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淺析地圖投影變形的表現
論文關(guān)鍵詞：地圖投影 投影變形
論文摘要：地圖投影變形表現為長(cháng)度變形，角度變形和面積變形，而在表達上，我們可以從正形投影，等積投影，非正形非等級投影來(lái)分析。
Abstract：Projection deformation is shown for length deformation, angular distortion express is listed in with covering an area of deformation, but, we can from rectifying shape projection , equivalence projection, be not that the shape must analyse coming grade projection exactly.
Key Words：Projection; Projection deformation
引言
將地球的球面展為平面，也就是將地球上的點(diǎn)一一畫(huà)在平面上，需要用坐標，直角坐標和極坐標來(lái)表示，我們要采用一定的方法來(lái)確定這些坐標之間的關(guān)系。這種在球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間對應關(guān)系的數學(xué)方法稱(chēng)為地圖投影。用地圖投影的方法將球面展為平面，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀并不完全相似。本文基于投影過(guò)程中產(chǎn)生的變化來(lái)進(jìn)行全面的探討和研究。
1.地圖投影的概念
地球表面是球面，而地圖通常是繪制在平面圖紙上，因此制圖時(shí)首先需要把球面展為平面。但是球面是個(gè)不可展的球面，這就是說(shuō)，若把它直接展為平面，必然發(fā)生破裂或褶皺。所以必須采用特殊的方式將球面展開(kāi)，使其成為既不破裂又無(wú)褶皺的平面。
在我們學(xué)習測量的時(shí)候，已經(jīng)知道，測圖時(shí)只要測出點(diǎn)位，點(diǎn)可以連成線(xiàn)，線(xiàn)可以連成面，就能畫(huà)出平面圖。那么，將球面展為平面，也就是將地球上的點(diǎn)一一畫(huà)在平面上。由于地球表面上任一點(diǎn)的位置是用地理坐標來(lái)表示的，而平面上點(diǎn)的位置用直角坐標或極坐標表示。因此就要采用一定的數學(xué)方法來(lái)確定這些坐標之間的關(guān)系。這種在球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間對應關(guān)系的數學(xué)方法稱(chēng)為地圖投影。
因為地球表面上任一點(diǎn)的位置決定于它的經(jīng)緯度，所以實(shí)際投影時(shí)是將球面上的經(jīng)緯線(xiàn)交點(diǎn)展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的連成經(jīng)線(xiàn)，相同緯度的連成緯線(xiàn)，有了經(jīng)緯網(wǎng)以后，就能將整個(gè)或部分地球表面上的圖形按相應位置表示在平面上了。由此看來(lái)，經(jīng)緯網(wǎng)是繪制地圖的基礎，它是地圖的主要數學(xué)要素。
2.地圖投影的變形
2.1變形的概念
地圖投影的方法很多，用不同的投影方法得到的經(jīng)緯網(wǎng)形狀是不同的。用地圖投影的方法將球面展為平面，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀并不完全相似。為了制作地圖，需要將地球體這個(gè)不可展的曲面展為平面，從而不可避免的造成破裂或重疊，為了使地物和地貌完整，需將裂開(kāi)的部分均勻拉伸，重疊的部分均勻壓縮。由于進(jìn)行了拉伸和壓縮，地圖在長(cháng)度、面積和形狀上發(fā)生了變化，這種變化就是投影變形。
2.2變形的表現
地圖投影的變形究竟表現在哪些方面？我們把地圖上的經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)和地球儀上的經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)進(jìn)行比較，會(huì )發(fā)現表現在三個(gè)方面：長(cháng)度、面積和角度。
2.2.1變形橢圓
