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導數在經(jīng)濟中應用的論文
【摘要】導數在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應用非常廣泛,特別是在微觀(guān)經(jīng)濟學(xué)中有很多具體的例子。掌握導數的基本概念和經(jīng)濟中常見(jiàn)函數的概念非常重要,把經(jīng)濟學(xué)中很多現象進(jìn)行分析,歸納到數學(xué)領(lǐng)域中,用我們所學(xué)的數學(xué)知識進(jìn)行解答,對很多經(jīng)營(yíng)決策者起了非常重要的作用。
【關(guān)鍵詞】導數;變化率;邊際;邊際分析
高等數學(xué)的主要內容是微積分,微分學(xué)則是微積分的重要組成部分,而導數又是微分學(xué)中的基本概念之一,所以學(xué)習導數的概念并熟練掌握導數的應用尤為重要。導數的應用范圍頗為廣泛,比如在物理學(xué)中的應用,在工程技術(shù)上的應用,在經(jīng)濟學(xué)中的應用等等,今天我們就導數在經(jīng)濟中的應用略做討論。
一、導數的概念
從數量關(guān)系而言,導數反映函數的自變量在變化時(shí),相應的函數值變化的快慢程度——變化率(瞬時(shí)變化率)。從數學(xué)表達式而言,研究的是函數的增量與自變量的增量比的極限問(wèn)題。
函數y=f(x)在某一點(diǎn)x0的導數表達式如下:
若函數y=f(x)在某區間內每一點(diǎn)都可導,則稱(chēng)y=f(x)在該區間內可導,記f′(x)為y=f(x)在該區間內的可導函數(簡(jiǎn)稱(chēng)導數),表達式如下:
二、經(jīng)濟中常用的函數
導數在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應用,主要是研究在這一領(lǐng)域中出現的一些函數關(guān)系,因此必須了解一些經(jīng)濟分析中常見(jiàn)的函數。
。ㄒ唬﹥r(jià)格函數
一般說(shuō)來(lái),價(jià)格是銷(xiāo)售量的函數。生活中隨處可見(jiàn),買(mǎi)的東西越多,消費者砍價(jià)的幅度就可以大些。例如:某批發(fā)站批發(fā)1000只杯子給零售商,批發(fā)定價(jià)是20元,若批發(fā)商每次多批發(fā)200只杯子,相應的批發(fā)價(jià)格就降低1元,現在批發(fā)站杯子的存貨只有2000只,最小的銷(xiāo)量是1000只,求價(jià)格函數。
。ǘ┬枨蠛瘮
作為市場(chǎng)上的一種商品,其需求量受到很多因素影響,如商品的市場(chǎng)價(jià)格、消費者的喜好等.為了便于討論,我們先不考慮其他因素,假設商品的需求量?jì)H受市場(chǎng)價(jià)格的影響。即
Q=f(p)
其Q中表示商品需求量,p表示商品市場(chǎng)價(jià)格。
例如:某廠(chǎng)家從促進(jìn)消費的需求考慮,對某空調的價(jià)格從3000元/臺降到2500元/臺,相應的需求量從3000臺增到5000臺,求需求函數。
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成本包括固定成本和變動(dòng)成本兩類(lèi).固定成本是指廠(chǎng)房、設備等固定資產(chǎn)的折舊、管理者的固定工資等,記為C0。變動(dòng)成本是指原材料的費用、工人的工資等,記為C1。這兩類(lèi)成本的總和稱(chēng)為總成本,記為C,即
C=C0+C1
假設固定成本不變(C0為常數),變動(dòng)成本是產(chǎn)量q的函數(C1=C1(q)),則成本函數為C=C(q)=C0+C1(q)。
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在商業(yè)活動(dòng)中,一定時(shí)期內的收益,就是指商品售出后的收入,記為R.銷(xiāo)售某商品的總收入取決于該商品的銷(xiāo)售量和價(jià)格。因此,收入函數為
R=pq
其中q表示銷(xiāo)售量,p表示價(jià)格。
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利潤是指收入扣除成本后的剩余部分,記為L(cháng).
L=R-C
其中R表示收入,C表示成本。
總收入減去變動(dòng)成本稱(chēng)為毛利潤,再減去固定成本稱(chēng)為純利潤。
三、導數在經(jīng)濟分析中的應用舉例
導數是函數關(guān)于自變量的變化率,在經(jīng)濟學(xué)中,也存在變化率的問(wèn)題,因此我們可以把微觀(guān)經(jīng)濟學(xué)中的很多問(wèn)題歸結到數學(xué)中來(lái),用我們所學(xué)的導數知識加以研究并解決。
在此我們就經(jīng)濟學(xué)中的邊際和邊際分析問(wèn)題加以稍作討論。
邊際概念表示當x的改變量△x趨于0時(shí)y的相應改變量△y與△x的比值的變化,即當x在某一給定值附近有微小變化時(shí)y的瞬時(shí)變化。
若設某經(jīng)濟指標y與影響指標值的因素x之間成立函數關(guān)系式y=f(x),則稱(chēng)導數f′(x)為f(x)的邊際函數,記作My。隨著(zhù)y,x含義不同,邊際函數的含義也不一樣。
設生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數為C=C(q),則稱(chēng)MC=C′(q)為邊際成本。邊際成本的經(jīng)濟含義是:當產(chǎn)量為q時(shí),再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本為C′(q)。
類(lèi)似可定義其它概念,如邊際收入,邊際產(chǎn)量,邊際利潤,邊際銷(xiāo)量等等。
經(jīng)濟活動(dòng)的目的,除了考慮社會(huì )效益,對于一個(gè)具體的公司,決策者更多的是考慮經(jīng)營(yíng)的成果,如何降低成本,提高利潤等問(wèn)題。
例1某種產(chǎn)品的總成本C(萬(wàn)元)與產(chǎn)量q(萬(wàn)件)之間的函數關(guān)系式(即總成本函數)為
C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3
求生產(chǎn)水平為q=10(萬(wàn)件)時(shí)的平均成本和邊際成本,并從降低成本角度看,繼續提高產(chǎn)量是否合適?
