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考研數學(xué)復習指導:這3種證明題解題方法要掌握!
在平時(shí)的學(xué)習、工作或生活中,要用到證明的情況還是蠻多的,證明是持有者用以證明自己身份、經(jīng)歷或某事真實(shí)性的一種憑證。一般證明是怎么起草的呢?下面是小編為大家收集的考研數學(xué)復習指導:這3種證明題解題方法要掌握!,歡迎大家分享。
證明題總結為三大解題方法
縱觀(guān)近十年試題會(huì )發(fā)現:幾乎每一年的試題中都會(huì )有一個(gè)證明題,而且基本上都是應用中值定理來(lái)解決問(wèn)題的。但是要參加碩士入學(xué)數學(xué)統一考試的考生所學(xué)專(zhuān)業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管,考生們在大學(xué)學(xué)習數學(xué)的時(shí)候對于邏輯推理方面的訓練大多是不夠的,這就導致數學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵,以致于簡(jiǎn)單的證明題得分率卻極低。給大家簡(jiǎn)單介紹一些解決數學(xué)證明題的入手點(diǎn),希望對有此隱患的考生有所幫助。
1、結合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準則等基本原理,包括條件及結論。
知道基本原理是證明的基礎,知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會(huì )導致不同的推理能力。如20xx年數學(xué)一考研試題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在,求值是很容易的,但是如果沒(méi)有證明第一步,即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的,如果第一步未得到結論,那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單,只用了極限存在的兩個(gè)準則之一:?jiǎn)握{有界數列有極限。只要知道這個(gè)準則,該問(wèn)題就能輕松解決,因為對于該題中的數列來(lái)說(shuō),“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多,更多的是要用到第二步。
2、借助幾何意義尋求證明思路
一個(gè)證明題,大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的,當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如20xx年數學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題,可以在直角坐標系中畫(huà)出滿(mǎn)足題設條件的函數草圖,再聯(lián)系結論能夠發(fā)現:兩個(gè)函數除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數值相等的點(diǎn),那就是兩個(gè)函數分別取最大值的點(diǎn)(正確審題:兩個(gè)函數取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)—g(x)有三個(gè)零點(diǎn),兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如20xx年數學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題,只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1—x在[0,1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數圖形有交點(diǎn),這就是所證結論,重要的是寫(xiě)出推理過(guò)程。從圖形也應該看到兩函數在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反,也就是差函數在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號的,零點(diǎn)存在定理保證了區間內有零點(diǎn),這就證得所需結果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿(mǎn)解決問(wèn)題的話(huà),轉第三步。
3、逆推法
從結論出發(fā)尋求證明方法。如20xx年第15題是不等式證明題,該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題:即從結論出發(fā)構造函數,利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時(shí)需借助導數符號與單調性之間的關(guān)系,正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性,非正常情況卻出現的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況),這時(shí)需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性,再用一階導的符號判定原來(lái)函數的單調性,從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=lnx—lna—4(x—a)/e,其中eF(a)就是所要證的不等式。
對于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來(lái)說(shuō),利用三步走就能輕松收獲數學(xué)證明的12分,但對于從心理上就不自信能解決證明題的考生來(lái)說(shuō),卻常常輕易丟失12分,后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來(lái)建立自信心,以阻止考試分數的白白流失。
最后提醒大家:強化階段大家應把復習過(guò)的知識系統化綜合化,注意搞細搞透搞活,也可適當做幾套模擬題。數學(xué)題目千變萬(wàn)化,有各種延伸或變式,考生們要在考試中取得好成績(jì),一定要腳踏實(shí)地地復習,華而不實(shí)靠碰運氣是行不通的,多思多議,不斷地總結經(jīng)驗與教訓,做到融會(huì )貫通。
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