地圖投影上的變形，是隨著(zhù)地點(diǎn)和方向的改變而變化的，當我們拿到一幅地圖時(shí)，很難籠統的說(shuō)這幅地圖有什么變形，變形有多大，為此，我們來(lái)采用底索的圖解法——變形橢圓，來(lái)闡明作為投影變換結果各點(diǎn)上產(chǎn)生的角度和面積變形的概念。
[1]
變形橢圓所依據的是比例系數a和b。在地球儀地圖的任何一點(diǎn)上，每個(gè)方向比例系數都相同；因此無(wú)論何處比例系數SF=a=b=1.0。為了顯示發(fā)生的變化，底索用半徑1.0的小圓表示一個(gè)點(diǎn)。在任何變換方法中，量值a和b一般會(huì )大于或小于1.0。正形投影a=b≠1.0但是在所有其它投影中，a≠b。在這些情況下，指示圓變成橢圓，它是由長(cháng)半徑a和短半徑b給定的。
2.2.2長(cháng)度變形
在地球儀上，經(jīng)緯線(xiàn)的長(cháng)度具有下列特點(diǎn)，第一，各緯線(xiàn)長(cháng)度不同，赤道最長(cháng)，緯度越高緯線(xiàn)越短，極地緯線(xiàn)長(cháng)度為零；第二，在同一條緯線(xiàn)上，經(jīng)差相同的緯線(xiàn)弧長(cháng)相等；第三，所有的經(jīng)線(xiàn)長(cháng)度相等，同一條經(jīng)線(xiàn)上，緯差相同的經(jīng)線(xiàn)弧長(cháng)相同。
地圖上的經(jīng)緯線(xiàn)長(cháng)度是怎樣的呢？
由圖（1）可以看出各緯線(xiàn)長(cháng)度相等，各經(jīng)線(xiàn)長(cháng)度也相等。這表明各緯線(xiàn)不是按同一比例縮小的，而經(jīng)線(xiàn)卻是按同一比例縮小的。再由圖（3）可以看出，在同一條緯線(xiàn)上，經(jīng)差相同的緯線(xiàn)弧長(cháng)不等，中央的一條經(jīng)線(xiàn)最短，從中央向兩邊經(jīng)線(xiàn)逐漸增長(cháng)。這個(gè)圖形說(shuō)明在同一條緯線(xiàn)上，由于經(jīng)差的不同，比例發(fā)生了變化，從中央向兩邊比例逐漸變��；各條經(jīng)線(xiàn)不是按同一比例縮小的，它們的變化，是從中央向兩邊比例逐漸增大。
根據上述可知，地圖上的經(jīng)緯線(xiàn)長(cháng)度和地球儀上經(jīng)緯線(xiàn)長(cháng)度不完全相似，表明地圖上具有長(cháng)度變形。
長(cháng)度變形是衡量投影變形大小的一個(gè)數量指標，要根據長(cháng)度比來(lái)計算。長(cháng)度比是投影面上一微小線(xiàn)段ds'和球面上的微小線(xiàn)段ds之比。設以μ表示長(cháng)度比，則μ=ds'/ds
通常在研究長(cháng)度比時(shí)，不一一研究各個(gè)方向的長(cháng)度比，而是研究其中一些特定方向的長(cháng)度比，即最大長(cháng)度比（以a表示），最小長(cháng)度比（以b表示），經(jīng)線(xiàn)長(cháng)度比（以m表示）和緯線(xiàn)長(cháng)度比（以n表示）。地圖上經(jīng)緯線(xiàn)呈直角相交者，經(jīng)緯線(xiàn)長(cháng)度比就是最大和最小長(cháng)度比，經(jīng)緯線(xiàn)不直交者，設其夾角為θ，則經(jīng)線(xiàn)長(cháng)度比m、n與最大、最小長(cháng)度比a、b之間具有下列關(guān)系：
m2＋n2=a2＋b2
mnSinθ=ab
長(cháng)度變形是長(cháng)度比與1之差，用Vμ表示長(cháng)度變形，則
Vμ=（ds'－ds）/ds=ds′/ds－1=μ－1
如果知道某一點(diǎn)任一方向的長(cháng)度比，則按上式可以求出長(cháng)度變形。長(cháng)度比只有大于1或小于1的數（個(gè)別地方等于1），沒(méi)有負數。而長(cháng)度變形有正有負。長(cháng)度變形為正，表示長(cháng)度增長(cháng)，長(cháng)度變形為負，表示長(cháng)度縮短。
這里要說(shuō)明一下，長(cháng)度比和長(cháng)度比例尺是不一樣的。長(cháng)度比是個(gè)相對數量，長(cháng)度比例尺是個(gè)絕對數量。在繪制地圖上的經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)時(shí)，首先把地球橢圓體按規定的比例尺縮小，然后采用一定的投影方法把它畫(huà)在平面圖紙上，這個(gè)比例尺稱(chēng)為主比例尺。即一般地圖上所注明的比例尺。由于地圖投影產(chǎn)生變形，主比例尺僅能被保持在某些點(diǎn)或線(xiàn)上，其余地方或是大于或是小于主比例尺。
