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淺談數學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與前景
誠如一切科學(xué)的產(chǎn)生一樣，數學(xué)產(chǎn)生于人類(lèi)社會(huì )的實(shí)踐，而得益于人類(lèi)獨特的發(fā)達的大腦。伴隨著(zhù)生產(chǎn)、生活的需要，模糊的數、形的概念，在原始人頭腦中日漸形成了。這個(gè)過(guò)程恐怕是很漫長(cháng)的吧。人們先認識了與實(shí)體相聯(lián)系的抽象的數，如提及一、二、五時(shí)，他們腦海中浮現出的是與之對照的實(shí)物：一個(gè)人、二只手、五個(gè)手指之類(lèi)。再往后，與實(shí)體相脫離的真正抽象的數才被確定下來(lái)。這時(shí)最早的數學(xué)分支之一“算術(shù)”產(chǎn)生了。與此進(jìn)程平行，人類(lèi)在實(shí)踐中也逐漸意識到形的概念。于是幾何學(xué)知識也日漸積累起來(lái)。在我國，早在西周時(shí)期，我們的祖先就已獲得了許多這方面的感性認識。對著(zhù)名的勾股定理的認識就可上推到這一時(shí)期。但這時(shí)，人們對這些知識的認識大都還是感性的、零散的，還沒(méi)有上升為系統的科學(xué)。這一轉變完成于古希臘。一方面，代數學(xué)鼻祖丟番圖的《算術(shù)》標志著(zhù)算術(shù)向初等數學(xué)的轉變，而進(jìn)一步的轉變一直到韋達才真正完成。用字母代替具體數字，字母間的運算代替數字間的運算，這是算術(shù)向代數轉變所完成的本質(zhì)的、關(guān)鍵的一步。而這也同時(shí)意味著(zhù)數學(xué)在抽象性上又向前邁進(jìn)了一步。在另一方面，歐幾里得的《幾何原本》才真正地在數學(xué)發(fā)展史上樹(shù)起第一塊偉大的豐碑。不知有多少后人曾對著(zhù)這座富麗堂皇的數學(xué)殿堂拱手膜拜，以至于不少哲學(xué)家都要把它供奉為絕對正確認識的楷模與典范。于是在非歐幾何誕生前，它被帶上了耀目的“絕對真理”的光環(huán)。到這時(shí)，數和形的基本概念在數學(xué)園地中已深深扎下了根，而此后數學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，就是以數形為主旋律奏響的。
早期的代數、幾何，基本上是獨立發(fā)展的，直到17世紀，法國數學(xué)家笛卡爾才在兩者之間搭起友誼之橋：解析幾何。解析幾何用代數方法研究幾何問(wèn)題，一方面使代數、幾何密切了聯(lián)系，相互促進(jìn)了彼此的發(fā)展。另一方面也使人們的耳目為之一新。與此同時(shí)，變量的概念被引入了。而正因這變量的引入，運動(dòng)的觀(guān)念進(jìn)入了數學(xué)，而這終于導致了數學(xué)史上的一次真正的革命：微積分在牛頓、萊布尼茲手中誕生了。微積分一出現，就成為數學(xué)家手中無(wú)比銳利的工具。伴隨它產(chǎn)生了一系列的研究函數的數學(xué)分支。常微分方程、偏微分方程是其中最重要的內容。但是，產(chǎn)生于牛頓、萊布尼茲手中的微積分是先天不足。十九世紀在德國數學(xué)家的倡導下對其進(jìn)行了一場(chǎng)批判性的檢查運動(dòng)。經(jīng)過(guò)柯西、維爾斯特拉斯、康托爾等人的努力，終于使其奠定了堅實(shí)的基礎。而使其在數學(xué)中占有了崇高的一席之地。分析、代數、幾何三足鼎立，成了數學(xué)的三大基礎，即舊三基。自然，與上述進(jìn)程平行的階段上，代數與幾何的發(fā)展并未停滯。事實(shí)上，從歐洲文藝復興以來(lái)，它們一直大踏步地前進(jìn)著(zhù)。
