高中數學(xué)教學(xué)：三角函數的概念

　　三角函數是基本初等函數之一，是以角度為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標或其比值為因變量的函數。下面是小編收集整理的高中數學(xué)教學(xué)：三角函數的概念，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

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　　6類(lèi)基本初等函數之一。

　　三角函數是以角度(數學(xué)上最常用弧度制，下同)為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價(jià)地用與單位圓有關(guān)的各種線(xiàn)段的長(cháng)度來(lái)定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時(shí)有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學(xué)工具。在數學(xué)分析中，三角函數也被定義為無(wú)窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實(shí)數值，甚至是復數值。

　　常見(jiàn)的三角函數包括正弦函數、余弦函數和正切函數。在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì )用到如余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數、半正矢函數、半余矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關(guān)系可以通過(guò)幾何直觀(guān)或者計算得出，稱(chēng)為三角恒等式。

　　三角函數一般用于計算三角形中未知長(cháng)度的邊和未知的角度，在導航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類(lèi)相似的函數，叫做雙曲函數。常見(jiàn)的雙曲函數也被稱(chēng)為雙曲正弦函數、雙曲余弦函數等等。三角函數(也叫做圓函數)是角的函數;它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個(gè)角的直角三角形的兩個(gè)邊的比率，也可以等價(jià)的定義為單位圓上的各種線(xiàn)段的長(cháng)度。更現代的定義把它們表達為無(wú)窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是復數值。

　　知識點(diǎn)總結

　　本節主要講角的概念與角的表示、弧度的概念及表示、角度和弧度互化、特殊角的弧度、弧長(cháng)和扇形的面積公式、任意角的三角函數的定義、任意角的三角函數的定義域、任意角的三角函數的`各象限的符號、單位圓、正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn)等知識點(diǎn)。知識點(diǎn)較多，但大多數比較容易理解記憶，主要是三角函數線(xiàn)難理解一些。結合任意角的三角函數的定義就好理解。

　　常見(jiàn)考法

　　在段考中，多以選擇題和填空題的形式考查弧長(cháng)和扇形的面積公式、任意角的三角函數的定義、任意角的三角函數的各象限的符號、單位圓及三角函數線(xiàn)等知識，難度不大。在高考中多以選擇題和填空題的形式與三角恒等變換聯(lián)合考查，也是屬于容易題，主要是記憶性的知識。

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　　銳角三角函數公式

　　正弦：sinα=∠α的對邊/∠α 的斜邊

　　余弦：cosα=∠α的鄰邊/∠α的斜邊

　　正切：tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊

　　余切：cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊

　　正方形定理公式

　　正方形的特征：

　�、僬�方形的四邊相等；

　�、谡�方形的四個(gè)角都是直角；

　�、壅�方形的兩條對角線(xiàn)相等，且互相垂直平分，每一條對角線(xiàn)平分一組對角；

　　正方形的判定：

　�、儆幸粋�(gè)角是直角的菱形是正方形；

　�、谟幸唤M鄰邊相等的矩形是正方形。

　　平行四邊形

　　平行四邊形的性質(zhì)：

　�、倨叫兴倪呅蔚膶�邊相等；

　�、谄叫兴倪呅蔚膶�角相等；

　�、燮叫兴倪呅蔚膶�角線(xiàn)互相平分；

　　平行四邊形的判定：

　�、賰山M對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

　�、趦山M對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

　�、蹖�角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形；

　�、芤唤M對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

　　直角三角形的性質(zhì)：

　�、僦苯侨�角形的兩個(gè)銳角互為余角；

　�、谥苯侨�角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；

　�、壑苯侨�角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；

　�、苤苯侨�角形中30度

　�、萁撬鶎Φ闹苯沁叺扔谛边叺囊话�；

　　直角三角形的判定：

　�、儆袃蓚�(gè)角互余的三角形是直角三角形；

　�、谌绻�三角形的'三邊長(cháng)a、b 、c有下面關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

　　等腰三角形的性質(zhì)：

　�、俚妊�三角形的兩個(gè)底角相等；

　�、诘妊�三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合（三線(xiàn)合一）

　　三角形

　　三角形的三邊關(guān)系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

　　三角形的內角和定理：三角形的三個(gè)內角的和等于180度；

　　三角形的外角和定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)的和；

　　三角形的外角和定理推理：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內角；

　　三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)（內心）；

　　三角形的三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)（外心）；

　　三角形中位線(xiàn)定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；

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　　三角函數：和差化積

　　和差化積公式，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化積公式，是三角函數中的一組恒等式。

　　三角函數：倍角

　　倍角公式，是三角函數中非常實(shí)用的一類(lèi)公式。就是把二倍角的三角函數用本角的三角函數表示出來(lái)。在計算中可以用來(lái)化簡(jiǎn)計算式、減少求三角函數的次數，在工程中也有廣泛的運用。

