大學(xué)本科畢業(yè)論文數學(xué)開(kāi)題報告

　　論文(設計)題目：凸函數的定義及其在最優(yōu)化問(wèn)題中的應用

　　本選題的依據：1)說(shuō)明本選題的研究意義和應用價(jià)值

　　2)簡(jiǎn)述本選題的研究現狀和自己的見(jiàn)解

　　(1)本選題的內容

　　凸函數是一種性質(zhì)特殊的函數，在數學(xué)領(lǐng)域中有廣泛的應用;凸函數在線(xiàn)性規劃與非線(xiàn)性規劃及運籌學(xué)最優(yōu)化問(wèn)題中都被作為重要的基礎概念，本選題的主要內容是探究凸函數這個(gè)性質(zhì)特殊的函數的各種定義及在不同定義下所反映出的幾何意義，并進(jìn)一步探究凸函數在不同學(xué)科上的應用。

　　(2)本選題的研究現狀

　　在任何一種高等數學(xué)教材中都介紹凸函數，它在最優(yōu)化理論、數理經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都有著(zhù)廣泛的應用，先給出凸集的定義，借助凸集來(lái)引入凸函數的幾何直觀(guān)性定義[1]，并借此給出凸函數的解析式定義，進(jìn)行一系列的分析、類(lèi)比、歸納，接著(zhù)用實(shí)例說(shuō)明用凸函數解決實(shí)際問(wèn)題的重要意義。

　　(3)本選題主要是首先歸納總結出凸函數通常使用的七種等價(jià)定義，這些定義形式各不相同，條件有強有弱，本文中對對它們的強弱關(guān)系進(jìn)行了研究。接著(zhù)用一些實(shí)例來(lái)證明凸函數在不同學(xué)科當中的運用。

　　(4)本選題探究到凸函數的各種定義以及在不同定義下所反映出的幾何意義，并進(jìn)一步探究了凸函數在不同學(xué)科上的應用，使我們在處理某些問(wèn)題時(shí)更加巧妙，靈活，更簡(jiǎn)潔。本文所述內容使我們能夠快速獲取大量有關(guān)凸函數的重要內容，從而使解決一類(lèi)特別繁雜不等式證明、最優(yōu)化等問(wèn)題變的別出一格。

　　研究的主要內容：

　　先給出凸集的定義，借助凸集來(lái)引入凸函數的幾何直觀(guān)性定義，借此又給出凸函數的解析式定義，總結出通常使用的七種等價(jià)條件來(lái)定義凸函數，并對它們的條件的強弱關(guān)系進(jìn)行了研究。

　　接著(zhù)以凸函數理論為出發(fā)點(diǎn)，以著(zhù)名的Jensen不等式為基礎，給出其在最優(yōu)化問(wèn)題中的實(shí)際應用舉例。

　　主要研究方法：歸納法 類(lèi)比法

　　主要參考資料：

　　[1] 史樹(shù)中，凸分析，上海：上�？茖W(xué)技術(shù)出版社，1990.

　　[2] 張光澄，非線(xiàn)性最優(yōu)化計算方法，北京：高等教育出版社，2005.

　　[3] 裴禮文，數學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法，北京：高等教育出版社，1993.

　　[4] 鄧衛兵，凸函數與不等式，哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005.5.112-113

　　[5] 沈燮昌，邵品琮.數學(xué)分析縱橫談[M]。北京：北京大學(xué)，1999.

　　[6] 胡雁軍，數學(xué)分析的證題方法與難題選解[M]。鄭州：河南大學(xué)出版社，1987.

　　[7] 吳祈宗，運籌學(xué)與最優(yōu)化方法，北京：機械工業(yè)出版社，2005.

　　[8] 胡運權，單純型法中凸集與凸函數，書(shū)中第18頁(yè)《運籌學(xué)教程》北京：清華大學(xué)出版社，1998.

　　[9] Clarke F.H.,Optimization and nonsmooth analysis,Wiley-Interscience,New York,1983.

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