小升初奧數知識之余數與同余

　　一、同余的定義：

　�、偃魞蓚�(gè)整數a、b除以m的余數相同，則稱(chēng)a、b對于模m同余。

　�、谝阎�三個(gè)整數a、b、m，如果m|a-b，就稱(chēng)a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質(zhì)：

　�、僮陨硇裕篴≡a(mod m);

　�、趯ΨQ(chēng)性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m);

　�、蹅鬟f性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m);

　�、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　�、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m);

　�、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m);

　�、咄�倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c);

　　三、關(guān)于乘方的預備知識：

　�、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b

　�、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數特征

　�、僖粋�(gè)自然數M，n表示M的各個(gè)數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或(mod 3);

　�、谝粋�(gè)自然數M，X表示M的各個(gè)奇數位上數字的和，Y表示M的各個(gè)偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　　五、費爾馬小定理：

　　如果p是質(zhì)數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

　　余數及其應用

　　基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。

　　余數的性質(zhì)：

　�、儆鄶敌∮诔龜�。

　�、谌鬭、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

　�、踑與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

　�、躠與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

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