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高中數學(xué)重要知識點(diǎn)排列組合公式解析
上學(xué)期間，看到知識點(diǎn)，都是先收藏再說(shuō)吧！知識點(diǎn)就是一些�？嫉膬热�，或者考試經(jīng)常出題的地方。還在苦惱沒(méi)有知識點(diǎn)總結嗎？下面是小編整理的高中數學(xué)重要知識點(diǎn)排列組合公式解析，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
排列組合公式
排列組合公式/排列組合計算公式
排列P------和順序有關(guān)
組合C-------不牽涉到順序的問(wèn)題
排列分順序，組合不分
例如把5本不同的書(shū)分給3個(gè)人，有幾種分法�！芭帕小�
把5本書(shū)分給3個(gè)人，有幾種分法“組合”
1.排列及計算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數，用符號p(n,m)表示。
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規定0!=1)
2.組合及計算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數。用符號
c(n,m)表示。
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!xm!)；c(n,m)=c(n,n-m)；
3.其他排列與組合公式
從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數=p(n,r)/r=n!/r(n-r).
n個(gè)元素被分成k類(lèi)，每類(lèi)的個(gè)數分別是n1，n2，……nk這n個(gè)元素的全排列數為
n!/(n1!xn2!x……xnk!).
k類(lèi)元素，每類(lèi)的個(gè)數無(wú)限，從中取出m個(gè)元素的組合數為c(m+k-1，m)
排列(Pnm(n為下標，m為上標))
Pnm=nx(n-1)……(n-m+1)；Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號)；Pnn(兩個(gè)n分別為上標和下標)=n!；0!=1；Pn1(n為下標1為上標)=n
組合(Cnm(n為下標，m為上標))
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n!/m!(n-m)!；Cnn(兩個(gè)n分別為上標和下標)=1；Cn1(n為下標1為上標)=n；Cnm=Cnn-m
2008-07-0813：30
公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數R參與選擇的元素個(gè)數!-階乘，如9!=9x8x7x6x5x4x3x2x1
從N倒數r個(gè)，表達式應該為nx(n-1)x(n-2).(n-r+1)；
因為從n到(n-r+1)個(gè)數為n-(n-r+1)=r
舉例：
Q1：有從1到9共計9個(gè)號碼球，請問(wèn)，可以組成多少個(gè)三位數？
A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。
上問(wèn)題中，任何一個(gè)號碼只能用一次，顯然不會(huì )出現988，997之類(lèi)的組合，我們可以這么看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個(gè)位數則應該只有9-1-1種可能，最終共有9x8x7個(gè)三位數。計算公式=P(3，9)=9x8x7，(從9倒數3個(gè)的乘積)
Q2：有從1到9共計9個(gè)號碼球，請問(wèn)，如果三個(gè)一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？
A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計算范疇。
上問(wèn)題中，將所有的包括排列數的個(gè)數去除掉屬于重復的個(gè)數即為最終組合數C(3，9)=9x8x7/3x2x1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組。
(1)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；
(2)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加。各有多少種不同方法？
解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數，因此共有種不同方法。
(2)由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法。
點(diǎn)評由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問(wèn)都用乘法原理進(jìn)行計算。
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè)，共3類(lèi)，每一類(lèi)中不同排法可采用畫(huà)“樹(shù)圖”的方式逐一排出：
∴符合題意的不同排法共有9種。
點(diǎn)評按照分“類(lèi)”的思路，本題應用了加法原理。為把握不同排法的規律，“樹(shù)圖”是一種具有直觀(guān)形象的有效做法，也是解決計數問(wèn)題的一種數學(xué)模型。
例3判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？并計算出結果。
(1)高三年級學(xué)生會(huì )有11人：
�、倜�?jì)扇嘶ネㄒ环庑�，共通了多少封信�?/p>
�、诿�?jì)扇嘶ノ樟艘淮问�，共握了多少次手�?/p>
(2)高二年級數學(xué)課外小組共10人：
�、購闹羞x一名正組長(cháng)和一名副組長(cháng)，共有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x2名參加省數學(xué)競賽，有多少種不同的選法？
(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數：
�、購闹腥稳蓚�(gè)數求它們的商可以有多少種不同的商？
�、趶闹腥稳蓚�(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？
(4)有8盆花：
�、購闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x出2盆放在教室有多少種不同的選法？
分析(1)
�、儆捎诿咳嘶ネㄒ环庑�，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；
�、谟捎诿�?jì)扇嘶ノ找淮问�，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題。其他類(lèi)似分析。
(1)①是排列問(wèn)題，共用了封信；
�、谑墙M合問(wèn)題，共需握手(次).
(2)①是排列問(wèn)題，共有(種)不同的選法；
�、谑墙M合問(wèn)題，共有種不同的選法。
(3)①是排列問(wèn)題，共有種不同的商；
�、谑墙M合問(wèn)題，共有種不同的積。
(4)①是排列問(wèn)題，共有種不同的選法；
�、谑墙M合問(wèn)題，共有種不同的選法。
例4證明。
證明左式
右式。
∴等式成立。
點(diǎn)評這是一個(gè)排列數等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。
例5化簡(jiǎn)。
解法一原式
解法二原式
點(diǎn)評解法一選用了組合數公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。
例6解方程：(1)；(2).
解(1)原方程
解得。
(2)原方程可變?yōu)?/p>
∵，
∴原方程可化為。
即，解得
排列組合定義
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數)個(gè)不同的元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列;從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數，用符號 A(n,m)表示。
排列組合公式
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!
C-Combination 組合數
A-Arrangement 排列數
n-元素的總個(gè)數
m-參與選擇的元素個(gè)數
i-階乘
排列組合基本計數原理
加法原理與分布計數法
1、加法原理：做一件事，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
2、第一類(lèi)辦法的方法屬于集合A1，第二類(lèi)辦法的方法屬于集合A2，……，第n類(lèi)辦法的方法屬于集合An，那么完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。
3、分類(lèi)的要求：每一類(lèi)中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù);兩類(lèi)不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類(lèi)不重);完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(lèi)(即分類(lèi)不漏)。
乘法原理與分布計數法
1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1xm2xm3x…xmn種不同的方法。
2、合理分步的要求：任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務(wù);各步計數相互獨立;只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同。
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