考研數學(xué)高數必考定理
一、導數與微分
1、函數f(x)在點(diǎn)x0處可導=>函數在該點(diǎn)處連續;函數f(x)在點(diǎn)x0處連續≠>在該點(diǎn)可導。即函數在某點(diǎn)連續是函數在該點(diǎn)可導的必要條件而不是充分條件。
2、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點(diǎn)x0處可導的充分必要條件是在點(diǎn)x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。
3、函數f(x)在點(diǎn)x0處可微=>函數在該點(diǎn)處可導;函數f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數在該點(diǎn)處可導。
4、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。
二、函數與極限
1、函數的極限
定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函數f(x)當x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。
一般的說(shuō)，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線(xiàn)y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線(xiàn)。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線(xiàn)x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線(xiàn)。
2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。
定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那么數列{xn}一定有界。
如果數列{xn}無(wú)界，那么數列{xn}一定發(fā)散;但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發(fā)散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。
定理(收斂數列與其子數列的關(guān)系)如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列{xn}有兩個(gè)子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發(fā)散的，如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的;同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數列的'子數列也有可能是收斂的。
3、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱(chēng)為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。
4、極限存在準則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿(mǎn)足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。
單調有界數列必有極限。
5、極限運算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小;有界函數與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;常數與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b。
6、函數的連續性設函數y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱(chēng)函數f(x)在點(diǎn)x0處連續。
不連續情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱(chēng)函數在x0處不連續或間斷。
如果x0是函數f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱(chēng)x0為函數f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱(chēng)可去間斷點(diǎn)，不相等者稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。
定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續的函數。
定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續，那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。
定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開(kāi)區間內連續或函數在閉區間上有間斷點(diǎn)，那么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)。
推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。
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