淺析非線(xiàn)性系統混沌現象研討論文
編者按：本文主要從引言；混沌電路；EWB仿真分析；硬件電路調試；結束語(yǔ)進(jìn)行論述。其中，主要包括：非線(xiàn)性系統的性能是復雜多變的、混沌是非線(xiàn)性動(dòng)力系統在一定參數條件下產(chǎn)生的對初始條件具有敏感依賴(lài)性的隨機運動(dòng)、電路理論分析、混沌現象在非線(xiàn)性電路中也普遍存在、二階或二階以上的強制系統、至少有一個(gè)非線(xiàn)性器件、構造非線(xiàn)性電阻電路、用EWB(ElectronicsWorkbench)軟件對圖3電路進(jìn)行計算機模擬仿真分析、電路中電容電壓和電感電流出現類(lèi)似噪聲的無(wú)規則振蕩、示波器屏上可觀(guān)察到一條直線(xiàn)、利用這個(gè)電路,還可以觀(guān)察到周期性窗口、混沌現象不僅存在于電路中等，具體請詳見(jiàn)。
1引言
非線(xiàn)性系統的性能是復雜多變的。長(cháng)期以來(lái),人們對非線(xiàn)性電路中的平衡狀態(tài)和周期振蕩狀態(tài)研究較為充分,取得了許多有用的結果。直到40多年前的一次重要模擬結果出現后,使非線(xiàn)性領(lǐng)域的研究進(jìn)入了新紀元。1963年,美國麻省理工學(xué)院著(zhù)名的氣象學(xué)家洛倫茲(E.N.Lorenz)在研究一個(gè)氣象學(xué)模型時(shí),發(fā)現了異常的情況。洛倫茲經(jīng)過(guò)長(cháng)時(shí)間反復地在計算機上試驗,其結果都是一樣與經(jīng)典認識不同。它的特點(diǎn)是響應一直出現類(lèi)似隨機的振蕩,狀態(tài)軌跡在一個(gè)區域內永不重復地運動(dòng)著(zhù),這一現象后來(lái)被稱(chēng)之為混沌[1][2]。
混沌是非線(xiàn)性動(dòng)力系統在一定參數條件下產(chǎn)生的對初始條件具有敏感依賴(lài)性的隨機運動(dòng)�；煦邕\動(dòng)的根本原因是運動(dòng)方程的非線(xiàn)性;混沌運動(dòng)具有內在隨機性,對初值非常敏感,若兩次運動(dòng)的初值有微小差別,長(cháng)時(shí)間后兩次運動(dòng)會(huì )出現較大的、無(wú)法預知的偏差�；煦绗F象是自然界的普遍現象,也是非線(xiàn)性系統所特有的復雜狀態(tài)。
2混沌電路
2.1電路理論分析
混沌現象在非線(xiàn)性電路中也普遍存在,電路呈現混沌現象,原則上應考慮兩個(gè)條件[3][4]:
(1)二階或二階以上的強制系統;三階或三階以上的自治系統;
(2)至少有一個(gè)非線(xiàn)性器件。
圖1所示的三階自治電路由四個(gè)線(xiàn)性元件(兩個(gè)電容、一個(gè)電感、一個(gè)線(xiàn)性電阻)和一個(gè)非線(xiàn)性電阻所組成。
2.2構造非線(xiàn)性電阻電路
非線(xiàn)性電阻的部分可以用運算放大器做成負阻抗電路,且當大于某一電壓值時(shí),運算放大器開(kāi)始飽和,將兩個(gè)這樣的運算放大器并聯(lián),就可以得到伏安曲線(xiàn)為圖2的非線(xiàn)性電阻,完成的電路如圖3所示。
3EWB仿真分析
用EWB(ElectronicsWorkbench)軟件對圖3電路進(jìn)行計算機模擬仿真分析。這里取C1=0.3474uF,C2=0.0155uF,L1=11.0534mH,R1=13.9596Ω,R2=218Ω,R3=374.1Ω,R4=2.19kΩ,R5=3.0811kΩ,R6=18.596kΩ,R7=21.7kΩ,代入非線(xiàn)性電阻的分段線(xiàn)性特性方程中。通過(guò)改變不同的W1的值,可得不同的狀態(tài)軌跡,W1=1.14kΩ處的狀態(tài)軌跡如圖4所示,C2、C1兩端的電壓時(shí)域波形分別如圖5、圖6所示。
