考研數學(xué)數項級數學(xué)習要點(diǎn)匯總
級數部分知識的學(xué)習歷來(lái)被認為是學(xué)習的難點(diǎn)，主要原因是本部分概念及方法都很抽象，不容易操作，面對題目比較茫然，不知該如何入手討論。本文中，跨考教育數學(xué)教研室邵偉如老師將對數項部分知識進(jìn)行梳理，為同學(xué)們提供一個(gè)可行的思路。
級數部分從大的方面來(lái)分的話(huà)主要考察數項級數及函數項級數，數項級數部分主要考察級數的斂散性，函數項級數部分涉及到求和及展開(kāi)，數三的同學(xué)考察冪級數，數一的同學(xué)還考察傅里葉級數，數二的同學(xué)不考察級數。
數項級數，顧名思義就是級數的一般項為數，數項級數大體分為兩類(lèi)考察，一類(lèi)是正項級數，一般項均為正數;一類(lèi)是一般項級數，一般項是可正可負的數，其中特殊的是交錯級數，一般項由正負交叉的.數構成。每個(gè)類(lèi)型的級數都有相應的判別斂散的方法。
正項級數是考察重點(diǎn)，數一、三的同學(xué)均以考察級數斂散的判別法為主，但出題的側重點(diǎn)又有所區別，數三的同學(xué)以選擇、填空小題為主，數一的同學(xué)除了考察小題以外，還會(huì )以判別法，主要是比較審斂法為主考察大題，總之，數一的同學(xué)要求更高一些。正項級數審斂法主要有：比較審斂法(常需要借助級數)、比值審斂法(級數自身前后項相較，適用于一般項含階乘的正項級數)及根值審斂法(級數自身前后項相較，適用于一般項含次冪的正項級數)�？偟脕�(lái)說(shuō)，比較審斂法體現了借助已知斂散性的級數判別未知，比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做，自力更生。
一般項級數判斂需要遵循一定的步驟進(jìn)行。首先，計算一般項的極限，如果一般項的極限不為0，那么本級數必發(fā)散;如果一般項極限為0，只能說(shuō)明級數有收斂的可能性，但不能立即判斂(反例：調和級數)，那么需要進(jìn)一步判定，如何判定呢?需要將級數的一般項加絕對值，這樣一個(gè)一般項級數就變?yōu)檎椉墧�，即可由正項級數判斂的三個(gè)方法判斂，如果收斂，則此時(shí)級數收斂，且稱(chēng)為絕對收斂，如果發(fā)散，則需要去掉絕對值，看一般項級數本身的斂散性;如何判別一般項級數的斂散呢?此時(shí)有兩個(gè)走向，一是看級數是否為交錯級數，如果是交錯級數，則用萊布尼茲條件判斂，收斂，則稱(chēng)級數為條件收斂;若雖是交錯級數卻不滿(mǎn)足萊布尼茲條件，或級數是一般項級數但并非交錯級數，那么一般需考慮定義法判斂，所謂定義法，就是先計算級數的前項和，然后前項和取極限，若極限存在，則級數收斂，若極限不存在，則級數發(fā)散。
當然，除了以上介紹的審斂法以外，我們還需熟練掌握級數的一些性質(zhì)(比如：收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級數的有限項不影響級數的斂散性等)來(lái)判別。希望同學(xué)們在學(xué)習過(guò)程中多注意這些性質(zhì)的運用。
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