非歐幾何的創(chuàng )立，是幾何學(xué)上的一次革命。它不僅摘掉了帶在歐氏幾何頸上的絕對真理的光環(huán)，而且對人們的觀(guān)念造成了極大的沖擊。相對論的創(chuàng )立也得益于此。作為歐氏幾何更高程度上的延拓，射影幾何、位置幾何(或稱(chēng)拓撲幾何)也先后誕生并獲得了極大發(fā)展。
代數方面，人們不再滿(mǎn)足于字母間的運算，而把興趣轉到對行列式、矩陣、二次型的研究上來(lái)。這就完成了初等代數向高等代數的轉化。而代數學(xué)方面最大的變革卻來(lái)自天才數學(xué)家，被視為數學(xué)瘋子的伽羅華所創(chuàng )立的群論。當時(shí)，過(guò)早的抽象落到了聾子的耳朵里，甚至連當時(shí)最偉大的數學(xué)家柯西、高斯都未能理解他的思想。但他的深邃思想卻對現代數學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可估計的影響。他的群論觀(guān)點(diǎn)，宣布了抽象代數的誕生。而今，抽象代數研究的課題已包括群論、環(huán)論、域論、格等，而成為現代數學(xué)的新三基之一。與此同時(shí)，舊三基之間互相滲透又產(chǎn)生出一系列分支，如代數幾何、微分幾何等。
回視數學(xué)的發(fā)展歷史，不難發(fā)現如其它科學(xué)的發(fā)展一樣，數學(xué)的發(fā)展并不呈直線(xiàn)發(fā)展，而是近乎于以指數曲線(xiàn)邁進(jìn)。
數學(xué)的萌芽時(shí)期，經(jīng)歷了最為漫長(cháng)、久遠的時(shí)代，而成果僅是些零散瑣碎的算術(shù)、幾何知識的積累。從公元前5世紀的古希臘時(shí)期開(kāi)始，經(jīng)東方時(shí)期、歐洲文藝復興時(shí)期，數學(xué)的發(fā)展逐漸步入了快行道。在代數、幾何方面都有大幅度長(cháng)進(jìn)。但這已經(jīng)歷了兩千年之久啊!18世紀，隨著(zhù)分析方法的產(chǎn)生，數學(xué)的發(fā)展進(jìn)一步加速了。這一時(shí)期，被稱(chēng)為發(fā)明時(shí)期，其開(kāi)創(chuàng )領(lǐng)域之廣闊，是前無(wú)古人的。數學(xué)驚人的新的處女地被墾出來(lái)了。但這些工作大都是粗糙的、不嚴密的。19世紀，經(jīng)過(guò)自我反思的批判運動(dòng)，數學(xué)的基礎變得更加堅實(shí)牢固。上世紀形成的分支趨于成熟，新穎學(xué)科又不斷涌現，如實(shí)變函數、點(diǎn)集拓撲、抽象代數……而該世紀末，康托爾創(chuàng )立的無(wú)窮集合論更為現代數學(xué)的發(fā)展注入了新的活力。1900年，國際數學(xué)大會(huì )的召開(kāi)宣布一個(gè)新的紀元開(kāi)始了。歷史步伐跨進(jìn)了20世紀。數學(xué)的發(fā)展又獲得了長(cháng)足的進(jìn)展。實(shí)變函數、抽象代數、高等幾何很快發(fā)展成熟。另一門(mén)極富綜合性的學(xué)科“泛函分析”宣告誕生了。它一問(wèn)世，就獲得迅速發(fā)展。很快，它就與高等幾何、抽象代數一起，構成了現代數學(xué)的新三基。到60年代，數學(xué)發(fā)展又經(jīng)歷了幾次大的突破。模糊數學(xué)、突變理論、非標準分析先后問(wèn)世，使數學(xué)內容更加精彩紛呈。尤其是模糊數學(xué)從問(wèn)世到現在不足幾十年的時(shí)間就已滲透入幾乎所有的數學(xué)分支，大大推動(dòng)了數學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。
與理論數學(xué)的發(fā)展相對照，20世紀應用數學(xué)亦獲得長(cháng)足發(fā)展。產(chǎn)生于十八世紀的概率論，要此世紀又產(chǎn)生出新的數理統計，而后者已在極廣泛的社會(huì )領(lǐng)域內大顯身手了。
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