結果顯示,電路中電容電壓和電感電流出現類(lèi)似噪聲的無(wú)規則振蕩,它是一種有界的穩態(tài)過(guò)程,其狀態(tài)平面上的軌跡按某種內在規律永不重復地穿來(lái)穿去,這種類(lèi)似“蝴蝶”形狀的圖形稱(chēng)為混沌吸引子�；煦缥佑址Q(chēng)奇怪吸引子,它是混沌運動(dòng)中特有的,具有復雜的拉伸、折疊和伸縮的結構,使得按指數規律發(fā)散的系統保持在有限的空間內,即一切位于吸引子之外的運動(dòng)都向吸引子靠攏,對應著(zhù)穩定的方向;而一切到達吸引子內部的運動(dòng)都相互排斥,對應著(zhù)不穩定的方向。
在計算機模擬分析時(shí),如果改變一下初始狀態(tài),其響應將發(fā)生重大變化,這是因為混沌運動(dòng)對初始狀態(tài)非常敏感。
4硬件電路調試
按圖3電路制成印刷電路板,考慮到元器件參數的標稱(chēng)值,實(shí)際電路中取C1=0.33uF,C2=0.015uF,L1=10mH,R1=5.1Ω,R2=220Ω,R3=390Ω,R4=2.2kΩ,R5=3kΩ,R6=18kΩ,R7=22kΩ,固定電壓正負5V。將輸出端信號S2-OUT、S1-OUT分別接到示波器的CH1、CH2探頭,工作方式選擇X-Y方式。將W1調到最小,示波器屏上可觀(guān)察到一條直線(xiàn),調節W1,直線(xiàn)變成橢圓,到某一位置,增大示波器的倍率,反向微調W1,可見(jiàn)曲線(xiàn)開(kāi)始作倍周期變化,曲線(xiàn)由一周期增至二周期,由二周期增至四周期,……,直至一系列難以計數的無(wú)首尾的環(huán)狀曲線(xiàn),這是一個(gè)單渦旋吸引子集。繼續微調W1,單吸引子突然變成了雙吸引子,只見(jiàn)環(huán)狀曲線(xiàn)在兩個(gè)向外渦旋的吸引子之間不斷填充與跳躍,這就是混沌吸引子,它的特點(diǎn)是整體上的穩定性和局部上的不穩定性同時(shí)存在。微調W1使其在1.1kΩ左右時(shí),電路進(jìn)入混沌狀態(tài),用示波器觀(guān)察到的實(shí)際特性與計算機分析的結果非常接近。
利用這個(gè)電路,還可以觀(guān)察到周期性窗口。仔細調節W1,原先的混沌吸引子突然出現了一個(gè)三周期圖像,繼續微調W1,又出現了混沌吸引子,這一現象稱(chēng)為出現了周期性窗口。
以上結果表明,在非線(xiàn)性電路中出現這種特性的混沌振蕩具有深刻的理論價(jià)值,它改變了人們許多傳統認識。經(jīng)典理論主要是以線(xiàn)性、對稱(chēng)、可逆、有序、穩定為基礎,產(chǎn)生了非常規律性的結果。而現代理論卻以非線(xiàn)性、非對稱(chēng)、不可逆、無(wú)序、不穩定為特征,演化出了非常奇特的運動(dòng)機理,混沌就是這類(lèi)典型代表。
5結束語(yǔ)
混沌現象不僅存在于電路中,在地震、氣象、機械、化學(xué)、控制、生理等領(lǐng)域中都會(huì )出現,混沌現象的研究和應用已經(jīng)形成了一門(mén)新的科學(xué),研究涉及的領(lǐng)域包括數學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)及工程技術(shù)的眾多學(xué)科,并且對這些學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響�；煦绨奈锢韮热莘浅V泛,研究這些內容更需要深入的數學(xué)理論,如微分動(dòng)力學(xué)理論、拓撲學(xué)、分形幾何學(xué)等等。目前混沌的研究重點(diǎn)已轉向多維動(dòng)力學(xué)系統中的混沌、量子及時(shí)空混沌、混沌的同步及控制等方面。
參考文獻
[1]E.N.洛倫茲.混沌的本質(zhì)[M].北京:氣象出版社,1997.
[2]詹姆斯格萊克.混沌開(kāi)創(chuàng )新科學(xué)[M].上海:上海譯文出版社,1990.
[3]高金峰.非線(xiàn)性電路與混沌[M].北京:科學(xué)出版社,2005.
[4]王興元.復雜非線(xiàn)性系統中的混沌[M].北京:電子工業(yè)出版社,2003.
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