左;當a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱(chēng)軸在y軸右。
事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數解析式(一次函數)的斜率k的值�？赏ㄟ^(guò)對二次函數求導得到。
決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的因素
常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于(0，c)
拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數
拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數
Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個(gè)式子除以2a)
當a>0時(shí)，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2c(a≠0)
特殊值的形式
特殊值的形式
�、佼攛=1時(shí)y=abc
�、诋攛=-1時(shí)y=a-bc
�、郛攛=2時(shí)y=4a2bc
�、墚攛=-2時(shí)y=4a-2bc
二次函數的性質(zhì)
定義域：R
值域：(對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)
�、賉(4ac-b^2)/4a，正無(wú)窮);
�、赱t，正無(wú)窮)
奇偶性：當b=0時(shí)為偶函數，當b≠0時(shí)為非奇非偶函數。
周期性：無(wú)
解析式：
�、賧=ax^2bxc[一般式]
�、臿≠0
�、芶>0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上;a<0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝下;
�、菢O值點(diǎn)：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);
�、圈�=b^2-4ac,Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：
([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);
Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：
(-b/2a，0);
Δ<0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn);
�、趛=a(x-h)^2k[頂點(diǎn)式]
此時(shí)，對應極值點(diǎn)為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;
�、踶=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式(雙根式)](a≠0)
對稱(chēng)軸X=(X1X2)/2當a>0且X≧(X1X2)/2時(shí)，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦(X1X2)/2時(shí)Y隨X
的增大而減小
此時(shí)，x1、x2即為函數與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。
交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標設交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應X1X2值。
用函數觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程
如果拋物線(xiàn)與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標是，那么當時(shí)，函數的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。
二次函數的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對應著(zhù)一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數根，有兩個(gè)相等的實(shí)數根，有兩個(gè)不等的實(shí)數根。
實(shí)際問(wèn)題與二次函數
在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結為求二次函數的最大值或最小值。
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