以“情”優(yōu)教，以“景”促學(xué)

摘要：由于受傳統教學(xué)的影響，數學(xué)概念教學(xué)存在很多誤區。概念教學(xué)要走出誤區，教師就要轉變觀(guān)念，創(chuàng )造性地設置情境引入概念，提高高中生學(xué)習數學(xué)概念的興趣、培養學(xué)生的問(wèn)題意識和提高學(xué)生的概括能力、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習方式的轉變。 
關(guān)鍵詞：數學(xué)概念教學(xué)；情景創(chuàng )設；途徑
        數學(xué)概念是學(xué)習數學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認知的基礎，是學(xué)生進(jìn)行數學(xué)思維的核心，在數學(xué)學(xué)習與教學(xué)中具有重要的地位。長(cháng)期以來(lái)，在現實(shí)教學(xué)中，為了省事，方便自己的教，或是為了應試節省時(shí)間，許多教師并沒(méi)有考慮如何創(chuàng )設情境來(lái)引入概念，更多地是反復用習題去強化，用記憶去鞏固。這種重機械灌輸輕教學(xué)情境設置的模式，使學(xué)生處于被動(dòng)地學(xué)習狀態(tài)之中。
        充分利用數學(xué)概念的背景材料和自身的特點(diǎn)，創(chuàng )設生動(dòng)的概念教學(xué)的情境，是高中數學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù)，不僅使學(xué)生容易掌握數學(xué)知識和技能，而且可以“以境生情”，使學(xué)生更好地體驗概念教學(xué)中的情感，提高數學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量和效率。因此，在概念教學(xué)中，教師如何創(chuàng )造性地設置情境引入概念是關(guān)鍵。一個(gè)新、巧、活的設計，不僅能集中學(xué)生的注意力，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，而且能使學(xué)生很快進(jìn)入數學(xué)思維的狀態(tài)中，幫助他們去“發(fā)現”或“創(chuàng )造”概念，從而獲得良好的學(xué)習效果。
        綜合國內學(xué)者和一線(xiàn)教師對創(chuàng )設情境的途徑的研究以及我們的思考來(lái)看，高中數學(xué)概念教學(xué)中情境創(chuàng )設的主要途徑有以下幾種：
        一、由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng )設歸納發(fā)現的情境
        有些數學(xué)概念是已有概念的擴充，若能揭示概念的擴充規律，便可以水到渠成地引入新概念。
        案例：復數概念的教學(xué)
        先回顧以前的幾次數集擴充的事實(shí)：正整數，自然數，非負有理數，有理數，實(shí)數，然后教師提出以下問(wèn)題：(1)上述數集擴充的原因及其規律如何？實(shí)際問(wèn)題的需要使得在已有的數集內有些運算無(wú)法進(jìn)行，數集的擴充過(guò)程體現了如下規律：
        ① 每次擴充都增加規定了新元素；
        ② 在原數集內成立的運算規律，在數集擴充后的更大范圍內仍然成立；
        ③ 擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問(wèn)題。
        有了上述準備后，教師提出問(wèn)題：負數不能開(kāi)平方的事實(shí)說(shuō)明實(shí)數集不夠完善，因而提出將實(shí)數集擴充為一個(gè)更為完整的數集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？
        (2)借鑒上述規律，為了擴充實(shí)數集，引入新元素i，并作兩條規定。（略）這樣學(xué)生對i的引入不會(huì )感到疑惑，對復數集概念的建立也不會(huì )覺(jué)得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎。
        這類(lèi)數學(xué)概念形成的情境創(chuàng )設的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴充發(fā)展的背景及其規律，從而引發(fā)新的數學(xué)概念的產(chǎn)生。
        二、回顧已有相似概念，創(chuàng )設類(lèi)比發(fā)現的情境
        數學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學(xué)，教師可先引導學(xué)生研究已學(xué)過(guò)的概念屬性，然后創(chuàng )設類(lèi)比發(fā)現的情境，引導學(xué)生去發(fā)現，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認知結構中得以同化與構建。
        案例：對數概念的教學(xué)
        (1)創(chuàng )設情境：隨著(zhù)經(jīng)濟改革的對外開(kāi)放，……假如說(shuō)，國內生產(chǎn)總值每年平均增長(cháng)率是8%。請問(wèn)經(jīng)過(guò)多少年，國內生產(chǎn)總值是2003年的2倍？
        你能列出什么樣的式子？這個(gè)方程是否有解？
        (2)類(lèi)比階段：看幾個(gè)與指數函數有關(guān)的方程：
        (1)  2x=4     (2)  2x=1 2     (3)  2x=2     (4)  2x=3
        這幾個(gè)方程未知數都位于指數位置。這幾個(gè)方程是否有解？把它們“如何表示”出來(lái)?
