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高中橢圓知識點(diǎn)總結
橢圓是一個(gè)數學(xué)的重要考點(diǎn)，但要考的知識點(diǎn)并不是十分的多，下面高中橢圓知識點(diǎn)總結是小編為大家帶來(lái)的，希望對大家有所幫助。
高中橢圓知識點(diǎn)總結
橢圓知識點(diǎn)
1.利用待定系數法求標準方程：
(1)求橢圓標準方程的方法，除了直接根據定義外，常用待定系數法(先定性、后定型、再定參)。
橢圓的標準方程有兩種形式，所謂“標準”，就是橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標軸上，焦點(diǎn)F1、F2的位置決定橢圓標準方程的類(lèi)型，是橢圓的定位條件;參數a、b 決定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件。對于方程x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0若m>n ，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上;若m
(2)當橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標準方程時(shí)，可設方程為x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0 ，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，這種形式在解題中更簡(jiǎn)便。
2.橢圓定義的應用：
平面內一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、F2 的距離之和等于常數2a ，當2a >|F1F2 |時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓;當 2a=|F1F2 |時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2 ;當 2a<|F1F2 |時(shí)，軌跡為存在。
橢圓的幾何性質(zhì)：
(1)設橢圓的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一點(diǎn)為P ，則OP^2=x^2+y^2 ，當x=-a,a時(shí)有最大值 ，這時(shí)P在長(cháng)軸端點(diǎn)A1或A2處。
(2)橢圓上任意一點(diǎn)P 與兩焦點(diǎn)F1F2 ， 構成三角形 稱(chēng)之為焦點(diǎn)三角形，周長(cháng)為2a+2c 。
(3)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構成直角三角形的邊長(cháng)，有a^2=b^2+c^2 。
直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題
在解決有關(guān)橢圓的問(wèn)題時(shí)，要先畫(huà)出圖形，解題時(shí)重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用，將對幾何圖形的研究轉化為對代數式的研究，同時(shí)又要理解代數問(wèn)題的幾何意義。數形結合的思想方法是解析幾何中基本的思想方法。解析幾何的本質(zhì)是用代數研究幾何，如求軌跡方程、范圍問(wèn)題等，幾乎都與函數有關(guān)，實(shí)質(zhì)即將幾何條件(性質(zhì))表示為動(dòng)點(diǎn)坐標(x,y) 的方程或函數關(guān)系。因此，自覺(jué)地運用函數方程的觀(guān)點(diǎn)是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。
橢圓解題技巧
一、設點(diǎn)或直線(xiàn)
做題一般都需要設點(diǎn)的坐標或直線(xiàn)方程，其中點(diǎn)或直線(xiàn)的設法有很多種。其中點(diǎn)可以設為 ,等，如果是在橢圓上的點(diǎn)，還可以設為。一般來(lái)說(shuō)，如果題目中只涉及到唯一一個(gè)橢圓上的的動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以設為 。還要注意的是，很多點(diǎn)的坐標都是設而不求的。對于一條直線(xiàn)，如果過(guò)定點(diǎn)并且不與y軸平行，可以設點(diǎn)斜式 ,如果不與x軸平行，可以設，如果只是過(guò)定點(diǎn)，可以設參數方程，其中α是直線(xiàn)的傾斜角。一般題目中涉及到唯一動(dòng)直線(xiàn)時(shí)可以設直線(xiàn)的參數方程。
二、轉化條件
有的時(shí)候題目給的條件是不能直接用或直接用起來(lái)不方便的，這時(shí)候就需要將這些條件轉化一下。對于一道題來(lái)說(shuō)這是至關(guān)重要的一步，如果轉化得巧，可以極大地降低運算量。比如點(diǎn)在圓上可以轉化為向量點(diǎn)乘得零，三點(diǎn)共線(xiàn)可以轉化成兩個(gè)向量平行，某個(gè)角的角平分線(xiàn)是一條水平或豎直直線(xiàn)則這個(gè)角的兩條邊斜率和是零。
有的題目可能不需要轉化直接帶入條件解題即可，有的題目給的條件可能有多種轉化方式，這時(shí)候最好先別急著(zhù)做題，多想幾種轉化方法，估計一下哪種方法更簡(jiǎn)單。
三、代數運算
轉化完條件就剩算數了。很多題目都要將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立以便使用一元二次方程的韋達定理，但要注意并不是所有題目都是這樣。有的題目可能需要算弦長(cháng)，可以用弦長(cháng)公式，設參數方程時(shí)，弦長(cháng)公式可以簡(jiǎn)化為解析幾何中有時(shí)要求面積，如果O是坐標原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A、B坐標分別為
和，AB與x軸交于D，則(d是點(diǎn)O到AB的距離;第三個(gè)公式是我自己推的，教材上沒(méi)有，解答題慎用)。
