- 相關(guān)推薦
中考數學(xué)幾何折疊問(wèn)題的答題技巧
折疊問(wèn)題題型多樣，變化靈活，從考察學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運用折疊相關(guān)性質(zhì)的說(shuō)理計算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題. 考查的著(zhù)眼點(diǎn)日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問(wèn)題的能力都提出了比以往更高的要求.
折疊操作就是將圖形的一部分沿著(zhù)一條直線(xiàn)翻折1800，使它與另一部分圖形在這條直線(xiàn)的同旁與其重疊或不重疊，其中折是過(guò)程，疊是結果. 折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對稱(chēng)變換，折疊更突出了軸對稱(chēng)問(wèn)題的應用. 所以在解決有關(guān)的折疊問(wèn)題時(shí)可以充分運用軸對稱(chēng)的思想和軸對稱(chēng)的性質(zhì).
根據軸對稱(chēng)的性質(zhì)可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線(xiàn)就是這兩個(gè)全等形的對稱(chēng)軸;互相重合兩點(diǎn)(對稱(chēng)點(diǎn))之間的連線(xiàn)必被折痕垂直平分;對稱(chēng)兩點(diǎn)與對稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)連結所得的兩條線(xiàn)段相等;對稱(chēng)線(xiàn)段所在的直線(xiàn)與對稱(chēng)軸的夾角相等. 在解題過(guò)程中要充分運用以上結論，借助輔助線(xiàn)構造直角三角形，結合相似形、銳角三角函數等知識來(lái)解決有關(guān)折疊問(wèn)題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡(jiǎn)潔.
1、利用點(diǎn)的對稱(chēng)
例1.(2006年南京市)已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.
(1)如果折痕FG分別與AD、AB交于F、G(如圖①)，AF=
，求DE的長(cháng);
(2)如果折痕FG分別與CD、AB交于F、G(如圖②)，△AED的外接圓與直線(xiàn)BC相切，求折痕FG的長(cháng).
圖①中FG是折痕，點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，根據折疊的對稱(chēng)性,已知線(xiàn)段AF的長(cháng),可得到線(xiàn)段EF的長(cháng)，從而將求線(xiàn)段的長(cháng)轉化到求Rt△DEF的一條直角邊DE. 圖②中，連結對應點(diǎn)A、E，則折痕FG垂直平分AE，取AD的中點(diǎn)M，連結MO，則MO=
DE，且MO∥CD，又AE為Rt△AED的外接圓的直徑，則O為圓心，延長(cháng)MO交BC于N，則ONBC，MN=AB,又Rt△AED的外接圓與直線(xiàn)BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圓的半徑，即ON=
AE，根據勾股定理可求出DE=
，OE=
. 通過(guò)Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=
，從而求出EF的長(cháng).
對稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對稱(chēng)軸垂直平分，連結兩對稱(chēng)點(diǎn)既可以得到相等的線(xiàn)段，也可以構造直角三角形, 本題把折疊問(wèn)題轉化為軸對稱(chēng)問(wèn)題，利用勾股定理和相似求出未知線(xiàn)段，最后把所求的線(xiàn)段轉化到直角三角形中去處理.
二、利用線(xiàn)段的對稱(chēng)性質(zhì)
例2.(新課標人教版數學(xué)八年級下學(xué)期P126)數學(xué)活動(dòng)1：折紙做300、600、150的角
對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再次折疊紙片，使A點(diǎn)落在折痕EF上的N點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B得到折痕BM，同時(shí)得到線(xiàn)段BN，觀(guān)察所得到的ABM、MBN和NBC，這三個(gè)角有什么關(guān)系?(教師用書(shū)中給出了這樣的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，則直角三角形中NG=
BN，從而可得ABM=MBN=NBC=300.)
若這樣證明則要用到：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于300. 這個(gè)定理現行教材中沒(méi)有涉及到，在這兒用不太合適. 如果直接運用軸對稱(chēng)思想說(shuō)理應該比較簡(jiǎn)潔明了：連結AN，則AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN為等邊三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.
利用對稱(chēng)的思想來(lái)證明線(xiàn)段的相等比用其他方法快捷而且靈活.
三、利用面對稱(chēng)的性質(zhì)
例3.(2006年臨安)如圖，△OAB是邊長(cháng)為2的等邊三角形，其中O是坐標原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸的正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在OB上，記為A`點(diǎn)，折痕為EF. 此題中第③問(wèn)是：當A`點(diǎn)在OB上運動(dòng)，但不與O、B重合時(shí)，能否使△A`EF為直角三角形?
這一問(wèn)題需通過(guò)分類(lèi)討論，先確定直角頂點(diǎn)不可能在A(yíng)`處. 當△A`EF為直角三角形，且直角頂點(diǎn)在F處時(shí)，根據軸對稱(chēng)性質(zhì)我們可以得到AFE=A`FE=900，此時(shí)A`點(diǎn)與B點(diǎn)重合，與題目中已知相矛盾，所以直角頂點(diǎn)在點(diǎn)F處不成立. 同理可證，直角頂點(diǎn)亦不可能在點(diǎn)E處. 故當A`點(diǎn)在OB上運動(dòng)，若不與O、B重合，則不存在這樣的A`點(diǎn)使△A`EF為直角三角形.
在折疊問(wèn)題中,利用面的對稱(chēng)性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積.
解決折疊問(wèn)題時(shí)，首先要對圖形折疊有一準確定位，把握折疊的實(shí)質(zhì)，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點(diǎn)、線(xiàn)、面三個(gè)方面入手，發(fā)現其中變化的和不變的量. 進(jìn)一步發(fā)現圖形中的數量關(guān)系;其次要把握折疊的變化規律，充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將其中的基本的數量關(guān)系用方程的形式表達出來(lái)，運用所學(xué)知識合理、有序、全面的解決問(wèn)題.
【中考數學(xué)幾何折疊問(wèn)題的答題技巧】相關(guān)文章：
中考數學(xué)答題技巧：用分類(lèi)思想去解幾何多解題02-18
中考生必看的數學(xué)答題技巧10-24
2018中考地理十二類(lèi)問(wèn)題的答題技巧02-24
中考語(yǔ)文散文閱讀的答題技巧01-24
如何增強數學(xué)答題技巧02-24
2016中考數學(xué)答題時(shí)間分配的5大技巧01-23
2016年中考數學(xué)答題時(shí)間分配的技巧01-22
2017中考語(yǔ)文答題技巧02-22