[2]
2.2.3面積變形
在地球儀上，同一緯度帶內經(jīng)差相同的梯形網(wǎng)格面積相等；同一經(jīng)度帶內緯度越高，梯形面積越小。而在地圖上呢？由圖（1）可以看出，同一經(jīng)度帶內緯差相同的網(wǎng)格面積相等，這表明面積不是按照同一比例縮小的，緯度越高，面積比例越大；在圖（3）上，同一緯度帶內經(jīng)差相同的網(wǎng)格面積不等，這說(shuō)明面積比例隨經(jīng)度的變化而變化了。
由于地圖上經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)格的面積與地球上的不同，表明地圖上具有面積變形。面積變形因投影不同而異。在同一投影上，面積變形因地點(diǎn)而變。
面積變形也是衡量投影變形大小的一個(gè)數量指標，要根據面積比來(lái)計算。面積比是投影面上微小橢圓面積dF′與球面上的微小圓面積（已按規定比例尺縮�。ヾF之比，以P表示面積，則P=dF′/dF
設微小圓半徑為r，其面積dF=πr2，微小橢圓面積dF′=πabr2，則
P=dF′/dF=πabr2/πr2=ab 或P=mnSinθ
面積變形是面積比與1之差。用Vp表示面積變形，則
Vp=(dF′－dF)/dF=dF′/dF－1=P－1
如果知道了某點(diǎn)的面積比，就可以計算出該點(diǎn)的面積變形。
面積比也是個(gè)相對數量，只有大于1或小于1的數（個(gè)別地方等于1），沒(méi)有負數。面積變形則有正有負。面積變形為正，表示面積增大，面積變形為負，表示面積減小。
2.2.4角度變形
角度變形是指地圖上兩條線(xiàn)所夾的角度，不等于球面上相應的角度。例如在圖（2）、（3）上，只有中央經(jīng)線(xiàn)和各緯線(xiàn)相交成直角，其余的經(jīng)線(xiàn)和緯線(xiàn)均不成直角相交。而在地球儀上，經(jīng)線(xiàn)和緯線(xiàn)處處都直角相交，這表明地圖上有角度變形。角度變形因投影而異，在同一投影上，角度變形因地點(diǎn)和方向而變。
投影面上兩方向間的夾角與球面上相應的兩方向線(xiàn)夾角之差，稱(chēng)為角度變形。
在地球表面的任何地方（兩極除外），羅盤(pán)面指示的都相同，也就是說(shuō)，在每一點(diǎn)上，主方向線(xiàn)總是相距90°，且無(wú)論在何處插入一些方向線(xiàn)，其中每條方向線(xiàn)和主方向線(xiàn)構成相同角度。
在地圖投影中，可以在某種程度上保持角度關(guān)系的這種性質(zhì)。保持這種角度關(guān)系的地圖投影叫做正形投影，意指“形狀是正確的”。重要的是，應當理解正形這一術(shù)語(yǔ)是用于表示在每一點(diǎn)上保持方向和角度正確。根據定義，在球面或地球儀地圖上，每一點(diǎn)的每個(gè)方向上的比例系數均為1.0。在任何投影變換中必然產(chǎn)生某種變形。從一點(diǎn)到另一點(diǎn)比例系數必然改變，然而，可以通過(guò)拉伸和壓縮使正形投影的每一點(diǎn)上a=b，但ab不一定等于1.0。
3.變形的分析與表達
在變形的大小和分布方面，將一種投影與另一種投影進(jìn)行比較，有幾種方法可供采用。有的是全圖解法，有的只提供變形大小和位置的直觀(guān)表象。一般使用較多的方法是定量的計算2ω和S。
對所有正形投影來(lái)說(shuō)，在投影平面上到處皆為a=b。當a=b時(shí)，2ω的數值為0°。由于正形投影各點(diǎn)上沒(méi)有角度變形，且因由一處到另一處a和b的數值是變化的，所以ab的乘積（即S）從一處到另一處也應不同。因此，所有正形投影都相對的夸大或縮小面積，并且以各點(diǎn)上的S值提供面積變形程度的指標。
對于等積投影來(lái)說(shuō)，每個(gè)點(diǎn)上比例尺關(guān)系是ab的乘積總是等于1.0。a和b之間的任何差值，都會(huì )使2ω數值大于0°。因此，所有等積投影都會(huì )產(chǎn)生角度變形，各點(diǎn)上2ω的值是反映角度變形程度的指標。
對于所有既非正形也非等積的投影來(lái)說(shuō)，a不等于b，ab的乘積也不等于1.0。所以在這種投影上，S和2ω兩者的數值從一處到另一處均有變化。
結語(yǔ)：了解地圖投影變形的表現，有助于我們熟悉地圖投影的特性，提高地圖繪制過(guò)程中的精確度，是地圖投影應用實(shí)踐環(huán)節中很重要的一步，具有重要的意義。
參考文獻：
[1] R.D.塞爾；A.H.羅賓遜.地圖學(xué)原理 測繪出版社
[2]褚廣榮.地圖概論 .北京師范大學(xué)出版社
[3]
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