考研數學(xué):關(guān)于定積分的三點(diǎn)建議
考研數學(xué)中的高數部分從本質(zhì)上講只有三種運算：極限，導數與積分。首先看一下高等數學(xué)的整體框架：
我們可以看到：在學(xué)習定積分之前，我們首先學(xué)習了不定積分。很多同學(xué)把不定積分與定積分搞混淆。其實(shí)不定積分是導數的逆運算，本質(zhì)還是導數的延伸。而真正的積分部分是定積分。因此，各位考生要注意以下的三點(diǎn)：
一、明晰知識體系
定積分這章非常重要，考試考查的內容多而廣。這章包括：定積分的定義，性質(zhì)；微積分基本定理；反常積分；定積分的應用。這四個(gè)部分各有側重點(diǎn)。其中定積分的定義是重點(diǎn)；要理解微積分基本定理；要掌握定積分在幾何和物理上面的應用。至于反常積分大家了解就行了。
二、深刻理解知識點(diǎn)
在掌握了知識體系之后，自然就需要明確具體的重點(diǎn)知識點(diǎn)了。首先是定積分的定義及性質(zhì)。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺(jué)得同學(xué)們不僅要會(huì )用自己的話(huà)來(lái)表述定義，而且要一步一步的寫(xiě)出精髓。比如說(shuō)從定義中體現的思想：微元法。同學(xué)們要理解分割，近似，求和，取極限這四個(gè)步驟。同時(shí)要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對定積分定義的考察在每年考研中是必考內容。所以希望引起大家的足夠重視。
至于性質(zhì)，大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區間可加性；比較定理；積分中值定理。對這三個(gè)性質(zhì)大家一定要知道是怎么來(lái)的�？佳兄杏嘘P(guān)積分的證明題多多少少會(huì )用到這三個(gè)性質(zhì)。所以大家只有理解了才懂得在什么時(shí)候用。
然后是微積分基本定理。這個(gè)知識點(diǎn)非常重要。因為它定義了一種新的函數：積分上限函數。而且在一定的條件下，它的導數就是f(x)。所以我們擴展了函數類(lèi)型。那么導數應用中的切線(xiàn)與法線(xiàn)；單調性；極值；凹凸性等應用就可以與積分上限函數聯(lián)系了。同時(shí)提出了牛頓-萊布尼茨公式，使得我們可以用不定積分來(lái)計算定積分。希望同學(xué)們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過(guò)程。
補充說(shuō)一點(diǎn)：求定積分常用的方法是基本積分公式；換元積分法(湊微分法和換元積分法)；分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點(diǎn)。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過(guò)復合函數求導公式推出了湊微分法;通過(guò)三角代換，根式代換等提出了換元積分法。而我們通過(guò)相乘函數的導數公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來(lái)的才能更好的使用這些方法。接著(zhù)大家要注意變限積分求導了，最好請大家自己證明下。
第三個(gè)要說(shuō)的是反常積分。對這一部分，同學(xué)們了解基本定義，會(huì )用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應用。其實(shí)就是微元法在幾何以及物理上面的'應用。同樣的，同學(xué)們要知道數學(xué)一，數學(xué)二，數學(xué)三的區別。在幾何上，數學(xué)三只用掌握用定積分求面積和簡(jiǎn)單幾何體的體積。而數學(xué)一和數學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線(xiàn)弧長(cháng)，旋轉曲面面積。在物理應用方面，數學(xué)一和數學(xué)二主要掌握用定積分求變力沿直線(xiàn)做功，抽水做功，液太靜壓力和質(zhì)心問(wèn)題。但核心是，同學(xué)們一定要掌握微元法的思想。
三、適量習題
在大家理解了重點(diǎn)知識以及明確了考試重點(diǎn)后就需要做題鞏固了。在這里，我堅決反對題海戰術(shù)。因為大家的時(shí)間有限并且題海戰術(shù)在沒(méi)理解知識點(diǎn)之前是沒(méi)用的�，F在社會(huì )做事情都講究高效，我希望大家能夠事半功倍。那么針對定積分這章，大家先針對我說(shuō)的重點(diǎn)知識進(jìn)行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個(gè)題就要理解，要反思，要多想想考察了知識點(diǎn)那些方面。然后對次重點(diǎn)知識輔助做一些題，了解就夠了。
總之，希望大家經(jīng)過(guò)這三個(gè)步驟能夠學(xué)習好定積分，為以后的高等數學(xué)的復習打好基礎。祝大家考研成功!
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