解析幾何中很多題都有動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線(xiàn)。如果題目只涉及到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可以考慮用參數設點(diǎn)。若是只涉及一個(gè)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)，題目中又涉及到求長(cháng)度面積之類(lèi)的東西，這時(shí)設直線(xiàn)的參數方程會(huì )簡(jiǎn)單一些。
在解析幾何中還有一種方法叫點(diǎn)差法，設橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的坐標，將兩點(diǎn)在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫縱坐標與這兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的關(guān)系式。
四、能力要求
做解析幾何題，首先對人的耐心與信心是一種考驗。在做題過(guò)程中可能遇到會(huì )一大長(cháng)串的式子要化簡(jiǎn)，這時(shí)候，只要你方向沒(méi)錯，堅持算下去肯定能看到最終的結果。另外運算速度和準確率也是很重要的，在真正考試的時(shí)候肯定不像平時(shí)做題的時(shí)候能容你慢慢做題，因此需要有一定的做題速度，在做題的時(shí)候運算準確也是必須要保證的，因為一旦算錯數，就很可能功虧一簣。
五、理論拓展
這一部分主要說(shuō)一些對做題有幫助的公式、定理、推論等內容關(guān)于直線(xiàn)：
1、將直線(xiàn)的兩點(diǎn)式整理后，可以得到這個(gè)方程:。據此可以直接寫(xiě)出過(guò)和
兩點(diǎn)的直線(xiàn)，至于這兩點(diǎn)連線(xiàn)是否與x軸垂直，是否與y軸垂直都沒(méi)有關(guān)系。對于一些坐標很復雜的點(diǎn)，可以直接代入這個(gè)方程便捷的得到過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)。
2、直線(xiàn)一般式Ax+By+C=0表示的這條直線(xiàn)和向量(A,B)垂直;過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)的一般式可以寫(xiě)為 。根據這兩條推論可以快速地寫(xiě)出兩點(diǎn)的垂直平分線(xiàn)的方程。
關(guān)于橢圓：
3、橢圓
的焦點(diǎn)弦弦長(cháng)為
(其中α是直線(xiàn)的傾斜角，k是l的斜率)。右焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦中點(diǎn)坐標為 ，將橫縱坐標都取相反數可得左焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)坐標。
4、根據橢圓的第二定義，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到同一側的準線(xiàn)的距離之商等于橢圓的離心率。
拓展內容：高中函數知識點(diǎn)總結
一、函數的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被開(kāi)方數大于等于零;
3、對數的真數大于零;
4、指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1;
5、三角函數正切函數y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函數是由實(shí)際意義確定的解析式，應依據自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。
二、函數的解析式的常用求法：
1、定義法;2、換元法;3、待定系數法;4、函數方程法;5、參數法;6、配方法
三、函數的值域的常用求法：
1、換元法;2、配方法;3、判別式法;4、幾何法;5、不等式法;6、單調性法;7、直接法
四、函數的最值的常用求法：
1、配方法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單調性法
五、函數單調性的常用結論：
1、若f(x),g(x)均為某區間上的增(減)函數，則f(x)+g(x)在這個(gè)區間上也為增(減)函數
2、若f(x)為增(減)函數，則-f(x)為減(增)函數
3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則f[g(x)]是增函數;若f(x)與g(x)的單調性不同，則f[g(x)]是減函數。
4、奇函數在對稱(chēng)區間上的單調性相同，偶函數在對稱(chēng)區間上的單調性相反。
5、常用函數的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。
六、函數奇偶性的常用結論：
1、如果一個(gè)奇函數在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個(gè)函數y=f(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)=0(反之不成立)
2、兩個(gè)奇(偶)函數之和(差)為奇(偶)函數;之積(商)為偶函數。
3、一個(gè)奇函數與一個(gè)偶函數的積(商)為奇函數。
4、兩個(gè)函數y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數，只要其中有一個(gè)是偶函數，那么該復合函數就是偶函數;當兩個(gè)函數都是奇函數時(shí)，該復合函數是奇函數。
5、若函數f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則f(x)可以表示為f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數和一個(gè)偶函數的和。
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