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淺談數學(xué)研究性學(xué)習的實(shí)踐與認識
圓錐曲線(xiàn)的本質(zhì)是幾何問(wèn)題代數化，有些習題看起來(lái)很平常，實(shí)際上反映了相關(guān)數學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊含著(zhù)豐富的數學(xué)思維方法和思想精髓，是創(chuàng )新思維的生長(cháng)點(diǎn)，這就需要教師適時(shí)引導學(xué)生不斷的發(fā)展，引申，變遷問(wèn)題，進(jìn)行研究性學(xué)習，從而培養學(xué)生發(fā)現問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.圖1
學(xué)生很快呈現出本題的代數計算過(guò)程.
解析：若直線(xiàn)l與x軸重合，命題顯然成立.
若直線(xiàn)l不與x軸重合，設直線(xiàn)l的方程為my=x-1，
聯(lián)立my=x-1
平面中，兩條不平行的直線(xiàn)相交于一點(diǎn)是顯然的，但是3條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)應該不僅僅是巧合，背后到底“隱藏”著(zhù)什么樣的數學(xué)原理呢？我們能不能從問(wèn)題出發(fā)，試著(zhù)對問(wèn)題進(jìn)行一般化研究，變式研究，推廣研究，類(lèi)比研究，甚至可以研究這一類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì).
一個(gè)星期后的數學(xué)課上，學(xué)生互相交流探討所研究的問(wèn)題與結論，學(xué)生對于問(wèn)題的變式研究，類(lèi)比研究大大超出我的預料，在課上，每個(gè)同學(xué)都積極參與，力求用最精煉的語(yǔ)言表達結論，用最嚴謹簡(jiǎn)潔的過(guò)程證明結論的正確性，課后學(xué)生齊心協(xié)力，更是挖掘了問(wèn)題的本質(zhì).1問(wèn)題探究，披沙揀金
拓展研究一平面直角坐標系中，橢圓C：x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，則直線(xiàn)AM、BN的交點(diǎn)軌跡是直線(xiàn)x=9.
第二個(gè)結論是對第一個(gè)結論的推廣，證明了在任意橢圓中這樣兩直線(xiàn)的交點(diǎn)軌跡均是直線(xiàn)，軌跡方程只與直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)和橢圓中的系數a有關(guān).
前面已證直線(xiàn)AM、BN的交點(diǎn)P（a2t，yp），易得OP?OT=a2.
看到這樣的結果，學(xué)生臉上露出驚訝的表情，他們從中體會(huì )到數學(xué)的神奇，一個(gè)看似很平常的問(wèn)題，竟然得到這么和諧漂亮的結論.
經(jīng)過(guò)不斷的拓展研究，條件不斷的一般化，直線(xiàn)過(guò)x軸上任意一點(diǎn)T（t，0）（t≠0）推廣為過(guò)平面內任意一點(diǎn)時(shí)向量點(diǎn)乘積為定值的結論依然成立.
證明過(guò)程類(lèi)似，從略.
如果將橢圓改為圓，結論也成立.圓可以看作是橢圓的特殊情況，在計算的過(guò)程中a、b的大小是否相等并不影響計算的結果，.
從三線(xiàn)共點(diǎn)到結論“OP?OQ=a2”如此簡(jiǎn)潔，如此美妙，直覺(jué)告訴我們這決不是偶然，肯定有其必然性，研究后發(fā)現本題有豐富的背景，它與極點(diǎn)和極線(xiàn)的知識有關(guān).
實(shí)際上，關(guān)于極點(diǎn)和極線(xiàn)，有如下兩個(gè)常用的結論：圖2
E，F，G，H，設EG，FH交于M，EH，FG交于N，則稱(chēng)MN為點(diǎn)P對應
的極線(xiàn)，同理，稱(chēng)PN為點(diǎn)M對應的極線(xiàn)，PM為點(diǎn)N對應的極線(xiàn)；
�。�2）對于橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點(diǎn)P（x0，y0）對應的極線(xiàn)為
有了極點(diǎn)極線(xiàn)知識，我們所拓展研究的問(wèn)題就很容易解釋了：
當直線(xiàn)l過(guò)x軸上任意一點(diǎn)T（t，0）（t≠0）時(shí)，點(diǎn)T（t，0）對應的極線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線(xiàn)x=a2t，此時(shí)P（a2t，y0），所以OP?OT=a2.
