- 相關(guān)推薦
內力做功的兩個(gè)特例與應用
在一個(gè)力學(xué)系統內部相互作用的力叫“內力”，這個(gè)力學(xué)系統與外部物體相互作用的力叫“外力”。下面是小編為大家收集的內力做功的兩個(gè)特例與應用，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
一對內力做功的代數和取決于力和在力的方向上發(fā)生的相對位移，跟參照物的選取無(wú)關(guān)。此結論有兩個(gè)特例：
�。�1）若內力為恒力，則一對內力（作用力與反作用力）做功的代數和數值上等于其中一個(gè)力和在力的方向上發(fā)生的相對位移大小的乘積。如一對大小不變的滑動(dòng)摩檫力做功的代數和（為負值）的絕對值等于摩檫力的大小與相對位移大小的乘積，用來(lái)量度系統的機械能轉化為內能的那部分能量。
�。�2）若兩個(gè)物體在內力的方向上發(fā)生的相對位移為零，或者兩個(gè)物體在內力方向上始終保持相對靜止，則該對內力做功的代數和為零。如一對靜摩檫力做功的代數和為零，因此不會(huì )使系統的機械能發(fā)生變化。
二、結論的應用
內力做功與系統機械能守恒。
系統內只有保守內力做功，非保守內力（如摩檫力）和一切外力所做的總功為零時(shí)，系統內各物體的動(dòng)能和勢能可以相互轉化，但它們的總量保持不變。這就是系統的機械能守恒定律。但涉及到內力做功問(wèn)題時(shí)學(xué)生往往搞不清楚。
例1：如圖1所示，小車(chē)質(zhì)量M=4kg，車(chē)內壁A(yíng)BC為一半徑R=2.4m的半圓，車(chē)左側緊靠墻壁，質(zhì)量m=1kg的小滑塊，從距車(chē)壁A(yíng)點(diǎn)正上方高度為h=2.6m的D點(diǎn)，由靜止下落后滑入車(chē)內，若不計一切摩檫，g取10m/s2。（將（1）（2）題正確選項填入題號前的括號中）
�。�1）小滑塊在車(chē)上由a滑到C的過(guò)程中，滑塊與車(chē)的系統（ ）
a.機械能不守恒. b.機械能守恒 C。動(dòng)量守恒. d.水平動(dòng)量守恒 (2)小滑塊從C點(diǎn)滑出小車(chē)后( )
A.小滑塊水平速度為零. B.小滑塊豎直速度為零. C.小滑塊能上升到原高度. D. 小滑塊不能上升到原高度
(3)求出小滑塊經(jīng)過(guò)車(chē)右端C點(diǎn)時(shí)相對地的速度大小。
分析：把M與m作為一個(gè)系統來(lái)研究，m在車(chē)上從AC的過(guò)程中，m與M在徑向方上始終保持相對靜止（即m始終未脫離圓弧軌道）有兩層含義：（1）在相互作用的彈力（內力）方向上，M與m相對位移為零，故M與m之間的彈力（支持力與彈力）做功代數和在任一微小過(guò)程中都為零。因此，對系統來(lái)說(shuō)，除重力做功外，其它力不做功或做功代數和始終為零，機械能守恒。（2）在徑向方向上，M與m始終具有相同分速度（因為m與M在徑向方向保持相對靜止），當m經(jīng)過(guò)車(chē)右端時(shí)徑向方向變?yōu)樗?故此時(shí)二者在水平方向具有相同速度(即小滑塊水平分速度與車(chē)的速度相同)。
在m與M相互作用的過(guò)程中，從AB過(guò)程，系統受到墻壁的彈力（外力），但不做功，機械能守恒，動(dòng)量不守恒；從BC過(guò)程，系統在水平方向不受外力作用，故系統水平方向動(dòng)量守恒，且機械能守恒。
解：（1）B；（2）D；（3）小滑塊m由DB過(guò)程，根據機械能守恒定律，有mg（R+h）= mv2，∴v==10m/s。
m由BC，系統水平動(dòng)量守恒，末狀態(tài)m在水平方向與M有共同速度v2， 根據動(dòng)量守恒定律有mv=（m+M）v2， ∴v2=2m/s。
設m在C點(diǎn)的機械能為Em，m相對地面的速度為v1，則根據系統機械能守恒定律 ：