　　三角函數：半角

　　半角公式（Halfangleformula）是利用某個(gè)角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函數值，來(lái)求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函數值的公式。

　　三角函數：兩角和

　　兩角和（差）公式包括兩角和差的.正弦公式、兩角和差的余弦公式、兩角和差的正切公式。兩角和與差的公式是三角函數恒等變換的基礎，其他三角函數公式都是在此公式基礎上變形得到的。

　　三角函數：倍角

　　倍角公式，是三角函數中非常實(shí)用的一類(lèi)公式。就是把二倍角的三角函數用本角的三角函數表示出來(lái)。在計算中可以用來(lái)化簡(jiǎn)計算式、減少求三角函數的次數，在工程中也有廣泛的運用。

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　　銳角三角函數公式

　　sin =的對邊 / 斜邊

　　cos =的.鄰邊 / 斜邊

　　tan =的對邊 / 的鄰邊

　　cot =的鄰邊 / 的對邊

　　倍角公式

　　Sin2A=2SinA?CosA

　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

　　tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

　　(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

　　三倍角公式

　　sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

　　cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

　　tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)

　　三倍角公式推導

　　sin3a

　　=sin(2a+a)

　　=sin2acosa+cos2asina

　　輔助角公式

　　Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中

　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

　　tant=B/A

　　Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B

　　降冪公式

　　sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

　　cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

　　tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

　　推導公式

　　tan+cot=2/sin2

　　tan-cot=-2cot2

　　1+cos2=2cos^2

　　1-cos2=2sin^2

　　1+sin=(sin/2+cos/2)^2

　　=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina

　　=3sina-4sina

　　cos3a

　　=cos(2a+a)

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa

　　=4cosa-3cosa

　　sin3a=3sina-4sina

　　=4sina(3/4-sina)

　　=4sina[(3/2)-sina]

　　=4sina(sin60-sina)

　　=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)

　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]

　　=4sinasin(60+a)sin(60-a)

　　cos3a=4cosa-3cosa

　　=4cosa(cosa-3/4)

　　=4cosa[cosa-(3/2)]

　　=4cosa(cosa-cos30)

　　=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)

　　=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}

　　=-4cosasin(a+30)sin(a-30)

　　=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]

　　=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]

　　=4cosacos(60-a)cos(60+a)

　　上述兩式相比可得

　　tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)

　　半角公式

　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

　　[www.xuexifangfa.com]

　　三角和

　　sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin

　　cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

　　tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)

　　兩角和差

　　cos(+)=coscos-sinsin

　　cos(-)=coscos+sinsin

　　sin()=sincoscossin

　　tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

　　tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

　　和差化積

　　sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]

　　sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]

　　cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]

　　cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

　　積化和差

　　sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2

　　coscos = [cos(+)+cos(-)]/2

　　sincos = [sin(+)+sin(-)]/2

　　cossin = [sin(+)-sin(-)]/2

　　誘導公式

　　sin(-) = -sin

　　cos(-) = cos

　　tan (a)=-tan

　　sin(/2-) = cos

　　cos(/2-) = sin

　　sin(/2+) = cos

　　cos(/2+) = -sin

　　sin() = sin

　　cos() = -cos

　　sin() = -sin

　　cos() = -cos

　　tanA= sinA/cosA

　　tan(/2+)=-cot

　　tan(/2-)=cot

　　tan()=-tan

　　tan()=tan

　　誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

　　萬(wàn)能公式

　　sin=2tan(/2)/[1+tan^(/2)]

　　cos=[1-tan^(/2)]/1+tan^(/2)]

　　tan=2tan(/2)/[1-tan^(/2)]

　　其它公式

　　(1)(sin)^2+(cos)^2=1

　　(2)1+(tan)^2=(sec)^2

　　(3)1+(cot)^2=(csc)^2

　　證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)^2,第二個(gè)除(cos)^2即可

　　(4)對于任意非直角三角形,總有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證:

　　A+B=-C

　　tan(A+B)=tan(-C)

　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得證

　　同樣可以得證,當x+y+z=nZ)時(shí),該關(guān)系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論

　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

　　(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

　　(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

　　(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0

　　cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及

　　sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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