考研數學(xué)線(xiàn)性代數4大重要考點(diǎn)總結
在考研數學(xué)考試中關(guān)于線(xiàn)性代數的部分里，有關(guān)矩陣的秩、特征值與特征向量、線(xiàn)性方程組求解和二次型標準化與正定判斷這四大考點(diǎn)，是大家一定要復習好的內容。
線(xiàn)性代數占考研數學(xué)總分值的22%，約34分，以2個(gè)選擇題、1個(gè)填空題、2個(gè)解答題的形式出現。雖然線(xiàn)性代數的考點(diǎn)眾多，但要把這5個(gè)題目的分值完全收入囊中，則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。
矩陣的秩
矩陣是解決線(xiàn)性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡(jiǎn)二次型的方便工具。矩陣理論是線(xiàn)性代數的重點(diǎn)內容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內容，利用其來(lái)解決實(shí)際應用問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易行。正因為矩陣理論在整個(gè)線(xiàn)性代數中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個(gè)元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過(guò)幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對含參數的矩陣的處理以及反問(wèn)題的解決能力等，都需要在對概念理解的`基礎上，聯(lián)系地看問(wèn)題，及時(shí)總結結論。
矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過(guò)程中起著(zhù)決定作用，也是將二次型標準化、規范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量)，會(huì )處理含參數的情況。
線(xiàn)性方程組求解
對線(xiàn)性方程組的求解總是通過(guò)矩陣來(lái)處理，含參數的方程組是考查的重點(diǎn)，對方程組解的結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線(xiàn)性方程組存在2個(gè)不同的解，求其中的參數并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數!而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個(gè)不同的解"這句話(huà)中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數;非齊次方程組有解故系數矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數及b中的參數。至于確定參數后再求解非齊次方程組就變得非常簡(jiǎn)單了。
二次型標準化與正定判斷
二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數矩陣的方法以便運算中節省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類(lèi)特殊矩陣，判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類(lèi)，可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
以上四個(gè)考點(diǎn)可以說(shuō)是考試的重點(diǎn)考查對象，同學(xué)們可以根據自己的實(shí)際情況圍繞重點(diǎn)題型針對復習。只要攻克這些重難點(diǎn)，相信考研數學(xué)就會(huì )變得so easy!
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