mv2=Mv22+Em，
∴Em=mv2–Mv22=50J–8J=42J
又 m的機械能Em=mgR+mv12，∴v1==6m/s，即m離開(kāi)C時(shí)的速度為v1=6m/s。
例2：如圖2所示，輕桿兩端各系一質(zhì)量為m的小球A、B，輕桿可繞過(guò)O點(diǎn)的光滑水平軸在豎直面內轉動(dòng)。A球到O的點(diǎn)距離為L(cháng)1，B球到O點(diǎn)的距離為L(cháng)2，且L1>L2, 輕桿水平時(shí)無(wú)初速釋放小球。不計空氣阻力，求桿豎直時(shí)兩球的角速度大小。
分析：因輕桿與兩小球A、B組成的系統可視為整體，且整體內任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變，即任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相對位移為零，故系統內任何一對內力所做功代數和為零。因此對輕桿與兩小球A、B組成的系統而言，只有重力做功，所以系統機械能守恒。其中，輕桿的質(zhì)量可忽略，即輕桿的機械能與A、B兩球的機械能相比也可以忽略。這樣，A、B兩球的機械能近似守恒。
解：設桿豎直時(shí)A、B兩球速度分別為VA和VB，角速度為（取O點(diǎn)所在水平面為零勢能面）。根據A、B系統機械能守恒得 0=mgL2+（1/2）mVB2--mgL1+（1/2）mVA2
又VA=L1，VB =L1 ，∴=
2、內力做功與系統動(dòng)能定理
動(dòng)能定理既對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)成立，又對一個(gè)系統（質(zhì)點(diǎn)系）成立。
系統的動(dòng)能定理內容：系統動(dòng)能的增量，等于作用于系統的所有外力和內力做功的代數和。表達式為 +=-
在應用系統的動(dòng)能定理解題時(shí)，特別要注意內力所做功的代數和。下 面舉例說(shuō)明：
例3 如圖3所示，質(zhì)量是2.0kg的小車(chē)放在光滑水平面上，在小車(chē)右端放一質(zhì)量為1.0kg的物塊，物塊與小車(chē)之間的動(dòng)摩檫因數為0.5,當物塊與小車(chē)同時(shí)分別受到左F1=6.0N拉力和水平向右F2=9.0N的拉力,經(jīng)過(guò)0.4s同時(shí)撤去兩力，為使物塊不從小車(chē)上滑下，求小車(chē)最少要多長(cháng)（g取10m/s）
解：對物塊，由牛頓第二定律得 F1-mg=ma1 ∴a1==1.0m/s2 0.4s末速度v1=a1t=0.4m/s
0.4s內位移s1=at2=0.08m
對小車(chē), 由牛頓第二定律得 F2-mg=Ma2，
∴a2==2.0m/s2
0.4s末速度v2=a2t=0.8m/s
0.4s內位移s2=a2t2=0.16m
撤去兩力后,最終兩者達到共同速度,由動(dòng)量守恒定律得 Mv2-mv1=(M+m)v ∴v==0.4m/s,向右對全過(guò)程,應用系統的動(dòng)能定理得
F1s1+F2s2 -mgs=(M+m)v2 解得 s=0.336m ,即小車(chē)至少長(cháng)0.336m。
說(shuō)明:此題系牛頓第二定律、運動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律及系統的動(dòng)能定理于一身,是一道力學(xué)學(xué)科內綜合的好題。
例4：相隔一定距離的A、B兩球，質(zhì)量相等，假定它們之間存在恒定的斥力作用。原來(lái)兩球被按住，處于靜止狀態(tài)�，F突然松開(kāi)兩球，同時(shí)給A球以速度v0，使之沿兩球連線(xiàn)射向B球，B球初速度為零。若兩球間的距離從最小值（兩球未接觸）到剛恢復原始值所經(jīng)歷的時(shí)間為t0 ，求B球在斥力作用下的加速度。