當直線(xiàn)l過(guò)平面內任意一點(diǎn)T（t，s）（s≠0）時(shí)，直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為Q（m，0），點(diǎn)Q對應的極線(xiàn)還是過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線(xiàn)x=a2m，此時(shí)P（a2m，y0），所以OP?OQ=a2.2研究性學(xué)習實(shí)踐的認識
課堂是教學(xué)變革的主戰場(chǎng)，研究性學(xué)習只有根植于課堂，變成課堂教學(xué)中的一種常用方式，才能由一種開(kāi)放的教育思想變?yōu)榭尚械慕虒W(xué)實(shí)踐，才能真正發(fā)揮其應有的價(jià)值[1].在理論學(xué)習和教學(xué)實(shí)踐中，數學(xué)課堂探究性學(xué)習必須依照數學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，努力凸顯其固有的問(wèn)題性、自主性、過(guò)程性和開(kāi)放性.
2.1問(wèn)題性
“問(wèn)題是數學(xué)的心臟”，它促使人們對數學(xué)本質(zhì)的探索，推動(dòng)人們對數學(xué)真理的發(fā)現.沒(méi)有問(wèn)題也就難以誘發(fā)和激起探究欲望，感覺(jué)不到問(wèn)題存在也就不會(huì )生成認知上的需要，就不會(huì )深入思考，學(xué)習也只能是表面和形式的訓練.數學(xué)研究性學(xué)習強調通過(guò)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行學(xué)習，把問(wèn)題看成學(xué)習的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿學(xué)習過(guò)程的主線(xiàn)[2].教學(xué)中，教師要關(guān)注課本例題和習題的結論，應該主動(dòng)地尋找知識的生長(cháng)點(diǎn)和思維的發(fā)散點(diǎn)，不斷地發(fā)展引申、變遷問(wèn)題，進(jìn)行探究.通過(guò)學(xué)習生成問(wèn)題，把數學(xué)學(xué)習看成是發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程.
2.2自主性
探究性學(xué)習是相對于授受式學(xué)習而提出的.自主性是探究性學(xué)習最本質(zhì)的規定性，也是探究式學(xué)習與授受式學(xué)習相區分的關(guān)鍵所在[3].探究性學(xué)習突出了學(xué)生作為教學(xué)活動(dòng)的主體，立足于學(xué)生的學(xué)和自主性探究，以學(xué)生的主體活動(dòng)為中心展開(kāi).強調學(xué)生是在教師恰到好處的引導和幫助下自主地參與教學(xué)活動(dòng)，以自己的經(jīng)驗和知識為基礎，經(jīng)過(guò)獨立的、合作的探索與發(fā)現，親身的體驗與實(shí)踐，將知識納入到自己的認知結構中，并嘗試解決新問(wèn)題.在探究性學(xué)習中，教師要適當地幫助引導學(xué)生，培養學(xué)生發(fā)現問(wèn)題的創(chuàng )造潛能，使學(xué)生的求知和創(chuàng )新意識得到發(fā)展，為學(xué)生的終身學(xué)習和畢生的發(fā)展奠定基礎，這才是數學(xué)教育的真正意義所在.
2.3過(guò)程性
研究性學(xué)習追求過(guò)程和結果的和諧統一，它強調盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的知識的發(fā)現、形成、應用和發(fā)展的過(guò)程.數學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數學(xué)教學(xué)不宜將概念、法則、結論直接告訴學(xué)生，而應努力地揭示它們發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生在“過(guò)程”中逐漸體會(huì )并掌握獲取知識的方法，體驗數學(xué)知識的“再創(chuàng )造”歷程，在這樣的探究過(guò)程中思維才有機會(huì )得以充分而自然的開(kāi)啟、交流、優(yōu)化和升華.
2.4開(kāi)放性
“數學(xué)教學(xué)就是數學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”.在傳統的授受式學(xué)習的課堂里，學(xué)生的思維基本是在教師規定的航道上運行，思維發(fā)展難有成效.學(xué)生思維的誘發(fā)不僅來(lái)自教師的啟迪，也來(lái)自于學(xué)生之間的相互啟發(fā)，這就需要一個(gè)開(kāi)放的教學(xué)環(huán)境.在探究的過(guò)程中，不追求問(wèn)題的難度，更關(guān)注能否體現強烈的探究欲望和創(chuàng )新興趣；不追求解題技巧，更關(guān)注學(xué)生對數學(xué)概念、數學(xué)本質(zhì)的理解、數學(xué)思想的領(lǐng)悟.只有在民主、和諧的課堂氛圍中，學(xué)生才能自由的想象，大膽的思考，才能充分挖掘自己的潛能，全面展示自己的個(gè)性，思維才最活躍最有創(chuàng )造性.在層出不窮的新問(wèn)題的探究中，學(xué)生的思維層次和創(chuàng )新意識才能向縱深發(fā)展，這也正是探究性學(xué)習的精神要旨.
參考文獻
[2]余文森.課堂有效教學(xué)的理論和實(shí)踐[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.
[3]任長(cháng)松.探究式學(xué)習，學(xué)生知識的自主構建[M].北京：教育科學(xué)出版社，2005.
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