        (3)啟迪發(fā)現階段：這些x，它們都是確定的，但用我們已經(jīng)學(xué)習過(guò)的數又表示不出來(lái)，怎么辦？                         
        大家想一下，我們曾經(jīng)有沒(méi)有遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題？                                             如1÷3，除不盡   ；x2=2,  x= ?    ；圓周率3.1415967… ，現在遇到2x=3，x= ? 怎么辦？可以用一個(gè)什么符號表示呢？很自然地引出對數的符號表示，給出對數的概念。
        以上通過(guò)引導學(xué)生研究幾個(gè)方程的未知數都位于指數位置上的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(cháng)點(diǎn)”，以類(lèi)比方法獲得對數的概念，學(xué)生覺(jué)得這一概念是已有概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復數的模與實(shí)數的絕對值類(lèi)比、二次方程與一次方程的類(lèi)比、空間的二面角與平面角類(lèi)比等等。
        這類(lèi)數學(xué)概念形成的情境創(chuàng )設一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數學(xué)概念的形成提供必要的“認知基礎”，通過(guò)與熟悉的概念類(lèi)比（類(lèi)比的形式多樣，如平面與空間的類(lèi)比、高維與低維的類(lèi)比、有限與無(wú)限的類(lèi)比，還有方法類(lèi)比、結構類(lèi)比、形式類(lèi)比等等），可使學(xué)生更好地認識、理解、掌握新的數學(xué)概念。當然要注意類(lèi)比得出的結論不一定正確，應引導學(xué)生修正錯誤的類(lèi)比設想，直到得出正確結果。
        三、聯(lián)想相關(guān)數學(xué)概念，創(chuàng )設引發(fā)猜想的情境
        許多數學(xué)概念間存在著(zhù)一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設計成問(wèn)題情境，引導學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。
        案例：異面直線(xiàn)所成角概念的教學(xué) 
        (1)展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請學(xué)生觀(guān)察圖中有幾對異面直線(xiàn)？接著(zhù)提問(wèn)：從位置關(guān)系看，同為異面直線(xiàn)，但它們的相對位置，是否就沒(méi)有區別？教師緊接著(zhù)說(shuō)：既然有區別，說(shuō)明僅用“異面”來(lái)描述異面直線(xiàn)間的相對位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線(xiàn)間的這種相對位置，或者說(shuō)，引進(jìn)一些什么數量來(lái)刻劃這種相對位置？
        (2)情境設計階段：我們知道平面幾何中用“距離”來(lái)刻劃兩平行直線(xiàn)間的相對位置，用“角”來(lái)刻劃兩相交直線(xiàn)間的相對位置，那么用什么來(lái)刻劃兩異面直線(xiàn)的相對位置呢？我們還知道兩異面直線(xiàn)不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同的問(wèn)題，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來(lái)度量異面直線(xiàn)的相對傾斜程度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們研究一道題：一張紙上畫(huà)有兩條能相交的直線(xiàn)ａ、ｂ（但交點(diǎn)在紙外），現給你一副三角板和量角器，不許拼接紙片，不許延長(cháng)紙上的線(xiàn)段，問(wèn)如何能量出ａ、ｂ所成的角的大��？
        (3)猜想發(fā)現階段：解決上述問(wèn)題的方法是過(guò)一點(diǎn)分別作a,b的平行線(xiàn)，該方法能否遷移到兩異面直線(xiàn)的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線(xiàn)的傾斜程度可轉化為平面內兩條相交直線(xiàn)的角（即過(guò)一點(diǎn)分別作a、b的平行線(xiàn)，這兩條平行線(xiàn)所成的角）。
        這類(lèi)數學(xué)概念的問(wèn)題情景創(chuàng )設一定要抓住新、舊數學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng )設適當的固著(zhù)點(diǎn)，使其孕育新的數學(xué)概念的形成。
        四、提供感性材料，創(chuàng )設有趣的問(wèn)題情境
        案例：等比數列概念的教學(xué) 
        創(chuàng )設如下有趣的問(wèn)題情境引入等比數列的概念：
        阿基里斯(希臘神話(huà)中的善跑英雄)和烏龜賽跑，烏龜在前方1公里處，阿基里斯的速度是烏龜的10倍，當阿基里斯跑完1公里時(shí)，烏龜已從1公里處向前爬了0.1公里；當阿基里斯跑完這0.1公里時(shí)，烏龜又向前爬了0.01公里；當阿基里斯又跑完這0.01公里時(shí)，烏龜又向前爬了0.001公里……        (1)分別寫(xiě)出相同的各段時(shí)間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程；
        (2)阿基里斯能否追上烏龜?