解當q=10時(shí)的總成本為
C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130(萬(wàn)元)
所以平均成本(單位成本)為C(10)÷10=130÷10=13(元/件)
邊際成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2
MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3(元/件)
因此在生產(chǎn)水平為10萬(wàn)件時(shí),每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加3元,遠低于當前的單位成本,從降低成本角度看,應該繼續提高產(chǎn)量。
例2某公司總利潤L(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量q(噸)之間的函數關(guān)系式(即利潤函數)為L(cháng)=L(q)=2q-0.005q2-150
試求每天生產(chǎn)150噸,200噸,350噸時(shí)的邊際利潤,并說(shuō)明經(jīng)濟含義。
解邊際利潤ML=L′(q)=2-0.01q
ML│q=150=2-0.01×150=0.5;
ML│q=200=2-0.01×200=0;
ML│q=350=2-0.01×350=-1.5
從上面的結果表明,當日產(chǎn)量在150噸時(shí),每天增加1噸產(chǎn)量可增加總利潤0.5萬(wàn)元;當日產(chǎn)量在200噸時(shí),再增加產(chǎn)量,總利潤已經(jīng)不會(huì )增加;而當日產(chǎn)量在350噸時(shí),每天產(chǎn)量再增加1噸反而使總利潤減少1.5萬(wàn)元,由此可見(jiàn),該公司應該把日產(chǎn)量定在200噸,此時(shí)的總利潤最大為:L(25)=2×200-0.005×2002-150=50(萬(wàn)元)
從上例可以發(fā)現,公司獲利最大的時(shí)候,邊際利潤為零。
例3某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數和收入函數依次為,C(q)=3000+200q+(1/5)q2,R(q)=350q+(1/20)q2,其中q為產(chǎn)品的月產(chǎn)量,每月的產(chǎn)品均能全部銷(xiāo)完,求利潤最大的月產(chǎn)量應為多少?
解L(q)=R(q)-C(q)
=350q+(1/20)q2-3000-200q-(1/5)q2
=150q+(3/20)q2-3000(q>0)
L′(q)=150-(3/10)q
令L′(q)=0,得q=500
列表考查
由表格可以看出在(0,+∞)內只有一個(gè)極大值點(diǎn),且L(q)是一個(gè)二次函數,根據生活中的實(shí)際規律可得,它就是最大值點(diǎn)。
所以,當月產(chǎn)量為500生產(chǎn)單位時(shí),利潤最大。
從上例我們可以證明,利潤最大的必要條件是邊際收入等于邊際成本。
即由L′(q)=0,且L(q)-C(q)
得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0,即R′(q)=C′(q),
MR=MC
例4某企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中需使用某種原材料。到外地采購一次這種原材料,要開(kāi)銷(xiāo)采購人員的工資、旅差費、手續費、運輸費、檢驗費等,但每次采購的總的采購費用基本相同。原材料被采購回來(lái)后,除了被使用外,存放在倉庫里,要開(kāi)銷(xiāo)保管費用,保管費用通常是采購批量、采購價(jià)格、保管費率三者乘積的一半,試求總費用最小的采購批量。
解設每年使用原材料的總量為Q,每次采購的批量為q,每次采購費用為k,則年采購次數為(Q/q),每年的采購費用為(Q/q)×k。
又設該原材料的價(jià)格為p,保管費率是i,則庫存費用為(1/2)·q·p·i,因此總費用為
C(q)=(Q/q)·k+(1/2)·q·p·i
求導得C′(q)=-(Q/q)·k+(1/2)p·i,令C′(q)=0,得。
這是所求的唯一值,根據生活的實(shí)際情況定有最小值,這唯一的點(diǎn)就是最小值點(diǎn),所以當每次采購批量為時(shí),總費用最小。
上例的結果,是理想化的瞬時(shí)送貨的最佳庫存模型,這個(gè)模型被廣泛地應用于生產(chǎn)實(shí)際。
下面我們看實(shí)際的例子。
例5某企業(yè)生產(chǎn)使用某原材料100噸/年,每次采購的費用是1000元,每噸原材料的年庫存費(材料價(jià)格與保管費率之積)為500元,如果材料消耗是均勻的,問(wèn)應分幾批采購,使總費用最?
解設每次采購原材料q噸,則總費用為
C(q)=(100/q)·1000+(1/2)·q·500
C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500
令C′(q)=0,得(噸)
所以q=20當時(shí),即每年分(100/20)=5(次)時(shí),總費用最小。
以上本人就導數在微觀(guān)經(jīng)濟學(xué)中的邊際問(wèn)題進(jìn)行了討論,導數在經(jīng)濟學(xué)中的應用頗為廣泛,不僅此而已。從上面的例子可以看出,導數對于在經(jīng)濟學(xué)中邊際問(wèn)題的分析尤為重要,通過(guò)邊際問(wèn)題的分析,對于企業(yè)的決策者作出正確的決策起了十分重要的作用!
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