分析：松開(kāi)后，A球做初速度為v0勻減速運動(dòng)，B球做初速度為零的勻加速運動(dòng)。這樣，A球追及B球，當二者速度相等時(shí)A與B球的距離最近。又A與B系統所受的和外力為零，因此系統的動(dòng)量守恒。從開(kāi)始釋放到距離剛好恢復原始值的過(guò)程中，A相對B的相對位移為零，相互作用的斥力做功的代數和為零，可以應用系統的動(dòng)能定理解題。
解：設每個(gè)小球的質(zhì)量為m，A、B的距離剛恢復到原始值時(shí)，A球的速度為v1，B球的速度為v2，當A、B的距離最小時(shí)二者的速度相等,用u表示。根據動(dòng)量守恒定律得
mv0=mv1+mv2 ① mv0=（m+m）u ②
又從開(kāi)始釋放到距離剛好恢復原始值的過(guò)程中, A相對B的相對位移為零，故相互作用的斥力做功的代數和為零，根據系統動(dòng)能定理得 0=mv02-(mv12+mv22) ③
聯(lián)立①③解得 v1=0,v2=v0 由②得 u=v0/2 。
對B球，根據勻變速運動(dòng)學(xué)公式得 v2=u+at0 ∴a== 。
3、內力做功與系統機械能變化的關(guān)系。
涉及系統的機械能和其它形式的能量之間的轉換問(wèn)題時(shí)，有時(shí)用內力做功的代數和來(lái)量度。
例5：在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B，質(zhì)量分別為m和2m，當兩小球心間的距離大于L（L>2r）時(shí)，兩球間無(wú)相互作用力；當兩球心間的距離等于或小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。A球從遠離B球處以速度v0沿兩球心連線(xiàn)向原來(lái)靜止B球運動(dòng)，如圖4所示。欲使兩球不發(fā)生接觸，v0必須滿(mǎn)足什么條件？
分析：從兩球發(fā)生相互作用時(shí)起，A球將減速運動(dòng)而B(niǎo)球將加速運動(dòng)，即為速度大者（A球）減速追速度小者（B球），當兩球速度相等時(shí)它們的距離最近，若此時(shí)兩球的距離大于2r，就不會(huì )發(fā)生接觸。在求解此題時(shí)，注意到對A、B系統，只有內力做功，而且，這一對斥力做功的代數和為負值 ，等于系統的機械能的增量。又系統的動(dòng)量守恒，可以求出距離相等時(shí)的速度。這樣可以求出v0滿(mǎn)足什么條件了。
解：如圖5所示，從兩球發(fā)生相互作用時(shí)起到距離最近，A相對B的相對位移為s，要使A、B不發(fā)生接觸，應滿(mǎn)足條件 s<L- 2r ①
對系統，外力做功為零，內力做功的代數和為-Fs，（設距離相等時(shí)的速度為v）根據功能關(guān)系知系統的機械能的增量等于相互作用的斥
力（內力）做功的代數和，即
-Fs=（m+2m）v2-mv02 ②
根據動(dòng)量守恒定律得 mv0=（m+2m）v ③
聯(lián)立①②③式解得 V0<
初動(dòng)能均為E0的質(zhì)子和 粒子僅在相互之間的靜電力作用下沿同一直線(xiàn)相向運動(dòng)（如圖6所示），經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，其中一個(gè)粒子的動(dòng)能變?yōu)槌鮿?dòng)能的1/4，且這兩個(gè)粒子構成的系統的電勢能小于當初的電勢能。
設運動(dòng)中這兩個(gè)粒子并未相碰，求此過(guò)程中系統的電勢能減少了多少？
分析：兩個(gè)粒子在相互作用的過(guò)程中遵循的規律有：