        讓學(xué)生觀(guān)察這兩個(gè)數列的特點(diǎn)引出等比數列的定義，學(xué)生興趣十分濃厚，很快就進(jìn)入了主動(dòng)學(xué)習的狀態(tài)。
        有些數學(xué)概念可以通過(guò)學(xué)生自己操作的實(shí)驗或通過(guò)多媒體演示讓學(xué)生領(lǐng)悟數學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、探索反思中掌握數學(xué)概念。
        案例：函數單調性概念的教學(xué) 
        (1)創(chuàng )設情境：用多媒體技術(shù)設計函數變化的動(dòng)態(tài)勢，讓學(xué)生對圖像的各種變化以及相關(guān)聯(lián)的方面得到充分感知。情境中包括若干個(gè)函數的圖像：一次函數、簡(jiǎn)單二次函數，某地某日全天氣溫變化圖等。其中有：圖像上升或下降的運動(dòng)，x軸上兩點(diǎn)及其對應函數圖形位置變化的比較，某單調區間內x與f(x)對應數值表等。所展示的函數圖像中各種變化應盡量體現函數單調性的各種本質(zhì)特征，使學(xué)生能夠通過(guò)情境的感知，獲得豐富的表象和信息，產(chǎn)生眾多的聯(lián)想。
        (2)刺激階段：向學(xué)生展示函數圖像動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，讓學(xué)生充分地觀(guān)察各個(gè)函數圖像的變化，并組織學(xué)生討論。圖形演示次數可多一些，語(yǔ)言解釋可盡量少一些，尤其是那些需要學(xué)生自己發(fā)現的特點(diǎn)一定要留給學(xué)生，讓學(xué)生自己觀(guān)察思考。這樣做不僅是體現數學(xué)建構主義學(xué)習的主要特征，而且可以培養觀(guān)察、聯(lián)想、比較、分析、綜合、抽象、概括的一般思維方法，體驗和感悟數學(xué)思維方法的精神。 
         
        (圖1)某地某天氣溫變化  (圖2) y=x+2   (圖3) y= x2      (圖4) y=x2在(0, +∞)取值。
        (3)辨析階段：在觀(guān)察以上幾個(gè)函數圖像動(dòng)態(tài)變化的基礎上，對它們進(jìn)行多方位的比較，進(jìn)而分析每個(gè)圖像各自的特點(diǎn)，從中尋找它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。
        認知心理學(xué)的研究表明，一個(gè)人是通過(guò)外部線(xiàn)索(刺激或某些特點(diǎn))與內部的中介過(guò)程(含義、思想或觀(guān)念)之間的聯(lián)結而形成知覺(jué)和概念的。在創(chuàng )設函數單調性教學(xué)的情境里，不同“函數圖像”和“函數圖像的變化態(tài)勢”都是外部刺激，圖像的動(dòng)態(tài)變化把這些需要學(xué)生認識的特點(diǎn)突顯出來(lái)，從而使這些外部刺激及其所引起的相應的一段區間上或‘上升’或‘下降’”的含義、概念，通過(guò)知覺(jué)的內部神經(jīng)過(guò)程或大腦活動(dòng)過(guò)程而聯(lián)結起來(lái)，一步一步向著(zhù)情境設計的目標接近，最終達到所期望的目標。
        數學(xué)概念教學(xué)中情境創(chuàng )設的系統理論研究，需要較長(cháng)的時(shí)間，也需要更多的人來(lái)參與，尤其是教育專(zhuān)家。本文所做的工作只是一個(gè)嘗試性的開(kāi)頭。但是，不管怎樣，通過(guò)創(chuàng )設合理、恰當的情境一定會(huì )有如下的肯定結果：提高學(xué)生學(xué)習數學(xué)概念的興趣，培養學(xué)生的問(wèn)題意識和提高學(xué)生的概括能力，促進(jìn)學(xué)生改變學(xué)習方式，轉變教師教學(xué)觀(guān)念。
參考文獻：
[1]陳熙.高中體驗式問(wèn)題情景創(chuàng )設的實(shí)踐研究[J].上海中學(xué)數學(xué)，2006(4).
[2]莊科.教學(xué)過(guò)程中的創(chuàng )設情境[J].數學(xué)通報,2005(10).
Abstract: Because of the influences of traditional teaching, there are many misunderstanding in mathematics concept teaching. In order to step off misunderstanding, teachers must change idea and creatively apply situation to introduce concept, thus to improve senior high school students’ interest of learning mathematics concept, cultivate students’ questioning awareness and improve students’ abstract ability and promote students’ change in learning methods.
Key words: mathematics concept teaching; situation creation; ways

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