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一道課本問(wèn)題的變式訓練
北師大版教材九年級上冊第一章第二節提出問(wèn)題“在等腰三角形中作出一些線(xiàn)段(如角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高等)，你能發(fā)現其中一些相等的線(xiàn)段嗎?你能證明你的結論嗎?”，這是等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的知識的綜合應用，由于學(xué)生在七年級就接觸過(guò)這兩個(gè)知識點(diǎn)，故對學(xué)生來(lái)說(shuō)掌握起來(lái)很容易，學(xué)生在課堂上的思維訓練沒(méi)能達到一定的高度，針對這種情況，筆者在授課的過(guò)程中對這一課本問(wèn)題進(jìn)行變式，使本節課的知識達到了一定的梯度，讓學(xué)生的思維產(chǎn)生了極大的碰撞，提高了學(xué)生的解題能力.現舉例如下：
變式一：如圖，D為等腰三角形ABC的底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，那么DE、DF、CM之間存在怎樣的數量關(guān)系?并加以說(shuō)明.
分析：首先引導學(xué)生大膽猜想三條線(xiàn)段的數量關(guān)系，學(xué)生很容易想到：CM=DE+DF.其次引導學(xué)生分析該問(wèn)題屬于證線(xiàn)段的和差關(guān)系，應采用截長(cháng)補短法.法一：截長(cháng)法.可以過(guò)點(diǎn)C作CN⊥ED并交ED的延長(cháng)線(xiàn)于點(diǎn)N，易證四邊形MENC為矩形，可得EN=CM，欲證CM=DE+DF，只須證EN=DE+DF，而EN=DE+DN，故證DN=DF即可.通過(guò)證△DFC≌△DNC即可得到DN=DF.法二：補短法.過(guò)點(diǎn)D作DI⊥CM并交CM于點(diǎn)I，證CI=DF即可.法三：由于CM是等腰三角形的高，于是聯(lián)想到等積法.可連接AD，因為△ABC的面積等于A(yíng)B•CM，△ABC的面積還等于A(yíng)B•DE+AC•DF，又AB=AC，故CM=DE+DF.
通過(guò)此題，引導學(xué)生歸納出“到等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高”這一性質(zhì).
這是一道很常規的證線(xiàn)段的和差問(wèn)題，學(xué)生想到方法一、二很容易，此題出彩點(diǎn)在引導學(xué)生想到等積法及歸納出等腰三角形的又一重要性質(zhì)，并應用該性質(zhì)解題，于是引出變式二、三.
變式二：點(diǎn)D是邊長(cháng)為2的等邊三角形ABC的邊AB上任一點(diǎn)，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，那么DE+DF的值為_(kāi)____________.
分析：這是某省市一道中考填空題.有了變式一的基礎，學(xué)生很容易知道求DE+DF的值就是求等邊三角形一邊上的高，再利用三線(xiàn)合一及勾股定理可求得DE+DF=.
解：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于G，連接CD.∵SABC=AC•BG，又∵SABC=AC•DF+BC•DE∴AC•BG=AC•DF+BC•DE，而AC=BC，故DE+DF=BG.
又∵等邊三角形三線(xiàn)合一可知G為AC的中點(diǎn)，∴AG=1.∴BG=.即DE+DF=.
變式三：在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為_(kāi)___________.
分析：此題是一道全國初中聯(lián)賽試題，在變式二的基礎上又有了一定的難度，分別求出PE、PF有困難，引導學(xué)生善于從復雜圖形中找到基本圖形，由矩形的對角線(xiàn)相等且平分知△AOD為等腰三角形，P為其底上任意一點(diǎn)，則P到兩腰的距離和等于腰上的高，故PE+PF的值等于BD邊上的高，則問(wèn)題迎刃而解.
解：過(guò)點(diǎn)A作AI⊥BD于I，連接PO.
∵在矩形ABCD中有AO=DO，
∴△AOD為等腰三角形.
∵SAOD=OD•AI=AO•PF+DO•PE，∴PE+PF=AI.
又∵SABD=AB•AD=BD•AI，∴AI=，∵AD=12，AB=5，∴AI=，即PE+PF=.
通過(guò)這一組變式，學(xué)生既掌握了大綱要求本節課應掌握的等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的知識點(diǎn)，同時(shí)又回顧了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等積法、截長(cháng)補短法等知識點(diǎn)，提高了學(xué)生歸納知識、綜合運用知識及知識遷移的能力，培養了學(xué)生從復雜圖形中抽象出基本圖形的能力，培養了學(xué)生的發(fā)散思維.故恰當的對課本問(wèn)題進(jìn)行變式對提高課堂效率、提高學(xué)生的解題能力不失為一種好辦法.
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