�、儋|(zhì)子和粒子系統的動(dòng)量守恒。②質(zhì)子和粒子系統的能量守恒，即質(zhì)子和粒子系統的電勢能和動(dòng)能之和保持不變。③若質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內力）做功代數和為正，則系統的電勢能將減少；反之，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內力）做功代數和為負，則系統的電勢能將增加。
質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內力）做功代數和取決于質(zhì)子和粒子之間的相對位移。由題意知，系統的電勢能小于當初的電勢能，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內力）做功代數和應為正，則末狀態(tài)質(zhì)子和粒子之間的距離必大于當初的距離，至少有一個(gè)粒子已經(jīng)反向運動(dòng)。在這過(guò)程中質(zhì)子和粒子之間的距離，先減小后增大，恢復到當初的距離后，距離繼續增大。
解：設質(zhì)子的初速度為v0，取它的方向為正方向，則粒子的初速度為-v0/2，某一時(shí)刻兩粒子之間的距離等于當初的距離，此時(shí)質(zhì)子的速度為v1，粒子的速度為v2 。
從開(kāi)始到距離為原值的過(guò)程中，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內力）做功代數和為零，則系統的電勢能變化量為零，根據功能關(guān)系知系統的機械能的變化量也為零，即：
mv02+（4m）（-）2=mv12+(4m)v22 ①
根據動(dòng)量守恒定律得 mv0-4m()=mv1+4mv2 ②
聯(lián)立①②解得 v1=-v0 ,v2= 說(shuō)明質(zhì)子和粒子均反向，且都正在做加速運動(dòng)，質(zhì)子的動(dòng)能已超過(guò)初動(dòng)能，粒子的動(dòng)能還小于初動(dòng)能的，但在逐漸增加。故當質(zhì)子、粒子之間距離超過(guò)當初的距離后，動(dòng)能變?yōu)槌鮿?dòng)能的的粒子應是粒子。
設質(zhì)子的初動(dòng)量為P0 ，則粒子的初動(dòng)量為-2P0 ，當粒子的動(dòng)能變?yōu)镋0時(shí)，它的動(dòng)量為P0，此時(shí)質(zhì)子的動(dòng)量用P表示，由動(dòng)量守恒定律得
P0+（-2P0）=P+P0
∴P=-2P0
此時(shí)質(zhì)子的動(dòng)能為E===4=4E0
∴此過(guò)程中系統的動(dòng)能增量為 △E=（E0+4E0）-2E0=E0
根據能量守恒定律△E=△ε得系統的電勢能的減少量為△ε=E0 。
說(shuō)明：此題若應用假設法來(lái)解此題，有四種可能情況，要根據動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律逐一排除，較為復雜，在這里不再敘述。
以上通過(guò)舉例說(shuō)明內力做功在高中物理中容易出現的幾種情況。內力做功在高中物理中是一個(gè)難點(diǎn)，往往很多教師避而不談，本人認為這不是解決問(wèn)題的辦法，應該給學(xué)生講清內力做功的幾種特殊情況（如本文介紹）。以上是本人的一些陋見(jiàn)。若有不妥之處，請專(zhuān)家和同行批評指正。
【內力做功的兩個(gè)特例與應用】相關(guān)文章：
液氫的生產(chǎn)及應用09-12
普魯卡因的臨床應用03-18
矩陣的分解與應用03-07
計算機應用基礎層次化教學(xué)的應用03-27
計算機應用基礎課程教學(xué)的應用12-11
應用“零缺陷”管理03-21
加強數學(xué)應用教學(xué)03-06
EDA技術(shù)及其應用03-19